En matemáticas recreativas , una matriz cuadrada de números, generalmente enteros positivos , se llama cuadrado mágico si las sumas de los números en cada fila, cada columna y ambas diagonales principales son iguales. [1] [2] El orden del cuadrado mágico es el número de números enteros a lo largo de un lado ( n ), y la suma constante se llama constante mágica . Si la matriz incluye solo los enteros positivos, se dice que el cuadrado mágico es normal . Algunos autores interpretan que el cuadrado mágico significa un cuadrado mágico normal. [3]
Los cuadrados mágicos que incluyen entradas repetidas no se incluyen en esta definición y se denominan triviales . Algunos ejemplos bien conocidos, como el cuadrado mágico de la Sagrada Familia y la plaza Parker, son triviales en este sentido. Cuando todas las filas y columnas, pero no ambas diagonales, suman la constante mágica, tenemos cuadrados semimágicos (a veces llamados cuadrados ortomágicos ).
El estudio matemático de los cuadrados mágicos generalmente se ocupa de su construcción, clasificación y enumeración. Aunque no existen métodos completamente generales para producir todos los cuadrados mágicos de todos los órdenes, históricamente se han descubierto tres técnicas generales: el método de borde, haciendo cuadrados mágicos compuestos y agregando dos cuadrados preliminares. También existen estrategias más específicas como el método de enumeración continua que reproduce patrones específicos. Los cuadrados mágicos generalmente se clasifican de acuerdo con su orden n como: impar si n es impar, uniformemente par (también denominado "doblemente par") si n = 4 k (por ejemplo, 4, 8, 12, etc.), extrañamente par (también conocido como "solo par") si n = 4 k + 2 (por ejemplo, 6, 10, 14, etc.). Esta clasificación se basa en diferentes técnicas necesarias para construir cuadrados impares, uniformemente pares y extrañamente pares. Junto a esto, dependiendo de otras propiedades, cuadrados mágicos son también clasificados como cuadrados mágicos asociativos , cuadrados mágicos pandiagonal , cuadrados mágicos más perfectos , y así sucesivamente. Más desafiante, también se ha intentado clasificar todos los cuadrados mágicos de un orden dado como transformaciones de un conjunto más pequeño de cuadrados. A excepción de n ≤ 5, la enumeración de cuadrados mágicos de orden superior sigue siendo un desafío abierto. La enumeración de los cuadrados mágicos más perfectos de cualquier orden solo se logró a fines del siglo XX.
Los cuadrados mágicos tienen una larga historia, que se remonta al menos al 190 a. C. en China. En varias ocasiones han adquirido un significado oculto o mítico y han aparecido como símbolos en obras de arte. En los tiempos modernos, se han generalizado de varias formas, incluido el uso de restricciones adicionales o diferentes, la multiplicación en lugar de sumar celdas, el uso de formas alternativas o más de dos dimensiones y la sustitución de números por formas y la suma con operaciones geométricas.
Historia
El cuadrado mágico de tercer orden era conocido por los matemáticos chinos desde 190 a. C., y expresamente dado por el primer siglo de la era común. La primera instancia fechable del cuadrado mágico de cuarto orden ocurrió en 587 EC en la India. Los especímenes de cuadrados mágicos de orden 3 a 9 aparecen en una enciclopedia de Bagdad c. 983 , la Enciclopedia de los Hermanos de la Pureza ( Rasa'il Ikhwan al-Safa ). A finales del siglo XII, los métodos generales para construir cuadrados mágicos estaban bien establecidos. Alrededor de este tiempo, algunos de estos cuadrados se usaban cada vez más junto con letras mágicas, como en Shams Al-ma'arif , con fines ocultistas. [4] En la India, todos los cuadrados mágicos pandiagonales de cuarto orden fueron enumerados por Narayana en 1356. Los cuadrados mágicos se dieron a conocer en Europa a través de la traducción de fuentes árabes como objetos ocultos durante el Renacimiento, y la teoría general tuvo que ser redescubierta. independiente de desarrollos anteriores en China, India y Medio Oriente. También son notables las culturas antiguas con tradición matemática y numerológica que no descubrieron los cuadrados mágicos: griegos, babilonios, egipcios y americanos precolombinos.
porcelana
Si bien las referencias antiguas al patrón de números pares e impares en el cuadrado mágico de 3 × 3 aparecen en el I Ching , la primera instancia inequívoca de este cuadrado mágico aparece en el capítulo llamado Mingtang (Salón Brillante) de un libro del siglo I Da Dai. Liji (Registro de ritos del anciano Dai), que pretendía describir los antiguos ritos chinos de la dinastía Zhou. [5] [6] [7] [8] Estos números también aparecen en un texto matemático posiblemente anterior llamado Shushu jiyi (Memoria sobre algunas tradiciones del arte matemático), que se dice que fue escrito en 190 a. C. Ésta es la primera aparición registrada de un cuadrado mágico; y se utilizó principalmente para la adivinación y la astrología. [5] Los primeros matemáticos chinos se refirieron al cuadrado mágico de 3 × 3 como las "Nueve salas". [7] La identificación del cuadrado mágico de 3 × 3 con la legendaria carta de Luoshu solo se hizo en el siglo XII, después de lo cual se lo denominó el cuadrado de Luoshu. [5] [7] El más antiguo que sobrevive tratado chino que los cuadrados displays mágico de orden mayor que 3 es Yang Hui 's Xugu zheqi suanfa (Continuación de antiguos métodos matemáticos para dilucidar los Strange) escritas en 1275. [5] [7] El el contenido del tratado de Yang Hui se recopiló de obras más antiguas, tanto nativas como extranjeras; y solo explica la construcción de cuadrados mágicos de tercer y cuarto orden, mientras que simplemente pasa los diagramas terminados de cuadrados más grandes. [7] Da un cuadrado mágico de orden 3, dos cuadrados para cada orden de 4 a 8, uno de orden nueve y un cuadrado semimágico de orden 10. También da seis círculos mágicos de diversa complejidad. [9]
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Los cuadrados mágicos anteriores de los órdenes 3 a 9 están tomados del tratado de Yang Hui, en el que el principio Luo Shu es claramente evidente. [7] [8] El cuadrado de orden 5 es un cuadrado mágico bordeado, con un cuadrado central de 3 × 3 formado según el principio de Luo Shu. El cuadrado de orden 9 es un cuadrado mágico compuesto, en el que los nueve subcuadrados de 3 × 3 también son mágicos. [7] Después de Yang Hui, cuadrados mágicos ocurren con frecuencia en las matemáticas chinas, como en el de Ding Yidong Dayan suoyin ( c. 1300 ), Cheng Dawei 's suanfa tongzong (1593), de Fang Zhongtong Shuduyan (1661), que contiene círculos mágicos, cubos y esferas, Xinzhai zazu de Zhang Chao ( c. 1650 ), que publicó el primer cuadrado mágico de China de orden diez, y por último Binaishanfang ji de Bao Qishou ( c. 1880 ), que dio varias configuraciones mágicas tridimensionales. [5] [8] Sin embargo, a pesar de ser el primero en descubrir los cuadrados mágicos y tener una ventaja de varios siglos, el desarrollo chino de los cuadrados mágicos es muy inferior en comparación con los desarrollos de la India, Oriente Medio o Europa. El punto culminante de la matemática china que se ocupa de los cuadrados mágicos parece estar contenido en el trabajo de Yang Hui; pero incluso como una colección de métodos más antiguos, este trabajo es mucho más primitivo, carece de métodos generales para construir cuadrados mágicos de cualquier orden, en comparación con una colección similar escrita por la misma época por el erudito bizantino Manuel Moschopoulos . [7] Esto posiblemente se deba al entusiasmo de los eruditos chinos por el principio Lo Shu, que intentaron adaptar para resolver cuadrados más altos; y después de Yang Hui y la caída de la dinastía Yuan , su purga sistemática de las influencias extranjeras en las matemáticas chinas. [7]
Japón
Japón y China tienen tradiciones matemáticas similares y se han influenciado repetidamente en la historia de los cuadrados mágicos. [10] El interés japonés por los cuadrados mágicos comenzó después de la difusión de obras chinas —Suanfa de Yang Hui y Suanfa tongzong de Cheng Dawei— en el siglo XVII, y como resultado, casi todos los wasans dedicaron su tiempo a su estudio.
En la edición de 1660 de Ketsugi-sho , Isomura Kittoku dio tanto cuadrados mágicos con bordes ordenados impares como pares, así como círculos mágicos; mientras que la edición de 1684 del mismo libro contenía una gran sección sobre cuadrados mágicos, demostrando que tenía un método general para construir cuadrados mágicos con bordes. [11] En Jinko-ki (1665) de Muramatsu Kudayu Mosei, se muestran tanto cuadrados mágicos como círculos mágicos. El cuadrado más grande que construye Mosei es de orden 19. Nozawa Teicho también publicó varios cuadrados mágicos y círculos mágicos en Dokai-sho (1666), Sato Seiko en Kongenki (1666) y Hosino Sanenobu en Ko-ko-gen Sho (1673). [12] Uno de los Siete Libros de Seki Takakazu ( Hojin Yensan ) (1683) está completamente dedicado a los cuadrados y círculos mágicos. Este es el primer libro japonés que ofrece un tratamiento general de los cuadrados mágicos en el que se describen claramente los algoritmos para construir cuadrados mágicos con bordes impares, unitariamente pares y doblemente pares. [13] En 1694 y 1695, Yueki Ando dio diferentes métodos para crear los cuadrados mágicos y mostrar cuadrados de orden 3 a 30. Un cubo mágico de cuarto orden fue construido por Yoshizane Tanaka (1651-1719) en Rakusho-kikan (1683) . El estudio de los cuadrados mágicos fue continuado por los alumnos de Seki, en particular por Katahiro Takebe, cuyos cuadrados fueron mostrados en el cuarto volumen de Ichigen Kappo por Shukei Irie, Yoshisuke Matsunaga en Hojin-Shin-jutsu , Yoshihiro Kurushima en Kyushi Iko, quien redescubrió un método para producir los cuadrados impares dados por Agrippa, [14] y Naonobu Ajima . [15] [16] Así, a principios del siglo XVIII, los matemáticos japoneses estaban en posesión de métodos para construir cuadrados mágicos de orden arbitrario. Después de esto, Nushizumi Yamaji inició los intentos de enumerar los cuadrados mágicos. [dieciséis]
India
El cuadrado mágico de 3 × 3 aparece por primera vez en la India en Gargasamhita por Garga, quien recomienda su uso para pacificar los nueve planetas ( navagraha ). La versión más antigua de este texto data del año 100 d.C., pero el pasaje sobre los planetas no pudo haber sido escrito antes del 400 d.C. La primera instancia fechable de un cuadrado mágico de 3 × 3 en la India ocurre en un texto médico Siddhayog (c. 900 d.C.) de Vrnda, que se prescribió a las mujeres en trabajo de parto para tener un parto fácil. [17]
El cuadrado mágico de cuarto orden fechable más antiguo del mundo se encuentra en una obra enciclopédica escrita por Varahamihira alrededor del 587 d.C. llamada Brhat Samhita . El cuadrado mágico está construido con el propósito de hacer perfumes usando 4 sustancias seleccionadas de 16 sustancias diferentes. Cada celda del cuadrado representa un ingrediente particular, mientras que el número en la celda representa la proporción del ingrediente asociado, de modo que la mezcla de cuatro combinaciones de ingredientes a lo largo de las columnas, filas, diagonales, etc., da el volumen total. de la mezcla será 18. Aunque el libro trata principalmente sobre adivinación, el cuadrado mágico se da como una cuestión de diseño combinatorio, y no se le atribuyen propiedades mágicas. [18] [17]
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El cuadrado de Varahamihira como se indica arriba tiene una suma de 18. Aquí los números del 1 al 8 aparecen dos veces en el cuadrado. Es un cuadrado mágico pan-diagonal . También es un ejemplo del cuadrado mágico más perfecto . Se pueden obtener cuatro cuadrados mágicos diferentes agregando 8 a uno de los dos conjuntos de secuencia de 1 a 8. La secuencia se selecciona de manera que el número 8 se agregue exactamente dos veces en cada fila, en cada columna y en cada una de las diagonales principales. Uno de los posibles cuadrados mágicos que se muestran en el lado derecho. Este cuadrado mágico es notable porque es una rotación de 90 grados de un cuadrado mágico que aparece en el mundo islámico del siglo XIII como uno de los cuadrados mágicos más populares ... [19]
La construcción del cuadrado mágico de cuarto orden se detalla en una obra titulada Kaksaputa , compuesta por el alquimista Nagarjuna alrededor del siglo X d.C. Todos los cuadrados dados por Nagarjuna son cuadrados mágicos de 4 × 4, y uno de ellos se llama Nagarjuniya en su honor. Nagarjuna dio un método para construir un cuadrado mágico de 4 × 4 usando un cuadrado de esqueleto primario, dada una suma mágica par o impar. Por cierto, la plaza especial de Nagarjuniya no se puede construir con el método que expone. [18] El cuadrado de Nagarjuniya se muestra a continuación y tiene la suma total de 100.
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El cuadrado Nagarjuniya es un cuadrado mágico pan-diagonal . El cuadrado de Nagarjuniya se compone de dos progresiones aritméticas que comienzan en 6 y 16 con ocho términos cada una, con una diferencia común entre términos sucesivos como 4. Cuando estas dos progresiones se reducen a la progresión normal de 1 a 8, obtenemos el cuadrado adyacente .
