En geometría , el cubo del príncipe Rupert (llamado así por el príncipe Rupert del Rin ) es el cubo más grande que puede pasar a través de un agujero cortado a través de un cubo unitario , es decir, a través de un cubo cuyos lados tienen una longitud de 1, sin dividir el cubo en dos piezas. La longitud de su lado es aproximadamente un 6% mayor que la del cubo unitario a través del cual pasa. El problema de encontrar el cuadrado más grande que se encuentra completamente dentro de un cubo unitario está estrechamente relacionado y tiene la misma solución. [1] [2] [3]
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La propuesta original planteada por el príncipe Rupert del Rin era que se podía pasar un cubo a través de un agujero hecho en otro cubo del mismo tamaño sin dividir el cubo en dos partes. [4]
Solución
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Si se colocan dos puntos en dos bordes adyacentes de un cubo unitario, cada uno a una distancia de 3/4 del punto donde se encuentran los dos bordes, entonces la distancia entre los dos puntos será
Estos dos puntos, junto con un segundo conjunto de dos puntos colocados simétricamente en la cara opuesta del cubo, forman los cuatro vértices de un cuadrado que se encuentra completamente dentro del cubo unitario. Este cuadrado, extruido en ambas direcciones perpendicularmente a sí mismo, forma el agujero a través del cual un cubo más grande que el original (hasta la longitud del lado) puede pasar. [3]
Las partes del cubo unitario que quedan, después de vaciar este agujero, forman dos prismas triangulares y dos tetraedros irregulares , conectados por puentes delgados en los cuatro vértices del cuadrado. Cada prisma tiene como seis vértices dos vértices adyacentes del cubo y cuatro puntos a lo largo de los bordes del cubo a una distancia de 1/4 de estos vértices del cubo. Cada tetraedro tiene como cuatro vértices un vértice del cubo, dos puntos a una distancia de 3/4 de él en dos de los bordes adyacentes y un punto a una distancia de 3/16 del vértice del cubo a lo largo del tercer borde adyacente. [5]
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Historia
El cubo del príncipe Rupert lleva el nombre del príncipe Rupert del Rin . Según una historia contada en 1693 por el matemático inglés John Wallis , el príncipe Rupert apostó a que se podía cortar un agujero a través de un cubo, lo suficientemente grande como para dejar pasar otro cubo del mismo tamaño. Wallis demostró que, de hecho, ese agujero era posible (con algunos errores que no se corrigieron hasta mucho después), y Prince Rupert ganó su apuesta. [1] [2]
Wallis supuso que el agujero sería paralelo a una diagonal espacial del cubo. La proyección del cubo en un plano perpendicular a esta diagonal es un hexágono regular , y el mejor agujero paralelo a la diagonal se puede encontrar dibujando el cuadrado más grande posible que se pueda inscribir en este hexágono. El cálculo del tamaño de este cuadrado muestra que un cubo con longitud de lado
- ,
un poco más grande que uno, es capaz de atravesar el orificio. [1]
Aproximadamente 100 años después, el matemático holandés Pieter Nieuwland descubrió que se puede lograr una mejor solución (de hecho, la solución óptima) utilizando un agujero con un ángulo diferente al de la diagonal espacial. Nieuwland murió en 1794 (un año después de asumir el cargo de profesor en la Universidad de Leiden ), pero su solución fue publicada póstumamente en 1816 por el mentor de Nieuwland, Jean Henri van Swinden . [1] [2]
Desde entonces, el problema se ha repetido en muchos libros sobre matemáticas recreativas , en algunos casos con la solución subóptima de Wallis en lugar de la solución óptima. [3] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [4]
Modelos
La construcción de un modelo físico del cubo de Prince Rupert es un desafío debido a la precisión con la que se debe medir dicho modelo y la delgadez de las conexiones entre las partes restantes del cubo unitario después de que se corta el orificio. Para el cubo interior de tamaño máximo con una longitud de 1,06 ... en relación con la longitud del cubo exterior 1, la construcción de un modelo se ha denominado "matemáticamente posible pero prácticamente imposible". [12]
Para el ejemplo que usa dos cubos del mismo tamaño, como lo propuso originalmente Prince Rupert, la construcción del modelo es posible. En un estudio del problema realizado en 1950, DJE Schrek publicó fotografías de un modelo de un cubo que pasa por un agujero en otro cubo. [13] Martin Raynsford ha diseñado una plantilla para construir modelos de papel de un cubo con otro cubo que lo atraviesa; sin embargo, para tener en cuenta las tolerancias de la construcción del papel y no romper el papel en las estrechas juntas entre las partes del cubo perforado, el agujero en el modelo de Raynsford solo deja pasar cubos que son ligeramente más pequeños que el cubo exterior. [14]
Desde el advenimiento de la impresión 3D , la construcción de un cubo Prince Rupert de proporción 1: 1 se ha vuelto fácil. [15]
Generalizaciones
Un poliedro P se dice que tiene el Rupert propiedad si un poliedro de igual o mayor tamaño y la misma forma que P puede pasar a través de un agujero en P . [16] Los cinco sólidos platónicos : el cubo, el tetraedro regular , el octaedro regular , [17] el dodecaedro regular y el icosaedro regular , tienen la propiedad de Rupert. [16] Se ha conjeturado [16] que todos los poliedros convexos tridimensionales tienen esta propiedad. Para n mayor que 2, el hipercubo n- dimensional también tiene la propiedad de Rupert. [18]
De los 13 sólidos de Arquímedes , se sabe que estos nueve tienen la propiedad Rupert: la cuboctaedro , truncada octaedro , cubo truncado , rhombicuboctahedron , icosidodecaedro , truncada cuboctaedro , icosaedro truncado , truncada dodecaedro . [19] y tetraedro truncado . [20] [21]
Otra forma de expresar el mismo problema es pedir el cuadrado más grande que se encuentra dentro de una unidad de cubo. De manera más general, Jerrard y Wetzel (2004) muestran cómo encontrar el rectángulo más grande de una relación de aspecto dada que se encuentra dentro de un cubo unitario. Como muestran, el rectángulo óptimo siempre debe pasar por el centro del cubo, con sus vértices en los bordes del cubo. Con base en esto, muestran, dependiendo de la relación de aspecto deseada, que el rectángulo óptimo debe estar en un plano que corte diagonalmente a través de las cuatro esquinas del cubo, o debe estar formado por un triángulo rectángulo isósceles en una esquina del cubo. y por los dos puntos opuestos, como en el caso del problema de Prince Rupert. [2] Si la relación de aspecto no está restringida, el rectángulo con el área más grande que cabe dentro de un cubo es el que tiene dos bordes opuestos del cubo como dos de sus lados y dos caras diagonales como los otros dos lados. [22]
Alternativamente, se puede pedir el mayor -Hipercubo dimensional que puede dibujarse dentro de un unidad dimensional hipercubo . La respuesta es siempre un número algebraico . Por ejemplo, el problema depide el cubo más grande dentro de un hipercubo de cuatro dimensiones. Después de que Martin Gardner planteó esta pregunta en Scientific American , Kay R. Pechenick DeVicci y varios otros lectores mostraron que la respuesta para el caso (3,4) es la raíz cuadrada de la menor de dos raíces reales del polinomio , que equivale aproximadamente a 1,007435. [3] [23] Para, la longitud de lado óptima del cuadrado más grande en un -el hipercubo dimensional es o , dependiendo de si es par o impar respectivamente. [24]
Referencias
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enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Prince Rupert's Cube" . MathWorld .