En álgebra , una presentación de un monoide (o una presentación de un semigrupo ) es una descripción de un monoide (o un semigrupo ) en términos de un conjunto Σ de generadores y un conjunto de relaciones en el monoide libre Σ ∗ (o el libre semigrupo Σ + ) generado por Σ . El monoide se presenta luego como el cociente del monoide libre (o el semigrupo libre) por estas relaciones. Este es un análogo de una presentación grupal en teoría de grupos .
Como estructura matemática, una presentación monoide es idéntica a un sistema de reescritura de cadenas (también conocido como sistema semi-Thue). Cada monoide puede presentarse mediante un sistema semi-Thue (posiblemente sobre un alfabeto infinito). [1]
Una presentación no debe confundirse con una representación .
Construcción
Las relaciones se dan como una relación binaria (finita) R en Σ ∗ . Para formar el cociente monoide, estas relaciones se extienden a congruencias monoide de la siguiente manera:
En primer lugar, se toma el simétrico de cierre R ∪ R -1 de R . Esto se extiende luego a una relación simétrica E ⊂ Σ ∗ × Σ ∗ definiendo x ~ E y si y solo si x = sut y y = svt para algunas cadenas u , v , s , t ∈ Σ ∗ con ( u , v ) ∈ R ∪ R −1 . Finalmente, se toma el cierre reflexivo y transitivo de E , que luego es una congruencia monoide.
En la situación típica, la relación R se da simplemente como un conjunto de ecuaciones, de modo que. Así, por ejemplo,
es la presentación ecuacional del monoide bicíclico , y
es el monoide plástico de grado 2 (tiene orden infinito). Los elementos de este monoide plástico pueden escribirse comopara los números enteros i , j , k , como las relaciones muestran que ba conmuta con tanto una y b .
Monoides y semigrupos inversos
Las presentaciones de monoides y semigrupos inversos se pueden definir de manera similar utilizando un par
dónde
es el monoide libre con involución en, y
es una relación binaria entre palabras. Denotamos por (respectivamente ) La relación de equivalencia (respectivamente, la congruencia ) generado por T .
Usamos este par de objetos para definir un monoide inverso
Dejar sea la congruencia de Wagner en, definimos el monoide inverso
presentado por como
En la discusión anterior, si reemplazamos en todas partes con obtenemos una presentación (para un semigrupo inverso) y un semigrupo inverso presentado por.
Un ejemplo trivial pero importante es el monoide inverso libre (o semigrupo inverso libre ) en, que generalmente se denota por (respectivamente ) y está definido por
o
Notas
- ^ Libro y Otto, Teorema 7.1.7, p. 149
Referencias
- John M. Howie, Fundamentos de la teoría del semigrupo (1995), Clarendon Press, Oxford ISBN 0-19-851194-9
- M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a productos de coronas y gráficos , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 .
- Ronald V. Book y Friedrich Otto, String-rewriting Systems , Springer, 1993, ISBN 0-387-97965-4 , capítulo 7, "Propiedades algebraicas"