Alrededor del siglo XII, se inscribió un cuadrado mágico de 4 × 4 en la pared del templo Parshvanath en Khajuraho , India. Varios himnos jainistas enseñan cómo hacer cuadrados mágicos, aunque no se pueden fechar. [17]
Hasta donde se sabe, el primer estudio sistemático de los cuadrados mágicos en la India fue realizado por Thakkar Pheru , un erudito jainista, en su Ganitasara Kaumudi (c. 1315). Esta obra contiene una pequeña sección sobre cuadrados mágicos que consta de nueve versos. Aquí da un cuadrado de orden cuatro y alude a su reordenamiento; clasifica los cuadrados mágicos en tres (impares, uniformemente pares y extrañamente pares) de acuerdo con su orden; da un cuadrado de orden seis; y prescribe un método cada uno para construir cuadrados pares e impares. Para los cuadrados pares, Pheru divide el cuadrado en cuadrados componentes de orden cuatro y coloca los números en celdas de acuerdo con el patrón de un cuadrado estándar de orden cuatro. Para los cuadrados impares, Pheru da el método usando el movimiento del caballo o el movimiento del caballo. Aunque es algorítmicamente diferente, da el mismo cuadrado que el método de De la Loubere. [17]
Narayana Pandit retomó el siguiente trabajo completo sobre cuadrados mágicos , quien en el capítulo catorce de su Ganita Kaumudi (1356) da métodos generales para su construcción, junto con los principios que gobiernan tales construcciones. Consta de 55 versículos para reglas y 17 versículos para ejemplos. Narayana da un método para construir todos los cuadrados pan-mágicos de cuarto orden usando el movimiento de un caballo; enumera el número de cuadrados mágicos pan-diagonales de orden cuatro, 384, incluidas todas las variaciones realizadas por rotación y reflexión; tres métodos generales para cuadrados que tienen cualquier orden y suma constante cuando se conoce un cuadrado estándar del mismo orden; dos métodos cada uno para construir cuadrados pares, pares e impares cuando se da la suma. Si bien Narayana describe un método más antiguo para cada especie de cuadrado, afirma que el método de superposición para cuadrados pares e impares y un método de intercambio para cuadrados extrañamente pares es su propia invención. El método de superposición fue redescubierto más tarde por De la Hire en Europa. En la última sección, concibe otras figuras, como círculos, rectángulos y hexágonos, en los que los números pueden ordenarse para poseer propiedades similares a las de los cuadrados mágicos. [18] [17] A continuación se muestran algunos de los cuadrados mágicos construidos por Narayana: [18]
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El cuadrado de orden 8 es interesante en sí mismo, ya que es un ejemplo del cuadrado mágico más perfecto. Por cierto, Narayana afirma que el propósito de estudiar los cuadrados mágicos es construir yantra , destruir el ego de los malos matemáticos y para el placer de los buenos matemáticos. El tema de los cuadrados mágicos se conoce como bhadraganita y Narayana afirma que fue enseñado por primera vez a los hombres por el dios Shiva . [17]
Medio Oriente, África del Norte, Iberia musulmana
Aunque se desconoce la historia temprana de los cuadrados mágicos en Persia y Arabia, se ha sugerido que se conocían en tiempos preislámicos. [20] Sin embargo, está claro que el estudio de los cuadrados mágicos era común en el Islam medieval , y se pensaba que había comenzado después de la introducción del ajedrez en la región. [21] [22] [23] La primera aparición fechable del cuadrado mágico de orden 3 ocurre en Jābir ibn Hayyān (fl. C. 721 - c. 815) Kitab al-mawazin al-Saghir (El pequeño libro de las balanzas ) donde el cuadrado mágico y su numerología relacionada se asocian con la alquimia. [8] Si bien se sabe que los tratados sobre cuadrados mágicos se escribieron en el siglo IX, los primeros tratados existentes que tenemos datan del siglo X: uno de Abu'l-Wafa al-Buzjani ( c. 998 ) y otro de Ali b. Ahmad al-Antaki ( c. 987 ). [22] [24] [25] Estos primeros tratados eran puramente matemáticos, y la designación árabe para los cuadrados mágicos utilizada es wafq al-a'dad , que se traduce como disposición armoniosa de los números . [23] A finales del siglo X, los dos tratados de Buzjani y Antaki dejan en claro que los matemáticos de Oriente Medio habían entendido cómo construir cuadrados bordeados de cualquier orden, así como cuadrados mágicos simples de pequeños órdenes ( n ≤ 6) que se utilizaron para hacer cuadrados mágicos compuestos. [22] [24] Un espécimen de cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9 ideados por matemáticos de Oriente Medio aparece en una enciclopedia de Bagdad c. 983 , Rasa'il Ikhwan al-Safa (la Enciclopedia de los Hermanos de la Pureza ). [26] Los cuadrados de orden 3 a 7 de Rasa'il se dan a continuación: [26]
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El siglo XI vio el descubrimiento de varias formas de construir cuadrados mágicos simples para órdenes pares e impares; El caso más difícil del caso uniformemente impar ( n = 4k + 2 ) fue resuelto por Ibn al-Haytham con k par (c. 1040), y completamente a principios del siglo XII, si no ya en la última mitad del siglo XII. Siglo 11. [22] Casi al mismo tiempo, se estaban construyendo plazas pandiagonales. Los tratados sobre cuadrados mágicos fueron numerosos en los siglos XI y XII. Estos desarrollos posteriores tendieron a ser mejoras o simplificaciones de los métodos existentes. A partir del siglo XIII en adelante, los cuadrados mágicos se utilizaron cada vez más con fines ocultistas. [22] Sin embargo, muchos de estos textos posteriores escritos con fines ocultistas simplemente representan ciertos cuadrados mágicos y mencionan sus atributos, sin describir su principio de construcción, y solo algunos autores mantienen viva la teoría general. [22] Uno de esos ocultistas fue el argelino Ahmad al-Buni (c. 1225), quien dio métodos generales sobre la construcción de cuadrados mágicos bordeados; otros fueron el egipcio Shabramallisi del siglo XVII y el nigeriano al-Kishnawi del siglo XVIII. [27]
El cuadrado mágico de orden tres fue descrito como un hechizo para la maternidad [28] [29] desde sus primeras apariciones literarias en las obras alquímicas de Jābir ibn Hayyān (fl. C. 721 - c. 815) [29] [30] y al-Ghazālī (1058-1111) [31] y se conservó en la tradición de las tablas planetarias. La primera aparición de la asociación de siete cuadrados mágicos con las virtudes de los siete cuerpos celestes aparece en el erudito andaluz Ibn Zarkali (conocido como Azarquiel en Europa) (1029-1087) Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Libro sobre las influencias del Planetas ). [32] Un siglo después, el erudito argelino Ahmad al-Buni atribuyó propiedades místicas a los cuadrados mágicos en su influyente libro Shams al-Ma'arif ( El libro del sol de la gnosis y las sutilezas de las cosas elevadas ), que también describe su construcción. Esta tradición sobre una serie de cuadrados mágicos del orden tres al nueve, que están asociados con los siete planetas, sobrevive en versiones griegas, árabes y latinas. [33] También hay referencias al uso de cuadrados mágicos en los cálculos astrológicos, una práctica que parece haberse originado con los árabes. [34] [35]
Europa latina
A diferencia de Persia y Arabia, tenemos mejor documentación de cómo se transmitieron los cuadrados mágicos a Europa. Hacia 1315, influenciado por fuentes árabes, el erudito griego bizantino Manuel Moschopoulos escribió un tratado matemático sobre el tema de los cuadrados mágicos, dejando de lado el misticismo de sus predecesores de Oriente Medio, donde dio dos métodos para los cuadrados impares y dos métodos para los cuadrados pares. . Moschopoulos era esencialmente un desconocido para la Europa latina hasta finales del siglo XVII, cuando Philippe de la Hire redescubrió su tratado en la Biblioteca Real de París. [36] Sin embargo, no fue el primer europeo en escribir en cuadrados mágicos; y los cuadrados mágicos se difundieron al resto de Europa a través de España e Italia como objetos ocultos. Los primeros tratados ocultistas que mostraban los cuadrados no describían cómo fueron construidos. Por tanto, hubo que redescubrir toda la teoría.
Los cuadrados mágicos habían aparecido por primera vez en Europa en Kitāb tadbīrāt al-kawākib ( Libro sobre las influencias de los planetas ) escrito por Ibn Zarkali de Toledo, Al-Andalus, como cuadrados planetarios en el siglo XI. [32] El cuadrado mágico de tres fue discutido de manera numerológica a principios del siglo XII por el erudito judío Abraham ibn Ezra de Toledo, que influyó en los cabalistas posteriores. [37] La obra de Ibn Zarkali fue traducida como Libro de Astromagia en la década de 1280, [38] debido a Alfonso X de Castilla. [39] [32] En el texto alfonsino, los cuadrados mágicos de diferentes órdenes se asignan a los respectivos planetas, como en la literatura islámica; desafortunadamente, de todos los cuadrados discutidos, el cuadrado mágico de Marte de orden cinco es el único cuadrado exhibido en el manuscrito. [40] [32]
Los cuadrados mágicos vuelven a aparecer en Florencia, Italia, en el siglo XIV. Un cuadrado de 6 × 6 y uno de 9 × 9 se exhiben en un manuscrito del Trattato d'Abbaco (Tratado del ábaco) de Paolo Dagomari . [41] [42] Es interesante observar que Paolo Dagomari, como Pacioli después de él, se refiere a los cuadrados como una base útil para inventar preguntas y juegos matemáticos, y no menciona ningún uso mágico. Incidentalmente, sin embargo, también se refiere a ellos como respectivamente los cuadrados del Sol y la Luna, y menciona que ingresan en cálculos astrológicos que no están mejor especificados. Como se dijo, el mismo punto de vista parece motivar al compatriota florentino Luca Pacioli , quien describe cuadrados de 3 × 3 a 9 × 9 en su obra De Viribus Quantitatis a fines del siglo XV. [43] [44]
Europa después del siglo XV
Las plazas planetarias se habían extendido por el norte de Europa a finales del siglo XV. Por ejemplo, el manuscrito de Cracovia de Picatrix de Polonia muestra cuadrados mágicos de órdenes 3 a 9. El mismo conjunto de cuadrados que en el manuscrito de Cracovia aparece más tarde en los escritos de Paracelso en Archidoxa Magica (1567), aunque en forma muy confusa. En 1514 Albrecht Dürer inmortalizó un cuadrado de 4 x 4 en su famoso grabado Melancolía I . El contemporáneo de Paracelso, Heinrich Cornelius Agrippa von Nettesheim, publicó su famoso libro de tres volúmenes De occulta philosophia en 1531, donde dedicó el Capítulo 22 del Libro II a los cuadrados planetarios que se muestran a continuación. [37] El mismo conjunto de cuadrados dados por Agrippa reaparece en 1539 en Practica Arithmetice de Girolamo Cardano , donde explica la construcción de los cuadrados impares ordenados utilizando el "método del diamante", que luego fue reproducido por Bachet. [45] La tradición de los cuadrados planetarios fue continuada en el siglo XVII por Athanasius Kircher en Oedipi Aegyptici (1653). En Alemania, los tratados matemáticos sobre cuadrados mágicos fueron escritos en 1544 por Michael Stifel en Arithmetica Integra , quien redescubrió los cuadrados bordeados, y Adam Riese , quien redescubrió el método de numeración continua para construir cuadrados ordenados impares publicado por Agrippa. Sin embargo, debido a los trastornos religiosos de esa época, estos trabajos eran desconocidos para el resto de Europa. [37]
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En 1624 Francia, Claude Gaspard Bachet describió el "método del diamante" para construir los cuadrados ordenados impares de Agrippa en su libro Problèmes Plaisants . Durante 1640, Bernard Frenicle de Bessy y Pierre Fermat intercambiaron letras sobre cuadrados y cubos mágicos, y en una de las letras Fermat se jacta de poder construir 1.004.144.995.344 cuadrados mágicos de orden 8 con su método. [45] Antoine Arnauld dio un relato temprano sobre la construcción de plazas bordeadas en sus Nouveaux éléments de géométrie (1667). [46] En los dos tratados Des quarrez ou tables magiques y Table générale des quarrez magiques de quatre de côté , publicados póstumamente en 1693, veinte años después de su muerte, Bernard Frenicle de Bessy demostró que había exactamente 880 cuadrados mágicos distintos de orden cuatro. . Frenicle dio métodos para construir cuadrados mágicos de cualquier orden par o impar, donde los cuadrados ordenados pares se construían usando bordes. También mostró que el intercambio de filas y columnas de un cuadrado mágico producía nuevos cuadrados mágicos. [45] En 1691, Simon de la Loubère describió el método continuo indio de construir cuadrados mágicos ordenados impares en su libro Du Royaume de Siam , que había aprendido al regresar de una misión diplomática a Siam, que era más rápido que el método de Bachet. En un intento de explicar su funcionamiento, de la Loubere utilizó los números primarios y los números de raíz, y redescubrió el método de sumar dos cuadrados preliminares. Este método fue investigado más a fondo por Abbe Poignard en Traité des quarrés sublimes (1704), por Philippe de La Hire en Mémoires de l'Académie des Sciences para la Royal Academy (1705) y por Joseph Sauveur en Construction des quarrés magiques (1710) . Los cuadrados con bordes concéntricos también fueron estudiados por De la Hire en 1705, mientras que Sauveur introdujo los cubos mágicos y los cuadrados con letras, que fueron retomados más tarde por Euler en 1776, a quien a menudo se le atribuye el mérito de haberlos ideado. En 1750, d'Ons-le-Bray redescubrió el método de construcción de cuadrados doble y simplemente pares utilizando la técnica del borde; mientras que en 1767 Benjamin Franklin publicó un cuadrado semimágico que tenía las propiedades del cuadrado de Franklin del mismo nombre. [47] Para entonces, el misticismo anterior asociado a los cuadrados mágicos se había desvanecido por completo, y el tema fue tratado como parte de las matemáticas recreativas. [37] [48]
En el siglo XIX, Bernard Violle dio un tratamiento integral de los cuadrados mágicos en sus tres volúmenes Traité complet des carrés magiques (1837-1838), que también describía cubos mágicos, paralelogramos, paralelopípedos y círculos. Los cuadrados pandiagonales fueron ampliamente estudiados por Andrew Hollingworth Frost, quien lo aprendió mientras estaba en la ciudad de Nasik, India, (llamándolos así cuadrados Nasik) en una serie de artículos: On the knight's path (1877), On the General Properties of Nasik Squares (1878), Sobre las propiedades generales de los cubos Nasik (1878), Sobre la construcción de los cuadrados Nasik de cualquier orden (1896). Demostró que es imposible tener un cuadrado mágico normal individual e incluso pandiagonal. Frederick AP Barnard construyó cuadrados mágicos con incrustaciones y otras figuras mágicas tridimensionales como esferas mágicas y cilindros mágicos en Teoría de los cuadrados mágicos y de los cubos mágicos (1888). [48] En 1897, Emroy McClintock publicó Sobre la forma más perfecta de los cuadrados mágicos , acuñando las palabras cuadrado pandiagonal y cuadrado más perfecto , que anteriormente se había denominado perfecto, diabólico o Nasik.
Algunos cuadrados mágicos famosos
Cuadrado mágico Luo Shu
Las leyendas que datan del 650 a. C. cuentan la historia de Lo Shu (洛 書) o "pergamino del río Lo". [8] Según la leyenda, hubo una época en la antigua China una gran inundación. Mientras el gran rey Yu intentaba canalizar el agua hacia el mar, de ella emergió una tortuga con un curioso patrón en su caparazón: una cuadrícula de 3 × 3 en la que se disponían puntos circulares de números, de modo que la suma de los números en cada fila, columna y diagonal era la misma: 15. Según la leyenda, a partir de entonces la gente pudo usar este patrón de cierta manera para controlar el río y protegerse de las inundaciones. El cuadrado de Lo Shu , como se llama el cuadrado mágico del caparazón de tortuga, es el único cuadrado mágico normal de orden tres en el que 1 está en la parte inferior y 2 en la esquina superior derecha. Cada cuadrado mágico normal de orden tres se obtiene del Lo Shu por rotación o reflexión.
Plaza mágica en templo de Parshavnath
Hay un conocido cuadrado mágico normal 4 × 4 del siglo XII inscrito en la pared del templo Parshvanath en Khajuraho , India. [18] [17] [49]
7 | 12 | 1 | 14 |
2 | 13 | 8 | 11 |
dieciséis | 3 | 10 | 5 |
9 | 6 | 15 | 4 |
Esto se conoce como el Chautisa Yantra ya que su suma mágica es 34. Es uno de los tres cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 y también es una instancia del cuadrado mágico más perfecto . El estudio de este cuadrado llevó a la apreciación de los cuadrados pandiagonales por los matemáticos europeos a finales del siglo XIX. Los cuadrados pandiagonales se conocían como cuadrados Nasik o cuadrados Jain en la literatura inglesa antigua.
