En matemáticas , el teorema de Midy , llamado así por el matemático francés E. Midy, [1] es un enunciado sobre la expansión decimal de fracciones a / p donde p es un número primo y a / p tiene una expansión decimal repetida con un período par (secuencia A028416 en la OEIS ). Si el período de la representación decimal de a / p es 2 n , entonces
entonces los dígitos de la segunda mitad del período decimal periódico son el complemento a nueve de los dígitos correspondientes de su primera mitad. En otras palabras,
Por ejemplo,
Teorema de Midy extendido
Si k es cualquier divisor del período de la expansión decimal de a / p (donde p es nuevamente un primo), entonces el teorema de Midy se puede generalizar de la siguiente manera. El teorema de Midy extendido [2] establece que si la porción repetida de la expansión decimal de a / p se divide en k números de dígitos, entonces su suma es un múltiplo de 10 k - 1.
Por ejemplo,
tiene un período de 18. Dividir la parte repetida en números de 6 dígitos y sumarlos da
De manera similar, dividir la parte repetida en números de 3 dígitos y sumarlos da
Teorema de Midy en otras bases
El teorema de Midy y su extensión no dependen de propiedades especiales de la expansión decimal, pero funcionan igualmente bien en cualquier base b , siempre que reemplacemos 10 k - 1 con b k - 1 y realicemos la suma en la base b .
Por ejemplo, en octal
En duodecimal (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)
Prueba del teorema de Midy
Se pueden dar demostraciones breves del teorema de Midy utilizando los resultados de la teoría de grupos . Sin embargo, también es posible probar el teorema de Midy usando álgebra elemental y aritmética modular :
Sea p un primo y a / p una fracción entre 0 y 1. Suponga que la expansión de a / p en la base b tiene un período de ℓ , entonces
donde N es el entero cuya expansión en base b es la cadena a 1 a 2 ... a ℓ .
Tenga en cuenta que b ℓ - 1 es un múltiplo de p porque ( b ℓ - 1) a / p es un número entero. Además, b n −1 no es un múltiplo de p para cualquier valor de n menor que ℓ , porque de lo contrario el período de repetición de a / p en la base b sería menor que ℓ .
Ahora suponga que ℓ = hk . Entonces b ℓ - 1 es un múltiplo de b k - 1. (Para ver esto, sustituya x por b k ; entonces b ℓ = x h y x - 1 es un factor de x h - 1.) Diga b ℓ - 1 = m ( b k - 1), entonces
Pero b ℓ - 1 es un múltiplo de p ; b k - 1 no es un múltiplo de p (porque k es menor que ℓ ); y p es primo; por lo m debe ser un múltiplo de p y
es un número entero. En otras palabras,
Ahora divide la cadena a 1 a 2 ... a ℓ en h partes iguales de longitud k , y deja que estos representen los enteros N 0 ... N h - 1 en la base b , de modo que
Para demostrar el teorema extendido de Midy en la base b , debemos demostrar que la suma de los h enteros N i es un múltiplo de b k - 1.
Dado que b k es congruente con 1 módulo b k - 1, cualquier potencia de b k también será congruente con 1 módulo b k - 1. Entonces
lo que demuestra el teorema extendido de Midy en base b .
Para probar el teorema de Midy original, tome el caso especial donde h = 2. Tenga en cuenta que N 0 y N 1 están representados por cadenas de k dígitos en la base b, por lo que ambos satisfacen
N 0 y N 1 no pueden ser ambos iguales a 0 (de lo contrario a / p = 0) y no pueden ambos ser iguales a b k - 1 (de lo contrario a / p = 1), entonces
y dado que N 0 + N 1 es un múltiplo de b k - 1, se sigue que
Corolario
De lo anterior,
- es un entero
Por lo tanto
Y así para
Para y es un entero
y así.
Notas
- ^ Leavitt, William G. (junio de 1967). "Un teorema sobre la repetición de decimales" . The American Mathematical Monthly . Asociación Matemática de América. 74 (6): 669–673. doi : 10.2307 / 2314251 .
- ^ Bassam Abdul-Baki, Teorema extendido de Midy , 2005.
Referencias
- Rademacher, H. y Toeplitz, O. El disfrute de las matemáticas: selecciones de las matemáticas para el aficionado . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, págs. 158–160, 1957.
- E. Midy, "De Quelques Propriétés des Nombres et des Fractions Décimales Périodiques". Colegio de Nantes, Francia: 1836.
- Ross, Kenneth A. "Repetición de decimales: una pieza de período". Matemáticas. revista 83 (2010), núm. 1, 33–45.