Un cuadrado mágico recíproco primo es un cuadrado mágico que utiliza los dígitos decimales del recíproco de un número primo .
Considere un número dividido en uno, como 1/3 o 1/7. En base diez, el resto, y por lo tanto los dígitos, de 1/3 se repite a la vez: 0 · 3333 ... Sin embargo, los restos de 1/7 se repiten sobre seis, o 7-1, dígitos: 1/7 = 0 · 1 42857 1 42857 1 42857 ... Si examinas los múltiplos de 1/7, puedes ver que cada uno es una permutación cíclica de estos seis dígitos:
1/7 = 0 · 1 4 2 8 5 7 ...2/7 = 0 · 2 8 5 7 1 4 ...3/7 = 0 · 4 2 8 5 7 1 ...4/7 = 0 · 5 7 1 4 2 8 ...5/7 = 0 · 7 1 4 2 8 5 ...6/7 = 0 · 8 5 7 1 4 2 ...
Si los dígitos se presentan como un cuadrado, cada fila sumará 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7, o 27, y solo un poco menos obvio que cada columna también lo hará y, en consecuencia, tenemos un cuadrado mágico. :
1 4 2 8 5 72 8 5 7 1 44 2 8 5 7 15 7 1 4 2 87 1 4 2 8 58 5 7 1 4 2
Sin embargo, ni la diagonal suma 27, sino todos los demás recíprocos primos en base diez con un período máximo de p-1 producen cuadrados en los que todas las filas y columnas suman el mismo total.
Otras propiedades de los primos recíprocos: teorema de Midy
El patrón repetitivo de un número par de dígitos [7-1, 11-1, 13-1, 17-1, 19-1, 23-1, 29-1, 47-1, 59-1, 61-1, 73-1, 89-1, 97-1, 101-1, ...] en los cocientes cuando se dividen por la mitad están el complemento de nueves de cada mitad:
1/7 = 0.142,857,142,857 ... +0.857,142 --------- 0,999,999
1/11 = 0.09090,90909 ... +0.90909,09090 ----- 0,99999,99999
1/13 = 0.076,923 076,923 ... +0.923,076 --------- 0,999,999
1/17 = 0.05882352,94117647 +0.94117647,05882352 ------------------- 0,99999999,99999999
1/19 = 0.052631578,947368421 ... +0.947368421,052631578 ---------------------- 0,999999999,999999999
Ekidhikena Purvena De: Matemáticas védicas de Bharati Krishna Tirtha # Por uno más que el anterior
Con respecto al número de decimales desplazados en el cociente por múltiplo de 1/19:
19/01 = 0,052631578,94736842119/02 = 0,1052631578,9473684219/04 = 0,21052631578,947368419/08 = 0,421052631578,94736816/19 = 0,8421052631578,94736
Un factor de 2 en el numerador produce un desplazamiento de un decimal a la derecha en el cociente.
En el cuadrado de 1/19, con un período máximo de 18 y un total de filas y columnas de 81, ambas diagonales también suman 81 y, por lo tanto, este cuadrado es completamente mágico:
01/19 = 0 · 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 ...02/19 = 0 · 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 ...03/19 = 0 · 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 ...04/19 = 0 · 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 ...05/19 = 0 · 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 ...06/19 = 0 · 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 ...07/19 = 0 · 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 ...08/19 = 0 · 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 ...09/19 = 0 · 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 ...10/19 = 0 · 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 ...11/19 = 0 · 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 ...12/19 = 0 · 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 ...13/19 = 0 · 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 ...14/19 = 0 · 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 ...15/19 = 0 · 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 ...16/19 = 0 · 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 ...17/19 = 0 · 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 ...18/19 = 0 · 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 ...
El mismo fenómeno ocurre con otros números primos en otras bases, y la siguiente tabla enumera algunos de ellos, dando el total primo, base y mágico (derivado de la fórmula base-1 x primo-1/2):
principal | Base | Total |
---|---|---|
19 | 10 | 81 |
53 | 12 | 286 |
53 | 34 | 858 |
59 | 2 | 29 |
67 | 2 | 33 |
83 | 2 | 41 |
89 | 19 | 792 |
167 | 68 | 5.561 |
199 | 41 | 3.960 |
199 | 150 | 14,751 |
211 | 2 | 105 |
223 | 3 | 222 |
293 | 147 | 21,316 |
307 | 5 | 612 |
383 | 10 | 1,719 |
389 | 360 | 69,646 |
397 | 5 | 792 |
421 | 338 | 70,770 |
487 | 6 | 1.215 |
503 | 420 | 105,169 |
587 | 368 | 107,531 |
593 | 3 | 592 |
631 | 87 | 27,090 |
677 | 407 | 137,228 |
757 | 759 | 286,524 |
787 | 13 | 4.716 |
811 | 3 | 810 |
977 | 1,222 | 595,848 |
1.033 | 11 | 5.160 |
1,187 | 135 | 79,462 |
1,307 | 5 | 2.612 |
1.499 | 11 | 7.490 |
1.877 | 19 | 16.884 |
1.933 | 146 | 140.070 |
2.011 | 26 | 25,125 |
2.027 | 2 | 1.013 |
2,141 | 63 | 66,340 |
2.539 | 2 | 1,269 |
3,187 | 97 | 152,928 |
3.373 | 11 | 16.860 |
3.659 | 126 | 228,625 |
3.947 | 35 | 67,082 |
4.261 | 2 | 2,130 |
4.813 | 2 | 2.406 |
5.647 | 75 | 208,902 |
6.113 | 3 | 6.112 |
6.277 | 2 | 3,138 |
7.283 | 2 | 3.641 |
8.387 | 2 | 4.193 |
Ver también
Referencias
Rademacher, H. y Toeplitz, O. El disfrute de las matemáticas: selecciones de las matemáticas para el aficionado. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 158–160, 1957.
Weisstein, Eric W. "Teorema de Midy". De MathWorld — Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/MidysTheorem.html