El cuadrado mágico de Alberto Durero
Se cree que el cuadrado mágico normal del orden cuatro que Alberto Durero inmortalizó en su grabado Melencolia I de 1514 , mencionado anteriormente, es el primero que se ve en el arte europeo. El cuadrado asociado a Júpiter aparece como un talismán utilizado para ahuyentar la melancolía. Es muy similar a la plaza de Yang Hui , que se creó en China unos 250 años antes de la época de Durero. Como con cada cuadrado mágico normal de orden 4, la suma mágica es 34. Pero en el cuadrado Durer esta suma también se encuentra en cada uno de los cuadrantes, en los cuatro cuadrados centrales y en los cuadrados de las esquinas (de los 4 × 4 también ya que los cuatro contenían cuadrículas de 3 × 3). Esta suma también se puede encontrar en los cuatro números externos en el sentido de las agujas del reloj desde las esquinas (3 + 8 + 14 + 9) y también en los cuatro en el sentido contrario a las agujas del reloj (las ubicaciones de cuatro reinas en las dos soluciones del rompecabezas de las 4 reinas [50] ). , los dos conjuntos de cuatro números simétricos (2 + 8 + 9 + 15 y 3 + 5 + 12 + 14), la suma de las dos entradas del medio de las dos columnas y filas exteriores (5 + 9 + 8 + 12 y 3 + 2 + 15 + 14), y en cuatro cuartetos en forma de cometa o cruz (3 + 5 + 11 + 15, 2 + 10 + 8 + 14, 3 + 9 + 7 + 15 y 2 + 6 + 12 + 14) . Los dos números en el medio de la fila inferior dan la fecha del grabado: 1514. Los números 1 y 4 a cada lado de la fecha corresponden respectivamente a las letras "A" y "D", que son las iniciales del artista. .
dieciséis | 3 | 2 | 13 |
5 | 10 | 11 | 8 |
9 | 6 | 7 | 12 |
4 | 15 | 14 | 1 |
El cuadrado mágico de Durero también se puede ampliar a un cubo mágico. [51]
Plaza mágica de la Sagrada Família
La fachada de la Pasión de la iglesia de la Sagrada Familia de Barcelona , conceptualizada por Antoni Gaudí y diseñada por el escultor Josep Subirachs , presenta un cuadrado mágico de orden trivial 4: La constante mágica del cuadrado es 33, la edad de Jesús en el momento de la Pasión . [52] Estructuralmente, es muy similar al cuadrado mágico de Melancholia, pero se han reducido los números en cuatro de las celdas en 1.
1 | 14 | 14 | 4 |
11 | 7 | 6 | 9 |
8 | 10 | 10 | 5 |
13 | 2 | 3 | 15 |
Los cuadrados triviales como este no son matemáticamente interesantes en general y solo tienen un significado histórico. Lee Sallows ha señalado que, debido a la ignorancia de Subirachs de la teoría del cuadrado mágico, el renombrado escultor cometió un error innecesario, y apoya esta afirmación dando varios ejemplos de cuadrados mágicos 4 × 4 no triviales que muestran la constante mágica deseada de 33. [ 53]
Al igual que el cuadrado mágico de Durero, el cuadrado mágico de la Sagrada Familia también se puede ampliar a un cubo mágico. [54]
Plaza Parker
El Parker Square , que lleva el nombre del matemático recreativo Matt Parker , [55] es un intento de crear un cuadrado mágico de cuadrados de 3 × 3, un problema sin resolver apreciado desde Euler . [56] El cuadrado de Parker es un cuadrado semimágico trivial ya que utiliza algunos números más de una vez, y la diagonal 23 2 - 37 2 - 47 2 sumas para4107 , no3051 como para todas las demás filas, columnas o diagonales. Parker Square se convirtió en una "mascota para las personas que lo intentan, pero que al final se quedan cortas". También es una metáfora de algo que está casi bien, pero está un poco fuera de lugar. [55] [57]
29 2 | 1 2 | 47 2 |
41 2 | 37 2 | 1 2 |
23 2 | 41 2 | 29 2 |
Propiedades de los cuadrados mágicos
Constante mágica
La constante que es la suma de cualquier fila, columna o diagonal se llama constante mágica o suma mágica, M. Todo cuadrado mágico normal tiene una constante dependiente del orden n , calculada por la fórmula. Esto se puede demostrar observando que la suma de es . Dado que la suma de cada fila es, la suma de filas es , que cuando se divide por el orden n produce la constante mágica. Para cuadrados mágicos normales de órdenes n = 3, 4, 5, 6, 7 y 8, las constantes mágicas son, respectivamente: 15, 34, 65, 111, 175 y 260 (secuencia A006003 en el OEIS ).
El cuadrado mágico de orden 1 es trivial
El cuadrado mágico 1 × 1, con solo una celda que contiene el número 1, se llama trivial , porque normalmente no se considera cuando se habla de cuadrados mágicos; pero de hecho es un cuadrado mágico por definición, si consideramos una sola celda como un cuadrado de orden uno.
No se puede construir un cuadrado mágico de orden 2
Se pueden construir cuadrados mágicos normales de todos los tamaños excepto 2 × 2 (es decir, donde el orden n = 2). [58]
Centro de masa
Si pensamos en los números del cuadrado mágico como masas ubicadas en varias celdas, entonces el centro de masa de un cuadrado mágico coincide con su centro geométrico.
Momento de inercia
El momento de inercia de un cuadrado mágico se ha definido como la suma de todas las celdas del número de la celda multiplicado por la distancia al cuadrado desde el centro de la celda hasta el centro del cuadrado; aquí la unidad de medida es el ancho de una celda. [59] (Así, por ejemplo, una celda de esquina de un cuadrado de 3 × 3 tiene una distancia deuna celda de borde que no es de esquina tiene una distancia de 1, y la celda del centro tiene una distancia de 0.) Entonces todos los cuadrados mágicos de un orden dado tienen el mismo momento de inercia que los demás. Para el caso de orden 3 el momento de inercia es siempre 60, mientras que para el caso de orden 4 el momento de inercia es siempre 340. En general, para el caso n × n el momento de inercia es[59]
Descomposición de Birkhoff-von Neumann
Dividir cada número del cuadrado mágico por la constante mágica producirá una matriz estocástica doble , cuyas sumas de fila y de columna son iguales a la unidad. Sin embargo, a diferencia de la matriz doblemente estocástica, las sumas diagonales de tales matrices también serán iguales a la unidad. Por tanto, tales matrices constituyen un subconjunto de matrices doblemente estocásticas. El teorema de Birkhoff-von Neumann establece que para cualquier matriz doblemente estocástica, existen números reales , dónde y matrices de permutación tal que
Esta representación puede no ser única en general. Sin embargo, según el teorema de Marcus-Ree, no es necesario que haya más detérminos en cualquier descomposición. [60] Claramente, esta descomposición también se traslada a los cuadrados mágicos, ya que podemos recuperar un cuadrado mágico de una matriz doblemente estocástica multiplicándolo por la constante mágica.
Clasificación de cuadrados mágicos
Si bien la clasificación de los cuadrados mágicos se puede hacer de muchas maneras, a continuación se ofrecen algunas categorías útiles. Una matriz cuadrada n × n de enteros 1, 2, ..., n 2 se llama:
- Cuadrado semimágico cuando sus filas y columnas se suman para dar la constante mágica.
- Cuadrado mágico simple cuando sus filas, columnas y dos diagonales suman para dar magia constante y nada más. También se conocen como cuadrados mágicos ordinarios o cuadrados mágicos normales .
- Cuadrado mágico autocomplementario cuando es un cuadrado mágico que cuando se complementa (es decir, cada número restado de n 2 + 1) dará una versión rotada o reflejada del cuadrado mágico original.
- Cuadrado mágico asociativo cuando es un cuadrado mágico con una propiedad adicional de que cada número sumado al número equidistante, en línea recta, desde el centro da n 2 + 1. También se denominan cuadrados mágicos simétricos . Los cuadrados mágicos asociados no existen para los cuadrados de un solo orden uniforme. Todos los cuadrados mágicos asociados son también cuadrados mágicos autocomplementarios.
- Cuadrado mágico pandiagonal cuando es un cuadrado mágico con una propiedad adicional de que las diagonales rotas suman la constante mágica. También se les llama cuadrados panmágicos , cuadrados perfectos , cuadrados diabólicos , cuadrados Jain o cuadrados Nasik . Los cuadrados de Panmagic no existen para órdenes individuales uniformes. Sin embargo, incluso los cuadrados no normales pueden ser panmágicos.
- Cuadrado ultra mágico cuando es un cuadrado mágico asociativo y pandiagonal. El cuadrado ultramágico existe solo para órdenes n ≥ 5.
- Cuadrado mágico bordeado cuando es un cuadrado mágico y permanece mágico cuando se eliminan las filas y columnas del borde exterior. También se denominan cuadrados mágicos con bordes concéntricos si al quitar un borde de un cuadrado sucesivamente se obtiene otro cuadrado mágico con bordes más pequeño. El cuadrado mágico bordeado no existe para el pedido 4.
- Cuadrado mágico compuesto cuando es un cuadrado mágico que se crea "multiplicando" (en cierto sentido) cuadrados mágicos más pequeños, de modo que el orden del cuadrado mágico compuesto es un múltiplo del orden de los cuadrados más pequeños. Por lo general, estos cuadrados se pueden dividir en subcuadros mágicos más pequeños que no se superponen.
- Cuadrado mágico incrustado cuando es un cuadrado mágico dentro del cual está incrustado un subcuadrado mágico, independientemente de la técnica de construcción. Los subcuadrados mágicos incrustados se denominan incrustaciones .
- Cuadrado mágico más perfecto cuando es un cuadrado mágico pandiagonal con dos propiedades más (i) cada subcuadrado de 2 × 2 se suma a 1 / k de la constante mágica donde n = 4 k , y (ii) todos los pares de enteros distantes n / 2 a lo largo de cualquier diagonal (mayor o quebrada) son complementarios (es decir, suman n 2 + 1). La primera propiedad se denomina compacidad , mientras que la segunda propiedad se denomina integridad . Los cuadrados mágicos más perfectos existen solo para cuadrados de orden doblemente uniforme. Todos los cuadrados pandiagonales de orden 4 también son los más perfectos.
- El cuadrado mágico de Franklin cuando es un cuadrado mágico doblemente par con tres propiedades adicionales (i) cada diagonal doblada se suma a la constante mágica, (ii) cada media fila y media columna que comienza en un borde exterior se suma a la mitad de la constante mágica, y ( iii) el cuadrado es compacto .
- Plaza Multimagic cuando es un cuadrado mágico que los restos de magia, incluso si todos sus números se sustituirán por su k poder -ésimo para 1 ≤ k ≤ P . También se les conoce como cuadrados P-multimagic o cuadrados satánicos . También se conocen como cuadrados bimagic , cuadrados trimagic , cuadrados tetramagic , cuadrados pentamagic cuando el valor de P es 2, 3, 4, y 5 respectivamente.
Enumeración de cuadrados mágicos
Cuantos cuadrados mágicos, y cuántos toros mágicos de orden n , hay para?
- Cuadrados de bajo orden
Sólo hay un cuadrado mágico (trivial) de orden 1 y ningún cuadrado mágico de orden 2. Como se mencionó anteriormente, el conjunto de cuadrados normales de orden tres constituye una única clase de equivalencia, todos equivalentes al cuadrado Lo Shu. Por lo tanto, hay básicamente un solo cuadrado mágico normal de orden 3.
El número de n × n cuadrados mágicos diferentes para n de 1 a 5, sin contar las rotaciones y reflexiones es:
- 1, 0, 1, 880, 275305224. (secuencia A006052 en la OEIS )
Se ha estimado que el número para n = 6 es (1,7745 ± 0,0016) × 10 19 . [61] [62] [59]
- Tori mágico
Con referencia cruzada a la secuencia anterior, una nueva clasificación enumera los toros mágicos que muestran estos cuadrados mágicos. El número de toros mágicos de orden n de 1 a 5 es:
- 1, 0, 1, 255, 251449712 (secuencia A270876 en la OEIS ).
- Cuadrados y toros de orden superior
El número de cuadrados mágicos normales distintos aumenta rápidamente para órdenes superiores. [63]
Los 880 cuadrados mágicos de orden 4 se muestran en 255 toros mágicos de orden 4 y los 275,305,224 cuadrados de orden 5 se muestran en 251,449,712 toros mágicos de orden 5. El número de toros mágicos y cuadrados normales distintos aún no se conoce para ningún orden superior. . [64]
Los algoritmos tienden a generar solo cuadrados mágicos de cierto tipo o clasificación, lo que hace que contar todos los cuadrados mágicos posibles sea bastante difícil. Los métodos de recuento tradicionales han resultado infructuosos y se ha aplicado el análisis estadístico mediante el método de Monte Carlo . El principio básico aplicado a los cuadrados mágicos es generar aleatoriamente n × n matrices de elementos 1 an 2 y comprobar si el resultado es un cuadrado mágico. La probabilidad de que una matriz de números generada aleatoriamente sea un cuadrado mágico se usa para aproximar el número de cuadrados mágicos. [sesenta y cinco]
Versiones más complejas del método Monte Carlo, como el intercambio Monte Carlo y el retroceso de Monte Carlo han producido estimaciones aún más precisas. Usando estos métodos, se ha demostrado que la probabilidad de cuadrados mágicos disminuye rápidamente a medida que n aumenta. El uso de funciones de ajuste da las curvas que se ven a la derecha.
Transformaciones que conservan la propiedad mágica
Por cualquier cuadrado mágico
- Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando sus números se multiplican por cualquier constante. [66]
- Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando se suma o se resta una constante a sus números, o si sus números se restan de una constante. En particular, si cada elemento de un cuadrado mágico normal se resta de n 2 + 1, obtenemos el complemento del cuadrado original. [66] En el siguiente ejemplo, los elementos del cuadrado de 4 × 4 de la izquierda se restan de 17 para obtener el complemento del cuadrado de la derecha.
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- Los números de un cuadrado mágico pueden estar sustituidos con números correspondientes de un conjunto de s progresiones aritméticas con la misma diferencia común entre r términos, de modo que r × s = n 2 , y cuyos términos inicial también están en progresión aritmética, para obtener una cuadrado mágico no normal. Aquí tampoco es o r debe ser un múltiplo de n . Tengamos s progresiones aritméticas dadas por
- donde a es el término inicial, c es la diferencia común de las progresiones aritméticas yd es la diferencia común entre los términos iniciales de cada progresión. La nueva constante mágica será
- Si s = r = n , entonces tenemos la simplificación
- Si además tenemos a = c = 1 y d = n , obtenemos el habitual M = n ( n 2 +1) / 2. Para dada M podemos encontrar la requerida una , c , y d resolviendo la ecuación lineal Diophantine . En los ejemplos a continuación, tenemos un cuadrado mágico normal de orden 4 en el lado más a la izquierda. El segundo cuadrado es un cuadrado mágico no normal correspondiente con r = 8, s = 2, a = 1, c = 1 y d = 10, de modo que la nueva constante mágica es M = 38. El tercer cuadrado es un orden 5 cuadrado mágico normal, que es una versión girada 90 grados en el sentido de las agujas del reloj del cuadrado generado por el método De la Loubere. En el lado más a la derecha hay un cuadrado mágico no normal correspondiente con a = 4, c = 1 yd = 6, de modo que la nueva constante mágica es M = 90.
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- Cualquier cuadrado mágico puede rotarse y reflejarse para producir 8 cuadrados trivialmente distintos. En la teoría del cuadrado mágico, todos estos generalmente se consideran equivalentes y se dice que los ocho cuadrados forman una sola clase de equivalencia . [67] [66] Al discutir los cuadrados mágicos, los cuadrados equivalentes generalmente no se consideran distintos. Los 8 cuadrados equivalentes se dan para el cuadrado mágico de 3 × 3 a continuación:
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- Dado cualquier cuadrado mágico, se puede formar otro cuadrado mágico del mismo orden intercambiando la fila y la columna que se cruzan en una celda en diagonal con la fila y la columna que se cruzan en la celda complementaria (es decir, celda simétricamente opuesta al centro ) de la misma diagonal. [66] [48] Para un cuadrado par, hay n / 2 pares de filas y columnas que se pueden intercambiar; así podemos obtener 2 n / 2 cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para un cuadrado impar, hay ( n - 1) / 2 pares de filas y columnas que se pueden intercambiar; y 2 ( n -1) / 2 cuadrados mágicos equivalentes obtenidos mediante la combinación de dichos intercambios. Al intercambiar todas las filas y columnas, el cuadrado gira 180 grados. En el ejemplo que utiliza un cuadrado mágico de 4 × 4, el cuadrado de la izquierda es el cuadrado original, mientras que el cuadrado de la derecha es el nuevo cuadrado obtenido al intercambiar la 1ª y 4ª filas y columnas.
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- Dado cualquier cuadrado mágico, se puede formar otro cuadrado mágico del mismo orden intercambiando dos filas en un lado de la línea central, y luego intercambiando las dos filas correspondientes en el otro lado de la línea central; luego intercambiando columnas semejantes. Para un cuadrado par, dado que hay n / 2 filas y columnas del mismo lado, hay n ( n - 2) / 8 pares de tales filas y columnas que se pueden intercambiar. Por lo tanto, podemos obtener 2 n ( n -2) / 8 cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para un cuadrado impar, dado que hay ( n - 1) / 2 filas y columnas del mismo lado, hay ( n - 1) ( n - 3) / 8 pares de dichas filas y columnas que se pueden intercambiar. Por lo tanto, hay 2 ( n - 1) ( n - 3) / 8 cuadrados mágicos equivalentes obtenidos al combinar dichos intercambios. Al intercambiar todos los pares posibles de filas y columnas, cada cuadrante del cuadrado gira 180 grados. En el ejemplo que usa un cuadrado mágico de 4 × 4, el cuadrado de la izquierda es el cuadrado original, mientras que el cuadrado de la derecha es el nuevo cuadrado obtenido por esta transformación. En el cuadrado del medio, la fila 1 se ha intercambiado con la fila 2; y las filas 3 y 4 se han intercambiado. El último cuadrado de la derecha se obtiene intercambiando las columnas 1 y 2, y las columnas 3 y 4 del cuadrado del medio. En este ejemplo particular, esta transformación equivale a rotar los cuadrantes 180 grados. El cuadrado del medio también es un cuadrado mágico, ya que el cuadrado original es un cuadrado mágico asociativo.
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- Una magia restos cuadrado mágico cuando cualquiera de sus filas no centrales x y y se intercambian, junto con el intercambio de sus filas complementarias n - x + 1 y n - y + 1; y luego intercambiando columnas similares. Esta es una generalización de las dos transformadas anteriores. Cuando y = n - x + 1, esta transformada se reduce a la primera de las dos transformadas anteriores. Cuando x y y están en el mismo lado de la línea central, esta transformada se reduce a la segunda de las anteriores dos transformadas. En el siguiente ejemplo, el cuadrado original está en el lado izquierdo, mientras que el cuadrado final está a la derecha. El cuadrado del medio se ha obtenido intercambiando las filas 1 y 3, y las filas 2 y 4 del cuadrado original. El último cuadrado de la derecha se obtiene intercambiando las columnas 1 y 3, y las columnas 2 y 4 del cuadrado del medio. En este ejemplo, esta transformación equivale a intercambiar los cuadrantes en diagonal. Dado que el cuadrado original es asociativo, el cuadrado del medio también resulta ser mágico.
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- Un cuadrado mágico sigue siendo mágico cuando sus cuadrantes se intercambian diagonalmente. Esto es exacto para cuadrados ordenados pares. Para un cuadrado de orden impar, las mitades de la fila central y la columna central también deben intercambiarse. [66] A continuación se ofrecen ejemplos de cuadrados pares e impares:
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Para cuadrados mágicos asociativos
- Un cuadrado mágico asociativo permanece asociativo cuando se intercambian dos filas o columnas equidistantes del centro. [68] [69] Para un cuadrado par, hay n / 2 pares de filas o columnas que se pueden intercambiar; así podemos obtener 2 n / 2 × 2 n / 2 = 2 n cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para un cuadrado impar, hay ( n - 1) / 2 pares de filas o columnas que se pueden intercambiar; y 2 n -1 cuadrados mágicos equivalentes obtenidos mediante la combinación de dichos intercambios. Al intercambiar todas las filas, el cuadrado se voltea verticalmente (es decir, se refleja a lo largo del eje horizontal), mientras que al intercambiar todas las columnas se invierte el cuadrado horizontalmente (es decir, se refleja a lo largo del eje vertical). En el siguiente ejemplo, un cuadrado mágico asociativo de 4 × 4 a la izquierda se transforma en un cuadrado a la derecha intercambiando la segunda y la tercera fila, produciendo el famoso cuadrado mágico de Durer.
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- Un cuadrado mágico asociativo permanece asociativo cuando dos filas (o columnas) del mismo lado se intercambian junto con las filas (o columnas) correspondientes de otros lados. [68] [69] Para un cuadrado par, dado que hay n / 2 filas (o columnas) del mismo lado, hay n ( n - 2) / 8 pares de tales filas (o columnas) que se pueden intercambiar. Por lo tanto, podemos obtener 2 n ( n -2) / 8 × 2 n ( n -2) / 8 = 2 n ( n -2) / 4 cuadrados mágicos equivalentes combinando dichos intercambios. Para cuadrados impares, dado que hay ( n - 1) / 2 filas o columnas del mismo lado, hay ( n - 1) ( n - 3) / 8 pares de tales filas o columnas que se pueden intercambiar. Por lo tanto, hay 2 ( n - 1) ( n - 3) / 8 × 2 ( n - 1) ( n - 3) / 8 = 2 ( n - 1) ( n - 3) / 4 cuadrados mágicos equivalentes obtenidos por combinando tales intercambios. Intercambiar todas las filas del mismo lado voltea cada cuadrante del cuadrado verticalmente, mientras que intercambiar todas las columnas del mismo lado voltea cada cuadrante del cuadrado horizontalmente. En el siguiente ejemplo, el cuadrado original está a la izquierda, cuyas filas 1 y 2 se intercambian entre sí, junto con las filas 3 y 4, para obtener el cuadrado transformado de la derecha.
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Para cuadrados mágicos pan-diagonales
- Un cuadrado mágico pan-diagonal sigue siendo un cuadrado mágico pan-diagonal bajo el desplazamiento cíclico de filas o columnas o ambos. [66] Esto nos permite colocar un número dado en cualquiera de las n 2 celdas de un cuadrado de n orden. Por lo tanto, para un cuadrado pan-mágico dado, hay n 2 cuadrados pan-mágicos equivalentes. En el siguiente ejemplo, el cuadrado original de la izquierda se transforma desplazando la primera fila hacia la parte inferior para obtener un nuevo cuadrado pan-mágico en el medio. A continuación, la primera y la segunda columna del cuadrado pan-mágico del medio se desplazan circularmente hacia la derecha para obtener un nuevo cuadrado pan-mágico a la derecha.
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Para cuadrados mágicos bordeados
- Un cuadrado mágico bordeado sigue siendo un cuadrado mágico bordeado después de permutar las celdas del borde en las filas o columnas, junto con sus correspondientes términos complementarios, manteniendo fijas las celdas de las esquinas. Dado que las celdas en cada fila y columna de cada borde concéntrico se pueden permutar independientemente, cuando el orden n ≥ 5 es impar, hay ((n-2)! × (n-4)! × ··· × 3!) 2 cuadrados con bordes equivalentes. Cuando n ≥ 6 es par, hay ((n-2)! × (n-4)! × ··· × 4!) 2 cuadrados con bordes equivalentes. En el siguiente ejemplo, se da un cuadrado de orden 5 cuya fila de borde se ha permutada. Podemos obtener (3!) 2 = 36 cuadrados equivalentes.
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- Un cuadrado mágico bordeado sigue siendo un cuadrado mágico bordeado después de que cada uno de sus bordes concéntricos se gire o refleje de forma independiente con respecto al cuadrado mágico del núcleo central. Si hay b bordes, entonces esta transformada producirá 8 b cuadrados equivalentes. En el siguiente ejemplo del cuadrado mágico de 5 × 5, el borde se ha girado 90 grados en sentido antihorario.
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Para cuadrados mágicos compuestos
- Un cuadrado mágico compuesto sigue siendo un cuadrado mágico compuesto cuando los cuadrados mágicos incrustados sufren transformaciones que no alteran la propiedad mágica (por ejemplo, rotación, reflexión, desplazamiento de filas y columnas, etc.).
Métodos especiales de construcción.
A lo largo del milenio, se han descubierto muchas formas de construir cuadrados mágicos. Estos métodos pueden clasificarse como métodos generales y métodos especiales, en el sentido de que los métodos generales nos permiten construir más de un solo cuadrado mágico de un orden dado, mientras que los métodos especiales nos permiten construir solo un cuadrado mágico de un orden dado. Los métodos especiales son algoritmos específicos, mientras que los métodos generales pueden requerir algo de prueba y error.
Los métodos especiales son formas estándar y más sencillas de construir un cuadrado mágico. Sigue ciertas configuraciones / fórmulas / algoritmos que generan patrones regulares de números en un cuadrado. La exactitud de estos métodos especiales se puede probar utilizando uno de los métodos generales que se dan en secciones posteriores. Después de que se ha construido un cuadrado mágico usando un método especial, las transformaciones descritas en la sección anterior se pueden aplicar para producir más cuadrados mágicos. Por lo general, se hace referencia a los métodos especiales utilizando el nombre del autor o autores (si se conocen) que describieron el método, por ejemplo, el método de De la Loubere, el método de Starchey, el método de Bachet, etc.
Los cuadrados mágicos existen para todos los valores de n , excepto para el orden 2. Los cuadrados mágicos pueden clasificarse según su orden como impares, doblemente pares ( n divisible por cuatro) e individualmente pares ( n pares, pero no divisibles por cuatro). Esta clasificación se basa en el hecho de que es necesario emplear técnicas completamente diferentes para construir estas diferentes especies de cuadrados. Los cuadrados mágicos impares y doblemente pares son fáciles de generar; la construcción de cuadrados mágicos pares individuales es más difícil, pero existen varios métodos, incluido el método LUX para cuadrados mágicos (debido a John Horton Conway ) y el método Strachey para cuadrados mágicos .
Un método para construir un cuadrado mágico de orden 3
En el siglo XIX, Édouard Lucas ideó la fórmula general para los cuadrados mágicos de orden 3. Tenga en cuenta la siguiente tabla compuesta de números enteros positivos a , b y c :
c - b | c + ( a + b ) | c - a |
c - ( a - b ) | C | c + ( a - b ) |
c + a | c - ( a + b ) | c + b |
Estos nueve números serán números enteros positivos distintos que forman un cuadrado mágico con la magia constante 3 c siempre que 0 < un < b < c - una y b ≠ 2 una . Además, cada cuadrado mágico de 3 × 3 de enteros positivos distintos tiene esta forma.
En 1997, Lee Sallows descubrió que, dejando de lado las rotaciones y los reflejos, cada paralelogramo distinto dibujado en el diagrama de Argand define un cuadrado mágico único de 3 × 3, y viceversa, un resultado que nunca antes se había observado. [67]
Un método para construir un cuadrado mágico de orden impar.
Un método para construir cuadrados mágicos de orden impar fue publicado por el diplomático francés de la Loubère en su libro Una nueva relación histórica del reino de Siam (Du Royaume de Siam, 1693), en el capítulo titulado El problema del cuadrado mágico. según los indios . [70] El método funciona de la siguiente manera:
El método prescribe comenzar en la columna central de la primera fila con el número 1. Después de eso, el movimiento fundamental para llenar los cuadrados es diagonalmente hacia arriba y hacia la derecha, un paso a la vez. Si se encuentra un cuadrado lleno, uno se mueve verticalmente hacia abajo un cuadrado en su lugar, luego continúa como antes. Cuando un movimiento "hacia arriba y hacia la derecha" dejaría el cuadrado, se envuelve hasta la última fila o la primera columna, respectivamente.
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Es posible comenzar desde otros cuadrados en lugar de la columna central de la primera fila, pero entonces solo las sumas de fila y columna serán idénticas y darán como resultado una suma mágica, mientras que las sumas diagonales serán diferentes. El resultado será, por tanto, un cuadrado semimagico y no un verdadero cuadrado mágico. Moverse en direcciones distintas al noreste también puede resultar en cuadrados mágicos.
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Un método para construir un cuadrado mágico de orden doblemente uniforme.
Doble par significa que n es un múltiplo par de un número entero par; o 4 p (por ejemplo, 4, 8, 12), donde p es un número entero.
Patrón genérico Todos los números están escritos en orden de izquierda a derecha en cada fila por turno, comenzando desde la esquina superior izquierda. Luego, los números se retienen en el mismo lugar o se intercambian con sus números diametralmente opuestos en un cierto patrón regular. En el cuadrado mágico de orden cuatro, los números de los cuatro cuadrados centrales y un cuadrado en cada esquina se mantienen en el mismo lugar y los demás se intercambian con sus números diametralmente opuestos.
Una construcción de un cuadrado mágico de orden 4 Comenzando desde la parte superior izquierda, vaya de izquierda a derecha a través de cada fila del cuadrado, contando cada celda del 1 al 16 y llenando las celdas a lo largo de las diagonales con su número correspondiente. Una vez que llegue a la celda inferior derecha, continúe yendo de derecha a izquierda, comenzando desde la parte inferior derecha de la tabla a través de cada fila, y complete las celdas no diagonales contando de 1 a 16 con su número correspondiente. Como se muestra abajo:
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Una extensión del ejemplo anterior para los pedidos 8 y 12 Primero genere una tabla de patrones, donde un '1' indica seleccionar desde el cuadrado donde los números están escritos en orden 1 an 2 (de izquierda a derecha, de arriba a abajo ), y un '0' indica que se selecciona desde el cuadrado donde los números están escritos en orden inverso n 2 a 1. Para M = 4, la tabla de patrones es como se muestra a continuación (tercera matriz desde la izquierda). Cuando sombreamos las celdas inalteradas (celdas con '1'), obtenemos un patrón entrecruzado.
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Los patrones son a) hay el mismo número de "1" y "0" en cada fila y columna; b) cada fila y cada columna son "palindrómicas"; c) las mitades izquierda y derecha son imágenes especulares; yd) las mitades superior e inferior son imágenes especulares (cyd implican b). La tabla de patrones se puede denotar usando hexadecimales como (9, 6, 6, 9) para simplificar (1 nibble por fila, 4 filas). El método más simple de generar el patrón requerido para cuadrados doblemente pares de orden superior es copiar el patrón genérico para el cuadrado de cuarto orden en cada subcuadrado de cuatro por cuatro.
Para M = 8, las opciones posibles para el patrón son (99, 66, 66, 99, 99, 66, 66, 99); (3C, 3C, C3, C3, C3, C3, 3C, 3C); (A5, 5A, A5, 5A, 5A, A5, 5A, A5) (2 bocados por fila, 8 filas).
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Para M = 12, la tabla de patrones (E07, E07, E07, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, 1F8, E07, E07, E07) produce un cuadrado mágico (3 bocados por fila, 12 filas). Es posible contar el número de opciones que uno tiene basándose en la tabla de patrones, teniendo en cuenta las simetrías rotacionales.
Método de superposición
El primer descubrimiento del método de superposición fue realizado por el matemático indio Narayana en el siglo XIV. El mismo método fue redescubierto y estudiado más tarde a principios del siglo XVIII en Europa por de la Loubere, Poignard, de La Hire y Sauveur; y el método se suele denominar método de la Hire. Aunque el trabajo de Euler sobre el cuadrado mágico no era original, conjeturó la famosa imposibilidad de construir los cuadrados grecolatinos mutuamente ortogonales ordenados uniformemente impares . Esta conjetura fue refutada a mediados del siglo XX. Para mayor claridad de exposición, hemos distinguido dos variaciones importantes de este método.
El método de Euler
Este método consiste en construir dos cuadrados preliminares, que al sumarlos dan el cuadrado mágico. Como ejemplo de ejecución, consideraremos un cuadrado mágico de 3 × 3. Podemos etiquetar de forma única cada número del cuadrado natural de 3 × 3 con un par de números como
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donde cada par de alfabetos griegos y latinos, por ejemplo, αa , deben sumarse, es decir, αa = α + a . Aquí, ( α , β , γ ) = (0, 3, 6) y ( a , b , c ) = (1, 2, 3). Los números 0, 3 y 6 se denominan números raíz, mientras que los números 1, 2 y 3 se denominan números primarios . Una restricción general importante aquí es
- una letra griega se empareja con una letra latina solo una vez .
Por lo tanto, el cuadrado original ahora se puede dividir en dos cuadrados más simples:
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Los cuadrados con letras se denominan cuadrado griego o cuadrado latino si están llenos de letras griegas o latinas, respectivamente. Se puede construir un cuadrado mágico asegurándose de que los cuadrados griegos y latinos también sean cuadrados mágicos. La inversa de esta afirmación también es a menudo, pero no siempre (por ejemplo, cuadrados mágicos bordeados), verdadera: un cuadrado mágico se puede descomponer en un cuadrado griego y uno latino, que son en sí mismos cuadrados mágicos. Por lo tanto, el método es útil tanto para la síntesis como para el análisis de un cuadrado mágico. Por último, al examinar el patrón en el que se colocan los números en el cuadrado terminado, a menudo es posible encontrar un algoritmo más rápido para construir cuadrados de orden superior que replican el patrón dado, sin la necesidad de crear el griego y el latín preliminares. cuadrícula.
Durante la construcción del cuadrado mágico de 3 × 3, los cuadrados griegos y latinos con solo tres términos únicos son mucho más fáciles de tratar que el cuadrado original con nueve términos diferentes. La suma de filas y la suma de columnas del cuadrado griego será la misma, α + β + γ , si
- cada letra aparece exactamente una vez en una columna o fila determinada .
Esto se puede lograr mediante la permutación cíclica de α , β y γ . La satisfacción de estas dos condiciones asegura que el cuadrado resultante sea un cuadrado semimágico; y se dice que estos cuadrados griegos y latinos son mutuamente ortogonales entre sí. Para un orden dado n , hay como máximo n - 1 cuadrados en un conjunto de cuadrados mutuamente ortogonales, sin contar las variaciones debidas a la permutación de los símbolos. Este límite superior es exacto cuando n es un número primo.
Para construir un cuadrado mágico, también debemos asegurarnos de que las diagonales sumen la constante mágica. Para ello, tenemos una tercera condición:
- o todas las letras deben aparecer exactamente una vez en ambas diagonales; o en el caso de cuadrados impares, una de las diagonales debe consistir enteramente en el término medio, mientras que la otra diagonal debe tener todas las letras exactamente una vez .
Se dice que los cuadrados griegos y latinos mutuamente ortogonales que satisfacen la primera parte de la tercera condición (que todas las letras aparezcan en ambas diagonales) son cuadrados grecolatinos doblemente diagonales mutuamente ortogonales .
Cuadrados impares: Para el cuadrado impar de 3 × 3, dado que α , β y γ están en progresión aritmética, su suma es igual al producto del orden del cuadrado por el término medio, es decir, α + β + γ = 3 β . Por lo tanto, las sumas de las diagonales serán iguales si tenemos β s en la diagonal principal y α , β , γ en la diagonal oblicua. Del mismo modo, para el cuadrado latino. Los cuadrados griegos y latinos resultantes y su combinación serán los siguientes. El cuadrado latino es solo una rotación de 90 grados en el sentido contrario a las agujas del reloj del cuadrado griego (o, de manera equivalente, girando sobre el eje vertical) con las letras correspondientes intercambiadas. Sustituyendo los valores de las letras griegas y latinas se obtendrá el cuadrado mágico de 3 × 3.
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Para los cuadrados impares, este método explica por qué funciona el método siamés (método de De la Loubere) y sus variantes. Este método básico se puede utilizar para construir cuadrados mágicos de orden superior de orden impar. Resumir:
- Para cuadrados ordenados impares, para construir un cuadrado griego, coloque el término medio a lo largo de la diagonal principal y coloque el resto de los términos a lo largo de la diagonal sesgada. Las celdas vacías restantes se llenan con movimientos diagonales. El cuadrado latino se puede construir girando o volteando el cuadrado griego y reemplazando los alfabetos correspondientes. El cuadrado mágico se obtiene sumando los cuadrados griegos y latinos.
Una peculiaridad del método de construcción dado anteriormente para los cuadrados mágicos impares es que el número del medio ( n 2 + 1) / 2 siempre aparecerá en la celda central del cuadrado mágico. ¡Ya que hay ( n - 1)! formas de organizar los términos de la diagonal oblicua, podemos obtener ( n - 1)! Cuadrados griegos de esta manera; lo mismo con los cuadrados latinos. Además, dado que cada cuadrado griego se puede emparejar con ( n - 1)! Cuadrados latinos, y dado que para cada cuadrado griego el término medio puede colocarse arbitrariamente en la diagonal principal o en la diagonal oblicua (y, en consecuencia, a lo largo de la diagonal oblicua o la diagonal principal para los cuadrados latinos), podemos construir un total de 2 × ( n - 1)! × ( n - 1)! cuadrados mágicos usando este método. Para n = 3, 5 y 7, esto dará 8, 1152 y 1,036,800 cuadrados mágicos diferentes, respectivamente. Dividiendo por 8 para ignorar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y los reflejos, obtenemos 1, 144 y 129,600 cuadrados mágicos esencialmente diferentes, respectivamente.
Como otro ejemplo, se da la construcción de un cuadrado mágico de 5 × 5. Los números se escriben directamente en lugar de alfabetos. Los cuadrados numerados se denominan cuadrado primario o cuadrado raíz si se rellenan con números primarios o números raíz, respectivamente. Los números se colocan alrededor de la diagonal oblicua en la raíz cuadrada de modo que la columna del medio de la raíz cuadrada resultante tenga 0, 5, 10, 15, 20 (de abajo hacia arriba). El cuadrado principal se obtiene girando el cuadrado raíz en el sentido contrario a las agujas del reloj 90 grados y reemplazando los números. El cuadrado resultante es un cuadrado mágico asociativo, en el que cada par de números simétricamente opuestos al centro suman el mismo valor, 26. Por ejemplo, 16 + 10, 3 + 23, 6 + 20, etc. En el cuadrado terminado , 1 se coloca en la celda central de la fila inferior, y los números sucesivos se colocan mediante el movimiento del caballo alargado (dos celdas a la derecha, dos celdas hacia abajo), o de manera equivalente, el movimiento del alfil (dos celdas en diagonal hacia abajo a la derecha). Cuando ocurre una colisión, el movimiento de ruptura es mover una celda hacia arriba. Todos los números impares se encuentran dentro del diamante central formado por 1, 5, 25 y 21, mientras que los números pares se colocan en las esquinas. La ocurrencia de los números pares se puede deducir copiando el cuadrado a los lados adyacentes. Los números pares de cuatro cuadrados adyacentes formarán una cruz.
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A continuación se muestra una variación del ejemplo anterior, en el que la secuencia diagonal oblicua se toma en un orden diferente. El cuadrado mágico resultante es la versión invertida del famoso cuadrado mágico de Marte de Agrippa. Es un cuadrado mágico asociativo y es el mismo que produce el método de Moschopoulos. Aquí el cuadrado resultante comienza con 1 colocado en la celda que está a la derecha de la celda central, y continúa como el método de De la Loubere, con movimiento hacia abajo-derecha. Cuando ocurre una colisión, el movimiento de ruptura es desplazar dos celdas hacia la derecha.
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En los ejemplos anteriores, para el cuadrado griego, la segunda fila se puede obtener de la primera fila desplazándola circularmente hacia la derecha una celda. De manera similar, la tercera fila es una versión desplazada circularmente de la segunda fila una celda a la derecha; y así. Asimismo, las filas del cuadrado latino se desplazan circularmente hacia la izquierda en una celda. Los cambios de fila para los cuadrados griegos y latinos están en direcciones opuestas entre sí. Es posible cambiar circularmente las filas en más de una celda para crear el cuadrado griego y latino.
- Para los cuadrados ordenados impares, cuyo orden no es divisible por tres, podemos crear los cuadrados griegos desplazando una fila dos lugares hacia la izquierda o hacia la derecha para formar la siguiente fila. El cuadrado latino se hace volteando el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal e intercambiando las letras correspondientes. Esto nos da un cuadrado latino cuyas filas se crean desplazando la fila en la dirección opuesta a la del cuadrado griego. Un cuadrado griego y un cuadrado latino deben emparejarse de manera que sus cambios de fila sean en direcciones opuestas entre sí. El cuadrado mágico se obtiene sumando los cuadrados griegos y latinos. Cuando el orden también es un número primo, este método siempre crea un cuadrado mágico pandiagonal.
Esto esencialmente recrea el movimiento del caballo. Todas las letras aparecerán en ambas diagonales, asegurando la correcta suma diagonal. Ya que hay n ! permutaciones de las letras griegas mediante las cuales podemos crear la primera fila del cuadrado griego, por lo tanto, ¡hay n ! Cuadrados griegos que se pueden crear desplazando la primera fila en una dirección. Asimismo, hay n ! tales cuadrados latinos creados al cambiar la primera fila en la dirección opuesta. Dado que un cuadrado griego se puede combinar con cualquier cuadrado latino con cambios de fila opuestos, ¡hay n ! × n ! tales combinaciones. Por último, dado que el cuadrado griego se puede crear desplazando las filas hacia la izquierda o hacia la derecha, ¡hay un total de 2 × n ! × n ! cuadrados mágicos que se pueden formar con este método. Para n = 5 y 7, dado que son números primos, este método crea 28,800 y 50,803,200 cuadrados mágicos pandiagonales. Dividiendo por 8 para despreciar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y las reflexiones, obtenemos 3.600 y 6.350.400 cuadrados equivalentes. Dividiendo aún más por n 2 para ignorar los cuadrados panmágicos equivalentes debido al desplazamiento cíclico de filas o columnas, obtenemos 144 y 129.600 cuadrados panmágicos esencialmente diferentes. Para pedidos 5 cuadrados, estos son los únicos cuadrados panmágicos que existen. La condición de que el orden del cuadrado no sea divisible por 3 significa que no podemos construir cuadrados de los órdenes 9, 15, 21, 27, etc., mediante este método.
En el siguiente ejemplo, el cuadrado se ha construido de manera que 1 está en la celda central. En el cuadro terminado, los números se pueden enumerar continuamente mediante el movimiento del caballo (dos celdas hacia arriba, una celda hacia la derecha). Cuando ocurre una colisión, el movimiento de ruptura es mover una celda hacia arriba, una celda hacia la izquierda. El cuadrado resultante es un cuadrado mágico pandiagonal. Este cuadrado también tiene una propiedad diabólica adicional de que cinco celdas en un patrón de quincunx formado por cualquier subcuadrado impar, incluido el envolvente, suman la constante mágica, 65. Por ejemplo, 13 + 7 + 1 + 20 + 24, 23+ 1 + 9 + 15 + 17, 13 + 21 + 10 + 19 + 2 etc. También las cuatro esquinas de cualquier cuadrado de 5 × 5 y la celda central, así como las celdas del medio de cada lado junto con la celda central, incluyendo envuelva, dé la suma mágica: 13 + 10 + 19 + 22 + 1 y 20 + 24 + 12 + 8 + 1. Por último, los cuatro romboides que forman cruces alargadas también dan la suma mágica: 23 + 1 + 9 + 24 + 8, 15 + 1 + 17 + 20 + 12, 14 + 1 + 18 + 13 + 19, 7 + 1 + 25 + 22 + 10.
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También podemos combinar los cuadrados griegos y latinos construidos por diferentes métodos. En el siguiente ejemplo, la casilla principal se crea mediante el movimiento del caballo. Hemos recreado el cuadrado mágico obtenido por el método de De la Loubere. ¡Como antes, podemos formar 8 × ( n - 1)! × n ! cuadrados mágicos por esta combinación. Para n = 5 y 7, esto creará 23,040 y 29,030,400 cuadrados mágicos. Después de dividir por 8 para despreciar los cuadrados equivalentes debido a la rotación y la reflexión, obtenemos 2.880 y 3.628.800 cuadrados.
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Para el orden 5 cuadrados, estos tres métodos dan un censo completo del número de cuadrados mágicos que se pueden construir mediante el método de superposición. Sin tener en cuenta la rotación y los reflejos, el número total de cuadrados mágicos de orden 5 producidos por el método de superposición es 144 + 3.600 + 2.880 = 6.624.
Cuadrados pares: también podemos construir cuadrados ordenados pares de esta manera. Dado que no existe un término medio entre los alfabetos griego y latino para cuadrados pares ordenados, además de las dos primeras restricciones, para que las sumas diagonales produzcan la constante mágica, todas las letras del alfabeto deben aparecer en la diagonal principal y en la sesgar diagonal.
A continuación se muestra un ejemplo de un cuadrado de 4 × 4. Para la diagonal dada y la diagonal oblicua en el cuadrado griego, el resto de las celdas se pueden completar con la condición de que cada letra aparezca solo una vez en una fila y una columna.
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Usando estos dos cuadrados grecolatinos, ¡podemos construir 2 × 4! × 4! = 1,152 cuadrados mágicos. Dividiendo por 8 para eliminar cuadrados equivalentes debido a la rotación y las reflexiones, obtenemos 144 cuadrados mágicos esencialmente diferentes de orden 4. Estos son los únicos cuadrados mágicos construibles por el método de Euler, ya que solo hay dos cuadrados grecolatinos doblemente diagonales mutuamente ortogonales de orden 4.
De manera similar, se puede construir un cuadrado mágico de 8 × 8 como se muestra a continuación. Aquí el orden de aparición de los números no es importante; sin embargo, los cuadrantes imitan el patrón de disposición de los cuadrados grecolatinos de 4 × 4.
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El método de Euler ha dado lugar al estudio de los cuadrados grecolatinos . El método de Euler para construir cuadrados mágicos es válido para cualquier orden excepto 2 y 6.
Variaciones : Los cuadrados mágicos construidos a partir de cuadrados grecolatinos doblemente diagonales mutuamente ortogonales son interesantes en sí mismos ya que la propiedad mágica surge de la posición relativa de los alfabetos en el cuadrado, y no debido a ninguna propiedad aritmética del valor asignado a ellos. Esto significa que podemos asignar cualquier valor a los alfabetos de dichos cuadrados y aún así obtener un cuadrado mágico. Esta es la base para construir cuadrados que muestren alguna información (por ejemplo, cumpleaños, años, etc.) en el cuadrado y para crear "cuadrados reversibles". Por ejemplo, podemos mostrar el número π ≈3.141 592 en la fila inferior de un cuadrado mágico de 4 × 4 usando el cuadrado grecolatino dado arriba asignando ( α , β , γ , δ ) = (10, 0, 90, 15) y ( a , b , c , d ) = (0, 2, 3, 4). Obtendremos el siguiente cuadrado mágico no normal con la suma mágica 124:
10 | 2 | 93 | 19 |
94 | 18 | 12 | 0 |
17 | 90 | 4 | 13 |
3 | 14 | 15 | 92 |
El método de Narayana-De la Hire para pedidos uniformes
El método de Narayana-De la Hire para el cuadrado impar es el mismo que el de Euler. Sin embargo, para los cuadrados pares, descartamos el segundo requisito de que cada letra griega y latina aparezca solo una vez en una fila o columna determinada. Esto nos permite aprovechar el hecho de que la suma de una progresión aritmética con un número par de términos es igual a la suma de dos términos simétricos opuestos multiplicados por la mitad del número total de términos. Así, al construir los cuadrados griegos o latinos,
- para cuadrados ordenados uniformes, una letra puede aparecer n / 2 veces en una columna, pero solo una vez en una fila, o viceversa.
Como ejemplo continuo, si tomamos un cuadrado de 4 × 4, donde los términos griego y latino tienen los valores ( α , β , γ , δ ) = (0, 4, 8, 12) y ( a , b , c , d ) = (1, 2, 3, 4), respectivamente, entonces tenemos α + β + γ + δ = 2 ( α + δ ) = 2 ( β + γ ). De manera similar, a + b + c + d = 2 ( a + d ) = 2 ( b + c ). Esto significa que el par complementario α y δ (o β y γ ) pueden aparecer dos veces en una columna (o una fila) y aun así dar la suma mágica deseada. Por tanto, podemos construir:
- Para cuadrados incluso ordenados, el cuadrado mágico griego se hace colocando primero los alfabetos griegos a lo largo de la diagonal principal en algún orden. Luego, la diagonal de sesgo se completa en el mismo orden o seleccionando los términos que son complementarios a los términos de la diagonal principal. Finalmente, las celdas restantes se llenan en forma de columna. Dada una columna, usamos los términos complementarios en las celdas diagonales intersectadas por esa columna, asegurándonos de que aparezcan solo una vez en una fila dada, pero n / 2 veces en la columna dada. El cuadrado latino se obtiene volteando o rotando el cuadrado griego e intercambiando los alfabetos correspondientes. El cuadrado mágico final se obtiene sumando los cuadrados griegos y latinos.
En el ejemplo que se muestra a continuación, la diagonal principal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) se rellena con una secuencia ordenada como α , β , γ , δ , mientras que la diagonal oblicua (de abajo a la izquierda a arriba a la derecha) se llena en el mismo orden. A continuación, las celdas restantes se llenan en forma de columna de modo que las letras complementarias aparezcan solo una vez dentro de una fila, pero dos veces dentro de una columna. En la primera columna, dado que α aparece en la 1ª y 4ª fila, las celdas restantes se rellenan con su término complementario δ . De manera similar, las celdas vacías en la segunda columna se llenan con γ ; en la 3ª columna β ; y cuarta columna α . Cada letra griega aparece solo una vez a lo largo de las filas, pero dos veces a lo largo de las columnas. Como tal, las sumas de las filas son α + β + γ + δ, mientras que las sumas de las columnas son 2 ( α + δ ) o 2 ( β + γ ). Lo mismo ocurre con el cuadrado latino, que se obtiene volteando el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal e intercambiando las letras correspondientes.
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El ejemplo anterior explica por qué funciona el método "entrecruzado" para un cuadrado mágico doblemente uniforme. Otro posible cuadrado mágico de 4 × 4, que también es pan-diagonal y el más perfecto, se construye a continuación usando la misma regla. Sin embargo, la secuencia diagonal se elige de modo que las cuatro letras α , β , γ , δ aparezcan dentro del subcuadrado central de 2 × 2. Las celdas restantes se llenan en forma de columna de modo que cada letra aparece solo una vez dentro de una fila. En la primera columna, las celdas vacías deben llenarse con una de las letras seleccionadas del par complementario α y δ . Dada la primera columna, la entrada en la segunda fila solo puede ser δ ya que α ya está allí en la segunda fila; mientras que, en la 3ª fila, la entrada solo puede ser α ya que δ ya está presente en la 3ª fila. Procedemos de manera similar hasta que se llenan todas las celdas. El cuadrado latino que se muestra a continuación se ha obtenido volteando el cuadrado griego a lo largo de la diagonal principal y reemplazando los alfabetos griegos con los correspondientes alfabetos latinos.
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También podemos usar este enfoque para construir cuadrados mágicos pares individuales. Sin embargo, debemos tener más cuidado en este caso, ya que el criterio de emparejar los alfabetos griego y latino de forma única no se cumple automáticamente. La violación de esta condición conduce a que falten algunos números en el cuadro final, mientras que se duplican otros. Por lo tanto, aquí hay una condición importante:
- Para cuadrados pares individuales, en el cuadrado griego, marque las celdas de las columnas que están emparejadas verticalmente con su complemento. En tal caso, la celda correspondiente del cuadrado latino debe contener la misma letra que su celda emparejada horizontalmente.
A continuación se muestra una construcción de un cuadrado mágico de 6 × 6, donde los números se dan directamente, en lugar de los alfabetos. El segundo cuadrado se construye volteando el primer cuadrado a lo largo de la diagonal principal. Aquí, en la primera columna del cuadrado de la raíz, la tercera celda está emparejada con su complemento en las cuartas celdas. Por lo tanto, en el cuadrado principal, los números de la 1ª y 6ª celda de la 3ª fila son los mismos. Asimismo, con otras columnas y filas. En este ejemplo, la versión invertida de la raíz cuadrada satisface esta condición.
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Como otro ejemplo de un cuadrado mágico de 6 × 6 construido de esta manera se da a continuación. Aquí las entradas diagonales están dispuestas de manera diferente. El cuadrado principal se construye volteando la raíz cuadrada sobre la diagonal principal. En el segundo cuadrado no se cumple la condición de un cuadrado par simple, lo que lleva a un cuadrado mágico no normal (tercer cuadrado) donde los números 3, 13, 24 y 34 están duplicados y faltan los números 4, 18, 19 y 33.
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La última condición es un poco arbitraria y no siempre es necesario invocarla, como en este ejemplo, donde en el cuadrado raíz cada celda está emparejada verticalmente con su complemento:
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Como ejemplo más, hemos generado un cuadrado mágico de 8 × 8. A diferencia del patrón entrecruzado de la sección anterior para un cuadrado uniforme, aquí tenemos un patrón a cuadros para las celdas alteradas y sin alterar. Además, en cada cuadrante los números pares e impares aparecen en columnas alternas.
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Variaciones : Es posible una serie de variaciones de la idea básica: un par complementario puede aparecer n / 2 veces o menos en una columna . Es decir, se puede construir una columna de un cuadrado griego utilizando más de un par complementario. Este método nos permite imbuir el cuadrado mágico con propiedades mucho más ricas. La idea también se puede extender a las diagonales. A continuación se muestra un ejemplo de un cuadrado mágico de 8 × 8. En el cuadrado terminado, cada uno de los cuatro cuadrantes también son cuadrados pan-mágicos, cada cuadrante con la misma constante mágica 130.
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Método de fronteras
Método limítrofe para el pedido 3
En este método, el objetivo es envolver un borde alrededor de un cuadrado mágico más pequeño que sirve como núcleo. Considere el cuadrado de 3 × 3, por ejemplo. Restando el número medio 5 de cada número 1, 2, ..., 9, obtenemos 0, ± 1, ± 2, ± 3 y ± 4, que seguiremos, a falta de mejores palabras, siguiendo a S. Harry White , se refieren a números de huesos. La constante mágica de un cuadrado mágico, al que nos referiremos como el cuadrado del esqueleto, formada por estos números de hueso será cero, ya que sumar todas las filas de un cuadrado mágico dará nM = Σ k = 0; entonces M = 0.
No es difícil argumentar que el número del medio debe colocarse en la celda central: sea x el número colocado en la celda del medio, luego la suma de la columna del medio, la fila del medio y las dos diagonales dan Σ k + 3 x = 4 M . Como Σ k = 3 M , tenemos x = M / 3. Aquí M = 0, entonces x = 0.
Poniendo el número medio 0 en la celda central, queremos construir un borde tal que el cuadrado resultante sea mágico. Dejemos que la frontera esté dada por:
tu | a | v |
B* | 0 | B |
v * | a* | u * |
Dado que la suma de cada fila, columna y diagonales debe ser una constante (que es cero), tenemos
- a + a * = 0,
- b + b * = 0,
- u + u * = 0,
- v + v * = 0.
Ahora, si hemos elegido a , b , u y v , entonces tenemos a * = - a , b * = - b , u * = - u , y v * = - v . Esto significa que si asignamos un número dado a una variable, digamos a = 1, entonces su complemento se asignará a a * , es decir, a * = - 1. Por lo tanto, de ocho variables desconocidas, es suficiente especificar el valor de solo cuatro variables. Consideraremos a , b , u y v como variables independientes, mientras que a * , b * , u * y v * como variables dependientes. Esto nos permite considerar un número de hueso ± x como un número único independientemente del signo porque (1) su asignación a una variable dada, digamos a , implicará automáticamente que el mismo número de signo opuesto se compartirá con su complemento a * , y (2) dos variables independientes, dicen una y b , no se puede asignar el mismo número hueso. Pero, ¿cómo deberíamos elegir a , b , u y v ? Tenemos la suma de la fila superior y la suma de la columna de la derecha como
- u + a + v = 0,
- v + b + u * = 0.
Dado que 0 es un número par, solo hay dos formas en que la suma de tres enteros producirá un número par: 1) si los tres fueran pares, o 2) si dos fueran impares y uno par. Dado que en nuestra elección de números solo tenemos dos números pares distintos de cero (± 2 y ± 4), la primera afirmación es falsa. Por lo tanto, debe darse el caso de que la segunda afirmación sea verdadera: que dos de los números son pares y uno impar.
La única manera de que tanto los anteriores dos ecuaciones pueden satisfacer esta condición de paridad al mismo tiempo, y todavía ser coherente con el conjunto de números que tenemos, es cuando u y v son impares. Por el contrario, si hubiéramos asumido u y una para ser impar y v a ser incluso en la primera ecuación, entonces u * = - u será par en la segunda ecuación, haciendo b impar, así, con el fin de satisfacer la condición de paridad. Pero esto requiere tres números impares ( u , una , y b ), contradiciendo el hecho de que sólo tenemos dos números impares (± 1 y ± 3) que podemos utilizar. Esto prueba que los huesos impares ocupan las celdas de las esquinas. Cuando se convierte a números normales sumando 5, esto implica que las esquinas de un cuadrado mágico de 3 × 3 están ocupadas por números pares.
Por lo tanto, tomando u = 1 y v = 3, tenemos a = - 4 y b = - 2. Por lo tanto, el cuadro esqueleto terminado será el de la izquierda. Sumando 5 a cada número, obtenemos el cuadrado mágico terminado.
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Se puede usar un argumento similar para construir cuadrados más grandes. Dado que no existe un cuadrado mágico de 2 × 2 alrededor del cual podamos envolver un borde para construir un cuadrado mágico de 4 × 4, el siguiente orden más pequeño para el cual podemos construir un cuadrado bordeado es el orden 5.
Método limítrofe para el pedido 5
Considere el cuadrado de quinto orden. Para ello, contamos con un núcleo mágico de 3 × 3, alrededor del cual envolveremos un borde mágico. Los números óseos a utilizar serán ± 5, ± 6, ± 7, ± 8, ± 9, ± 10, ± 11 y ± 12. Sin tener en cuenta los signos, tenemos 8 números óseos, 4 de los cuales son pares y 4 de los cuales son extraños. En general, para un cuadrado de cualquier orden n , habrá 4 ( n - 1) celdas de borde, que se llenarán con 2 ( n - 1) números de hueso. Deja que el borde mágico se dé como
tu | a | B | C | v |
D* | D | |||
mi* | mi | |||
F* | F | |||
v * | a* | B* | C* | u * |
Como antes, deberíamos
- coloque un número de hueso y su complemento uno frente al otro, de modo que la suma mágica sea cero.
Es suficiente determinar los números u, v, a, b, c, d, e, f para describir el borde mágico. Como antes, tenemos las dos ecuaciones de restricción para la fila superior y la columna derecha:
- u + a + b + c + v = 0
- v + d + e + f + u * = 0.
Son posibles múltiples soluciones. El procedimiento estándar es
- Primero intente determinar las celdas de las esquinas, después de lo cual intentaremos determinar el resto del borde.
Hay 28 formas de elegir dos números del conjunto de 8 números de hueso para las celdas de las esquinas u y v . Sin embargo, no todos los pares son admisibles. Entre los 28 pares, 16 pares están formados por un número par e impar, 6 pares tienen ambos como números pares, mientras que 6 pares tienen ambos como números impares.
Podemos probar que las celdas de las esquinas u y v no pueden tener un número par e impar. Esto es porque si esto fuera así, entonces las sumas u + v y v + u * será impar, y desde 0 es un número par, las sumas un + b + c y d + e + f debe ser impar también. La única forma en que la suma de tres enteros resultará en un número impar es cuando 1) dos de ellos son pares y uno es impar, o 2) cuando los tres son impares. Dado que se supone que las celdas de las esquinas son pares e impares, ninguna de estas dos afirmaciones es compatible con el hecho de que solo tenemos 3 números de huesos pares y 3 impares a nuestra disposición. Esto prueba que u y v no pueden tener una paridad diferente. Esto elimina 16 posibilidades.
Usando un razonamiento de tipo similar también podemos sacar algunas conclusiones sobre los conjuntos { a , b , c } y { d , e , f }. Si U y V son a la vez, incluso, a continuación, tanto los conjuntos deben tener dos números impares y uno número par. Si U y V son ambos impares, entonces uno de los conjuntos deberían tener tres números pares, mientras que el otro conjunto debe tener un número par y dos números impares.
Como ejemplo continuo, considere el caso en el que tanto u como v son pares. Los 6 pares posibles son: (6, 8), (6, 10), (6, 12), (8, 10), (8, 12) y (10, 12). Dado que las sumas u + v y v + u * son pares, las sumas a + b + c y d + e + f también deben ser pares. La única forma en que la suma de tres enteros resultará en un número par es cuando 1) dos de ellos son impares y uno es par, o 2) cuando los tres son pares. El hecho de que las dos celdas de las esquinas sean pares significa que solo tenemos 2 números pares a nuestra disposición. Por tanto, la segunda afirmación no es compatible con este hecho. Por lo tanto, debe darse el caso de que la primera afirmación sea verdadera: dos de los tres números deben ser impares, mientras que uno debe ser par.
Ahora vamos a, b, d, e ser números impares, mientras que c y f ser números pares. Dados los números impares de huesos a nuestra disposición: ± 5, ± 7, ± 9 y ± 11, sus diferencias van desde D = {± 2, ± 4, ± 6} mientras que sus sumas van desde S = {± 12, ± 14, ± 16, ± 18, ± 20}. También es útil tener una tabla de su suma y diferencias para referencia posterior. Ahora bien, dado que las células de esquina ( u , v ), podemos comprobar su admisibilidad comprobando si las sumas u + v + c y v + u * + f caída dentro del conjunto D o S . La admisibilidad de los números de esquina es una condición necesaria pero no suficiente para que exista la solución.
Por ejemplo, si consideramos el par ( u , v ) = (8, 12), entonces u + v = 20 y v + u * = 6; y tendremos ± 6 y ± 10 números de huesos pares a nuestra disposición. Tomando c = ± 6, tenemos la suma u + v + c para ser 26 y 14, dependiendo del signo de ± 6 tomado, ambos de los cuales no entran dentro de los conjuntos de D o S . Del mismo modo, teniendo c = ± 10, tenemos la suma u + v + c a ser 30 y 10, ambos de los cuales de nuevo no caen dentro de los conjuntos de D o S . Por tanto, el par (8, 12) no es admisible. Mediante un proceso de razonamiento similar, también podemos descartar el par (6, 12).
Como otro ejemplo, si consideramos el par ( u , v ) = (10, 12), entonces u + v = 22 y v + u * = 2; y tendremos ± 6 y ± 8 números de huesos pares a nuestra disposición. Tomando c = ± 6, tenemos la suma u + v + c para ser 28 y 16. Aunque 28 no cae dentro de los conjuntos de D o S , 16 cae en conjunto S . Por inspección, encontramos que si ( a , b ) = (-7, -9), entonces a + b = -16; y satisfará la primera ecuación de restricción. Además, tomando f = ± 8, tenemos la suma v + u * + f como 10 y -6. Mientras que 10 no cae dentro de los conjuntos de D o S , -6 cae en el conjunto D . Desde -7 y -9 ya han sido asignados a un y b , claramente ( d , e ) = (-5, 11) de modo que d + e = 6; y satisfará la segunda ecuación de restricción.
Del mismo modo, teniendo c = ± 8, tenemos la suma u + v + c a ser 30 y 14. Aunque 30 no cae dentro de los conjuntos de D o S , 14 cae en conjunto S . Por inspección, encontramos que si ( a , b ) = (-5, -9), entonces a + b = -14. Además, tomando f = ± 6, tenemos la suma v + u * + f como 8 y -4. Mientras que 8 no está comprendido dentro de los conjuntos D o S , -4 cae en el conjunto D . Claramente, ( d , e ) = (-7, 11) de modo que d + e = 4, y se cumplirá la segunda ecuación de restricción.
Por tanto, el par de esquinas ( u , v ) = (10, 12) es admisible; y admite dos soluciones: (a, b, c, d, e, f) = (-7, -9, -6, -5, 11, -8) y (a, b, c, d, e, f) = (-5, -9, -8, -7, 11, -6). Los cuadrados de esqueleto terminados se dan a continuación. El cuadrado mágico se obtiene sumando 13 a cada celda.
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Usando un proceso similar de razonamiento, podemos construir la siguiente tabla para los valores de u, v, a, b, c, d, e, f expresados como números de huesos como se indica a continuación. Solo hay 6 opciones posibles para las celdas de esquina, lo que conduce a 10 posibles soluciones de borde.
u, v | a B C | d, e, f |
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12, 10 | -6, -7, -9 | -11, 5, 8 |
12, 10 | -5, -8, -9 | -11, 6, 7 |
11, 5 | 6, -10, -12 | -9, 7, 8 |
10, 6 | 5, -9, -12 | -11, 7, 8 |
10, 6 | 7, -11, -12 | -9, 5, 8 |
9, 7 | 5, -10, -11 | -12, 6, 8 |
9, 7 | 6, -10, -12 | -11, 5, 8 |
8, 6 | 7, -10, -11 | -12, 5, 9 |
8, 6 | 9, -11, -12 | -10, 5, 7 |
7, 5 | 9, -10, -11 | -12, 6, 8 |
Given this group of 10 borders, we can construct 10×8×(3!)2 = 2880 essentially different bordered magic squares. Here the bone numbers ± 5, ..., ± 12 were consecutive. More bordered squares can be constructed if the numbers are not consecutive. If non-consecutive bone numbers were also used, then there are a total of 605 magic borders. Thus, the total number of order 5 essentially different bordered magic squares (with consecutive and non-consecutive numbers) is 174,240.[71][72] See history.[73] It is worth noting that the number of fifth-order magic squares constructible via the bordering method is about 26 times larger than via the superposition method.
Continuous enumeration methods
Exhaustive enumeration of all the borders of a magic square of a given order, as done previously, is very tedious. As such a structured solution is often desirable, which allows us to construct a border for a square of any order. Below we give three algorithms for constructing border for odd, doubly even, and singly even squares. These continuous enumeration algorithms were discovered in 10th century by Arab scholars; and their earliest surviving exposition comes from the two treatises by al-Buzjani and al-Antaki, although they themselves were not the discoverers.[24] Since then many more such algorithms have been discovered.
Odd ordered squares: The following is the algorithm given by al-Buzjani to construct a border for odd squares. A peculiarity of this method is that for order n square, the two adjacent corners are numbers n - 1 and n + 1.
Starting from the cell above the lower left corner, we put the numbers alternately in left column and bottom row until we arrive at the middle cell. The next number is written in the middle cell of the bottom row just reached, after which we fill the cell in the upper left corner, then the middle cell of the right column, then the upper right corner. After this, starting from the cell above middle cell of the right column already filled, we resume the alternate placement of the numbers in the right column and the top row. Once half of the border cells are filled, the other half are filled by numbers complementary to opposite cells. The subsequent inner borders is filled in the same manner, until the square of order 3 is filled.[24]
Below is an example for 9th-order square.
8 | 80 | 78 | 76 | 75 | 12 | 14 | 16 | 10 |
67 | 22 | 64 | 62 | 61 | 26 | 28 | 24 | 15 |
69 | 55 | 32 | 52 | 51 | 36 | 34 | 27 | 13 |
71 | 57 | 47 | 38 | 45 | 40 | 35 | 25 | 11 |
73 | 59 | 49 | 43 | 41 | 39 | 33 | 23 | 9 |
5 | 19 | 29 | 42 | 37 | 44 | 53 | 63 | 77 |
3 | 17 | 48 | 30 | 31 | 46 | 50 | 65 | 79 |
1 | 58 | 18 | 20 | 21 | 56 | 54 | 60 | 81 |
72 | 2 | 4 | 6 | 7 | 70 | 68 | 66 | 74 |
Doubly even order: The following is the method given by al-Antaki. Consider an empty border of order n = 4k with k ≥ 3. The peculiarity of this algorithm is that the adjacent corner cells are occupied by numbers n and n - 1.
Starting at the upper left corner cell, we put the successive numbers by groups of four, the first one next to the corner, the second and the third on the bottom, and the fourth at the top, and so on until there remains in the top row (excluding the corners) six empty cells. We then write the next two numbers above and the next four below. We then fill the upper corners, first left then right. We place the next number below the upper right corner in the right column, the next number on the other side in the left column. We then resume placing groups of four consecutive numbers in the two columns as before. Once half of the border cells are filled, the other half are filled by numbers complementary to opposite cells.[24]
The example below gives the border for order 16 square.
15 | 1 | 255 | 254 | 4 | 5 | 251 | 250 | 8 | 9 | 10 | 246 | 245 | 244 | 243 | 16 |
240 | 17 | ||||||||||||||
18 | 239 | ||||||||||||||
19 | 238 | ||||||||||||||
237 | 20 | ||||||||||||||
236 | 21 | ||||||||||||||
22 | 235 | ||||||||||||||
23 | 234 | ||||||||||||||
233 | 24 | ||||||||||||||
232 | 25 | ||||||||||||||
26 | 231 | ||||||||||||||
27 | 230 | ||||||||||||||
229 | 28 | ||||||||||||||
228 | 29 | ||||||||||||||
30 | 227 | ||||||||||||||
241 | 256 | 2 | 3 | 253 | 252 | 6 | 7 | 249 | 248 | 247 | 11 | 12 | 13 | 14 | 242 |
For order 8 square, we just begin directly with the six cells.
7 | 1 | 2 | 62 | 61 | 60 | 59 | 8 |
56 | 9 | ||||||
10 | 55 | ||||||
11 | 54 | ||||||
53 | 12 | ||||||
52 | 13 | ||||||
14 | 51 | ||||||
57 | 64 | 63 | 3 | 4 | 5 | 6 | 58 |
Singly even order: For singly even order, we have the algorithm given by al-Antaki. Here the corner cells are occupied by n and n - 1. Below is an example of 10th-order square.
Start by placing 1 at the bottom row next to the left corner cell, then place 2 in the top row. After this, place 3 at the bottom row and turn around the border in anti-clockwise direction placing the next numbers, until n - 2 is reached on the right column. The next two numbers are placed in the upper corners (n - 1 in upper left corner and n in upper right corner). Then, the next two numbers are placed on the left column, then we resume the cyclic placement of the numbers until half of all the border cells are filled. Once half of the border cells are filled, the other half are filled by numbers complementary to opposite cells.[24]
9 | 100 | 2 | 98 | 5 | 94 | 88 | 15 | 84 | 10 |
83 | 18 | ||||||||
16 | 85 | ||||||||
87 | 14 | ||||||||
12 | 89 | ||||||||
11 | 90 | ||||||||
93 | 8 | ||||||||
6 | 95 | ||||||||
97 | 4 | ||||||||
91 | 1 | 99 | 3 | 96 | 7 | 13 | 86 | 17 | 92 |
Método de composición
For squares of order m × n where m, n > 2
This is a method reminiscent of the Kronecker product of two matrices, that builds an nm × nm magic square from an n × n magic square and an m × m magic square.[74] The "product" of two magic squares creates a magic square of higher order than the two multiplicands. Let the two magic squares be of orders m and n. The final square will be of order m × n. Divide the square of order m × n into m × m sub-squares, such that there are a total of n2 such sub-squares. In the square of order n, reduce by 1 the value of all the numbers. Multiply these reduced values by m2, and place the results in the corresponding sub-squares of the m × n whole square. The squares of order m are added n2 times to the sub-squares of the final square. The peculiarity of this construction method is that each magic subsquare will have different magic sums. The square made of such magic sums from each magic subsquare will again be a magic square. The smallest composite magic square of order 9, composed of two order 3 squares is given below.
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Since each of the 3×3 sub-squares can be independently rotated and reflected into 8 different squares, from this single 9×9 composite square we can derive 89 = 134,217,728 essentially different 9×9 composite squares. Plenty more composite magic squares can also be derived if we select non-consecutive numbers in the magic sub-squares, like in Yang Hui's version of the 9×9 composite magic square. The next smallest composite magic squares of order 12, composed of magic squares of order 3 and 4 are given below.
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For the base squares, there is only one essentially different 3rd order square, while there 880 essentially different 4th-order squares that we can choose from. Each pairing can produce two different composite squares. Since each magic sub-squares in each composite square can be expressed in 8 different forms due to rotations and reflections, there can be 1×880×89 + 880×1×816 ≈ 2.476×1017 essentially different 12×12 composite magic squares created this way, with consecutive numbers in each sub-square. In general, if there are cm and cn essentially different magic squares of order m and n, then we can form cm × cn × ( 8m2 + 8n2) composite squares of order mn, provided m ≠ n. If m = n, then we can form (cm)2 × 8m2 composite squares of order m2.
For squares of doubly even order
When the squares are of doubly even order, we can construct a composite magic square in a manner more elegant than the above process, in the sense that every magic subsquare will have the same magic constant. Let n be the order of the main square and m the order of the equal subsquares. The subsquares are filled one by one, in any order, with a continuous sequence of m2/2 smaller numbers (i.e. numbers less than or equal to n2/2) together with their complements to n2 + 1. Each subsquare as a whole will yield the same magic sum. The advantage of this type of composite square is that each subsquare is filled in the same way and their arrangement is arbitrary. Thus, the knowledge of a single construction of even order will suffice to fill the whole square. Furthermore, if the subsquares are filled in the natural sequence, then the resulting square will be pandiagonal. The magic sum of the subsquares is related to the magic sum of the whole square by where n = km.[24]
In the examples below, we have divided the order 12 square into nine subsquares of order 4 filled each with eight smaller numbers and, in the corresponding bishop's cells (two cells diagonally across, including wrap arounds, in the 4×4 subsquare), their complements to n2 + 1 = 145. Each subsquare is pandiagonal with magic constant 290; while the whole square on the left is also pandiagonal with magic constant 870.
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In another example below, we have divided the order 12 square into four order 6 squares. Each of the order 6 squares are filled with eighteen small numbers and their complements using bordering technique given by al-Antaki. If we remove the shaded borders of the order 6 subsquares and form an order 8 square, then this order 8 square is again a magic square. In its full generality, we can take any m2/2 smaller numbers together with their complements to n2 + 1 to fill the subsquares, not necessarily in continuous sequence.
60 | 82 | 88 | 56 | 90 | 59 | 24 | 118 | 124 | 20 | 126 | 23 |
64 | 69 | 74 | 79 | 68 | 81 | 28 | 33 | 110 | 115 | 32 | 117 |
83 | 75 | 72 | 65 | 78 | 62 | 119 | 111 | 36 | 29 | 114 | 26 |
84 | 66 | 77 | 76 | 71 | 61 | 120 | 30 | 113 | 112 | 35 | 25 |
58 | 80 | 67 | 70 | 73 | 87 | 22 | 116 | 31 | 34 | 109 | 123 |
86 | 63 | 57 | 89 | 55 | 85 | 122 | 27 | 21 | 125 | 19 | 121 |
6 | 136 | 142 | 2 | 144 | 5 | 42 | 100 | 106 | 38 | 108 | 41 |
10 | 15 | 128 | 133 | 14 | 135 | 46 | 51 | 92 | 97 | 50 | 99 |
137 | 129 | 18 | 11 | 132 | 8 | 101 | 93 | 54 | 47 | 96 | 44 |
138 | 12 | 131 | 130 | 17 | 7 | 102 | 48 | 95 | 94 | 53 | 43 |
4 | 134 | 13 | 16 | 127 | 141 | 40 | 98 | 49 | 52 | 91 | 105 |
140 | 9 | 3 | 143 | 1 | 139 | 104 | 45 | 39 | 107 | 37 | 103 |
Medjig-method for squares of even order 2n, where n > 2
In this method a magic square is "multiplied" with a medjig square to create a larger magic square. The namesake of this method derives from mathematical game called medjig created by Willem Barink in 2006, although the method itself is much older. An early instance of a magic square constructed using this method occurs in Yang Hui's text for order 6 magic square. The LUX method to construct singly even magic squares is a special case of the medjig method, where only 3 out of 24 patterns are used to construct the medjig square.
The pieces of the medjig puzzle are 2×2 squares on which the numbers 0, 1, 2 and 3 are placed. There are three basic patterns by which the numbers 0, 1, 2 and 3 can be placed in a 2×2 square, where 0 is at the top left corner:
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Each pattern can be reflected and rotated to obtain 8 equivalent patterns, giving us a total of 3×8 = 24 patterns. The aim of the puzzle is to take n2 medjig pieces and arrange them in an n × n medjig square in such a way that each row, column, along with the two long diagonals, formed by the medjig square sums to 3n, the magic constant of the medjig square. An n × n medjig square can create a 2n × 2n magic square where n > 2.
Given an n×n medjig square and an n×n magic square base, a magic square of order 2n×2n can be constructed as follows:
- Each cell of an n×n magic square is associated with a corresponding 2×2 subsquare of the medjig square
- Fill each 2×2 subsquares of the medjig square with the four numbers from 1 to 4n2 that equal the original number modulo n2, i.e. x+n2y where x is the corresponding number from the magic square and y is a number from 0 to 3 in the 2×2 subsquares.
Assuming that we have an initial magic square base, the challenge lies in constructing a medjig square. For reference, the sums of each medjig piece along the rows, columns and diagonals, denoted in italics, are:
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Doubly even squares: The smallest even ordered medjig square is of order 2 with magic constant 6. While it is possible to construct a 2×2 medjig square, we cannot construct a 4×4 magic square from it since 2×2 magic squares required to "multiply" it does not exist. Nevertheless, it is worth constructing these 2×2 medjig squares. The magic constant 6 can be partitioned into two parts in three ways as 6 = 5 + 1 = 4 + 2 = 3 + 3. There exists 96 such 2×2 medjig squares. In the examples below, each 2×2 medjig square is made by combining different orientations of a single medjig piece.
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We can use the 2×2 medjig squares to construct larger even ordered medjig squares. One possible approach is to simply combine the 2×2 medjig squares together. Another possibility is to wrap a smaller medjig square core with a medjig border. The pieces of a 2×2 medjig square can form the corner pieces of the border. Yet another possibility is to append a row and a column to an odd ordered medjig square. An example of an 8×8 magic square is constructed below by combining four copies of the left most 2×2 medjig square given above:
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The next example is constructed by bordering a 2×2 medjig square core.
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Singly even squares: Medjig square of order 1 does not exist. As such, the smallest odd ordered medjig square is of order 3, with magic constant 9. There are only 7 ways of partitioning the integer 9, our magic constant, into three parts. If these three parts correspond to three of the medjig pieces in a row, column or diagonal, then the relevant partitions for us are
- 9 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 3 + 4 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3.
A 3×3 medjig square can be constructed with some trial-and-error, as in the left most square below. Another approach is to add a row and a column to a 2×2 medjig square. In the middle square below, a left column and bottom row has been added, creating an L-shaped medjig border, to a 2×2 medjig square given previously. The right most square below is essentially same as the middle square, except that the row and column has been added in the middle to form a cross while the pieces of 2×2 medjig square are placed at the corners.
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Once a 3×3 medjig square has been constructed, we can convert it into a 6×6 magic square. For example, using the left most 3×3 medjig square given above:
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There are 1,740,800 such 3×3 medjig squares.[75] An easy approach to construct higher order odd medjig square is by wrapping a smaller odd ordered medjig square with a medjig border, just as with even ordered medjig squares. Another approach is to append a row and a column to an even ordered medjig square. Approaches such as the LUX method can also be used. In the example below, a 5×5 medjig square is created by wrapping a medjig border around a 3×3 medjig square given previously:
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Resolver cuadrados mágicos parcialmente completados
Solving partially completed magic squares is a popular mathematical pastime. The techniques needed are similar to those used in Sudoku or KenKen puzzles, and involve deducing the values of unfilled squares using logic and permutation group theory (Sudoku grids are not magic squares but are based on a related idea called Graeco-Latin squares).[64]
Variaciones del cuadrado mágico
Extra constraints
Certain extra restrictions can be imposed on magic squares.
If raising each number to the nth power yields another magic square, the result is a bimagic (n = 2), a trimagic (n = 3), or, in general, a multimagic square.
A magic square in which the number of letters in the name of each number in the square generates another magic square is called an alphamagic square.
There are magic squares consisting entirely of primes. Rudolf Ondrejka (1928–2001) discovered the following 3×3 magic square of primes, in this case nine Chen primes:
17 | 89 | 71 |
113 | 59 | 5 |
47 | 29 | 101 |
The Green–Tao theorem implies that there are arbitrarily large magic squares consisting of primes.
The following "reversible magic square" has a magic constant of 264 both upside down and right way up:[76]
96 | 11 | 89 | 68 |
88 | 69 | 91 | 16 |
61 | 86 | 18 | 99 |
19 | 98 | 66 | 81 |
When the extra constraint is to display some date, especially a birth date, then such magic squares are called birthday magic square. An early instance of such birthday magic square was created by Srinivasa Ramanujan. He created a 4×4 square in which he entered his date of birth in DD-MM-CC-YY format in the top row and the magic happened with additions and subtractions of numbers in squares. Not only do the rows, columns, and diagonals add up to the same number, but the four corners, the four middle squares (17, 9, 24, 89), the first and last rows two middle numbers (12, 18, 86, 23), and the first and last columns two middle numbers (88, 10, 25, 16) all add up to the sum of 139.
Multiplicative magic squares
Instead of adding the numbers in each row, column and diagonal, one can apply some other operation. For example, a multiplicative magic square has a constant product of numbers. A multiplicative magic square can be derived from an additive magic square by raising 2 (or any other integer) to the power of each element, because the logarithm of the product of 2 numbers is the sum of logarithm of each. Alternatively, if any 3 numbers in a line are 2a, 2b and 2c, their product is 2a+b+c, which is constant if a+b+c is constant, as they would be if a, b and c were taken from ordinary (additive) magic square.[77] For example, the original Lo-Shu magic square becomes:
16 | 512 | 4 |
8 | 32 | 128 |
256 | 2 | 64 |
Other examples of multiplicative magic squares include:
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Multiplicative magic squares of complex numbers
Still using Ali Skalli's non iterative method, it is possible to produce an infinity of multiplicative magic squares of complex numbers[78] belonging to set. On the example below, the real and imaginary parts are integer numbers, but they can also belong to the entire set of real numbers . The product is: −352,507,340,640 − 400,599,719,520 i.
21 | +14i | −70 | +30i | −93 | −9i | −105 | −217i | 16 | +50i | 4 | −14i | 14 | −8i |
63 | −35i | 28 | +114i | −14i | 2 | +6i | 3 | −11i | 211 | +357i | −123 | −87i | |
31 | −15i | 13 | −13i | −103 | +69i | −261 | −213i | 49 | −49i | −46 | +2i | −6 | +2i |
102 | −84i | −28 | −14i | 43 | +247i | −10 | −2i | 5 | +9i | 31 | −27i | −77 | +91i |
−22 | −6i | 7 | +7i | 8 | +14i | 50 | +20i | −525 | −492i | −28 | −42i | −73 | +17i |
54 | +68i | 138 | −165i | −56 | −98i | −63 | +35i | 4 | −8i | 2 | −4i | 70 | −53i |
24 | +22i | −46 | −16i | 6 | −4i | 17 | +20i | 110 | +160i | 84 | −189i | 42 | −14i |
Additive-multiplicative magic and semimagic squares
Additive-multiplicative magic squares and semimagic squares satisfy properties of both ordinary and multiplicative magic squares and semimagic squares, respectively.[79]
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It is unknown if any additive-multiplicative magic squares smaller than 8×8 exist, but it has been proven that no 3×3 or 4×4 additive-multiplicative magic squares and no 3×3 additive-multiplicative semimagic squares exist.[80]
Geometric magic squares
Magic squares may be constructed which contain geometric shapes instead of numbers. Such squares, known as geometric magic squares, were invented and named by Lee Sallows in 2001.[81]
In the example shown the shapes appearing are two dimensional. It was Sallows' discovery that all magic squares are geometric, the numbers that appear in numerical magic squares can be interpreted as a shorthand notation which indicates the lengths of straight line segments that are the geometric 'shapes' occurring in the square. That is, numerical magic squares are that special case of a geometric magic square using one dimensional shapes.[82]
Area magic squares
In 2017, following initial ideas of William Walkington and Inder Taneja, the first linear area magic square (L-AMS) was constructed by Walter Trump.[83]
Other magic shapes
Other two dimensional shapes than squares can be considered. The general case is to consider a design with N parts to be magic if the N parts are labeled with the numbers 1 through N and a number of identical sub-designs give the same sum. Examples include magic circles, magic rectangles, magic triangles[84] magic stars, magic hexagons, magic diamonds. Going up in dimension results in magic spheres, magic cylinders, magic cubes, magic parallelepiped, magic solids, and other magic hypercubes.
Possible magic shapes are constrained by the number of equal-sized, equal-sum subsets of the chosen set of labels. For example, if one proposes to form a magic shape labeling the parts with {1, 2, 3, 4}, the sub-designs will have to be labeled with {1,4} and {2,3}.[84]
Problemas relacionados
n-Queens problem
In 1992, Demirörs, Rafraf, and Tanik published a method for converting some magic squares into n-queens solutions, and vice versa.[85]
Cuadrados mágicos en el ocultismo
Magic squares of order 3 through 9, assigned to the seven planets, and described as means to attract the influence of planets and their angels (or demons) during magical practices, can be found in several manuscripts all around Europe starting at least since the 15th century. Among the best known, the Liber de Angelis, a magical handbook written around 1440, is included in Cambridge Univ. Lib. MS Dd.xi.45.[86] The text of the Liber de Angelis is very close to that of De septem quadraturis planetarum seu quadrati magici, another handbook of planetary image magic contained in the Codex 793 of the Biblioteka Jagiellońska (Ms BJ 793).[87] The magical operations involve engraving the appropriate square on a plate made with the metal assigned to the corresponding planet,[88] as well as performing a variety of rituals. For instance, the 3×3 square, that belongs to Saturn, has to be inscribed on a lead plate. It will, in particular, help women during a difficult childbirth.
In about 1510 Heinrich Cornelius Agrippa wrote De Occulta Philosophia, drawing on the Hermetic and magical works of Marsilio Ficino and Pico della Mirandola. In its 1531 edition, he expounded on the magical virtues of the seven magical squares of orders 3 to 9, each associated with one of the astrological planets, much in the same way as the older texts did. This book was very influential throughout Europe until the counter-reformation, and Agrippa's magic squares, sometimes called kameas, continue to be used within modern ceremonial magic in much the same way as he first prescribed.[89]
The most common use for these kameas is to provide a pattern upon which to construct the sigils of spirits, angels or demons; the letters of the entity's name are converted into numbers, and lines are traced through the pattern that these successive numbers make on the kamea. In a magical context, the term magic square is also applied to a variety of word squares or number squares found in magical grimoires, including some that do not follow any obvious pattern, and even those with differing numbers of rows and columns. They are generally intended for use as talismans. For instance the following squares are: The Sator square, one of the most famous magic squares found in a number of grimoires including the Key of Solomon; a square "to overcome envy", from The Book of Power;[90] and two squares from The Book of the Sacred Magic of Abramelin the Mage, the first to cause the illusion of a superb palace to appear, and the second to be worn on the head of a child during an angelic invocation:
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Cuadrados mágicos en la cultura popular
- In Goethe's Faust, the witch's spell used to make a youth elixir for Faust, the Hexen-Einmal-Eins , has been interpreted as a construction of a magic square.
- The English composer Peter Maxwell Davies has used magic squares to structure many of his compositions. For example, his 1975 Ave Maris Stella uses the 9×9 magic square of Moon while his 1977 A Mirror of Whitening Light uses the 8×8 magic square of Mercury to create the entire set of notes and durations for the piece. His other works that employ magic squares include The Lighthouse (1979), Resurrection (1987), Strathclyde Concerto No. 3 for Horn and Trumpet (1989), as well as many of his symphonies.[91][92] According to Davies' own account:
A magic square in a musical composition is not a block of numbers – it is a generating principle, to be learned and known intimately, perceived inwardly as a multi-dimensional projection into that vast (chaotic!) area of the internal ear – the space/time crucible – where music is conceived. ... Projected onto the page, a magic square is a dead, black conglomeration of digits; tune in, and one hears a powerful, orbiting dynamo of musical images, glowing with numen and lumen.[92]
- Magic squares, including Benjamin Franklin's, appear as clues to the mystery in Katherine Neville's novels The Eight and The Fire.
- Dürer's magic square and his Melencolia I both also played large roles in Dan Brown's 2009 novel, The Lost Symbol.
- In the 2011 Korean television drama Deep Rooted Tree, King Sejong is shown attempting to construct a 33×33 magic square using lunch boxes. He ultimately discovers the "pyramid method" and completes the magic square with the help of an army of court attendants. This inspires him to create a more just form of government ruled by reason and words rather than military might.
- On October 9, 2014 the post office of Macao in the People's Republic of China issued a series of stamps based on magic squares.[93] The figure below shows the stamps featuring the nine magic squares chosen to be in this collection.[94]
- The metallic artifact at the center of The X-Files episode "Biogenesis" is alleged by Chuck Burks to be a magic square.[95][96]
- Mathematician Matt Parker attempted to create a 3x3 magic square using square numbers in a YouTube video on the Numberphile channel. His failed attempt is known as the Parker Square.
- The first season Stargate Atlantis episode "Brotherhood" involves completing a magic square as part of a puzzle guarding a powerful Ancient artefact.
- Magic Squares are also featured in the 2019 Spanish film Vivir dos veces.
Ver también
- Antimagic square
- Arithmetic sequence
- Associative magic square
- Combinatorial design
- Freudenthal magic square
- John R. Hendricks
- Hexagonal tortoise problem
- Latin square
- Magic circle
- Magic cube classes
- Magic series
- Most-perfect magic square
- Nasik magic hypercube
- Prime reciprocal magic square
- Room square
- Square matrices
- Sigil (magic)
- Sriramachakra
- Sudoku
- Unsolved problems in mathematics
- Vedic square
- Magic polygon
Notas
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- ^ The squares can be seen on folios 20 and 21 of MS. 2433, at the Biblioteca Universitaria of Bologna. They also appear on folio 69rv of Plimpton 167, a manuscript copy of the Trattato dell'Abbaco from the 15th century in the Library of Columbia University.
- ^ In a 1981 article ("Zur Frühgeschichte der magischen Quadrate in Westeuropa" i.e. "Prehistory of Magic Squares in Western Europe", Sudhoffs Archiv Kiel (1981) vol. 65, pp. 313–338) German scholar Menso Folkerts lists several manuscripts in which the "Trattato d'Abbaco" by Dagomari contains the two magic square. Folkerts quotes a 1923 article by Amedeo Agostini in the Bollettino dell'Unione Matematica Italiana: "A. Agostini in der Handschrift Bologna, Biblioteca Universitaria, Ms. 2433, f. 20v–21r; siehe Bollettino della Unione Matematica Italiana 2 (1923), 77f. Agostini bemerkte nicht, dass die Quadrate zur Abhandlung des Paolo dell’Abbaco gehören und auch in anderen Handschriften dieses Werks vorkommen, z. B. New York, Columbia University, Plimpton 167, f. 69rv; Paris, BN, ital. 946, f. 37v–38r; Florenz, Bibl. Naz., II. IX. 57, f. 86r, und Targioni 9, f. 77r; Florenz, Bibl. Riccard., Ms. 1169, f. 94–95."
- ^ This manuscript text (circa 1496–1508) is also at the Biblioteca Universitaria in Bologna. It can be seen in full at the address http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Presentazione.html Archived 2012-03-01 at the Wayback Machine
- ^ Pacioli states: A lastronomia summamente hanno mostrato li supremi di quella commo Ptolomeo, al bumasar ali, al fragano, Geber et gli altri tutti La forza et virtu de numeri eserli necessaria (Masters of astronomy, such as Ptolemy, Albumasar, Alfraganus, Jabir and all the others, have shown that the force and the virtue of numbers are necessary to that science) and then goes on to describe the seven planetary squares, with no mention of magical applications.
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The Parker Square is a mascot for people who give it a go but ultimately fall short.
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Moreover, it's a magic square, a pattern in which God supposedly instructed the early Hebrews to gain power from names or their numeric equivalents.
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I love when they bring the nerdy FBI guy in to explain the concept of “the magic square,” which he does by telling us that magic squares have been around for a while, and then nothing else. Unless I missed something, all I have at this point is that magic squares are squares that people once thought were magic.
Referencias
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enlaces externos
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- Heinz, Harvey D. "Magic Squares index page".
- Danielsson, Holger. "Magic Squares".
- Trump, Walter. "Notes on Magic Squares and Cubes".
- Gaspalou, Francis. "Magic Squares".
- Grogono, Alan. "Grogono Magic Squares Home Page".
- Barink, Willem. "The construction of perfect panmagic squares of order 4k (k≥2)".
- Morris, Donald. "Best Franklin Squares".
- Meyer, H.B. "Magic Squares and Cubes".
- Boyer, Christian. "Multimagic squares".
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- Nakamura, Mitsutoshi. "Magic Cubes and Tesseracts".
- Magic square at Curlie