En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de módulos , un módulo principal indecomponible tiene muchas relaciones importantes con el estudio de los módulos de un anillo , especialmente sus módulos simples , módulos proyectivos y módulos indecomponibles .
Definición
Un módulo principal indecomponible (izquierda) de un anillo R es un submódulo (izquierda) de R que es un sumando directo de R y es un módulo indecomponible . Alternativamente, es un módulo cíclico proyectivo indecomponible . Los módulos principales independientes también se denominan PIM para abreviar.
Relaciones
Los módulos proyectivos indecomponibles sobre algunos anillos tienen conexiones muy estrechas con los módulos simples, proyectivos e indecomponibles de esos anillos.
Si el anillo R es Artiniano o incluso semiperfecto , entonces R es una suma directa de los principales módulos indecomponibles, y hay una clase de isomorfismo de PIM por clase de isomorfismo de módulo simple. A cada PIM P se le asocia su cabecera , P / JP , que es un módulo simple, siendo un módulo semi-simple indecomponible. A cada módulo simple S se le asocia su cubierta proyectiva P , que es un PIM, siendo un módulo cíclico proyectivo, indecomponible.
De manera similar, en un anillo semiperfecto , cada módulo proyectivo indecomponible es un PIM, y cada módulo proyectivo finitamente generado es una suma directa de PIM.
En el contexto de álgebras de grupo de grupos finitos sobre campos (que son anillos semiperfectos), el anillo de representación describe los módulos indecomponibles, y los caracteres modulares de módulos simples representan tanto un subanillo como un anillo de cociente. El anillo de representación sobre el campo complejo generalmente se comprende mejor y dado que los PIM corresponden a módulos sobre los complejos que utilizan el sistema p -modular, se pueden usar PIM para transferir información desde el anillo de representación complejo al anillo de representación sobre un campo de característica positiva. En términos generales, esto se llama teoría de bloques.
Sobre un dominio de Dedekind que no es un PID , el grupo de clases ideal mide la diferencia entre módulos proyectivos indecomponibles y módulos principales indecomponibles: los módulos proyectivos indecomponibles son exactamente los (módulos isomorfos a) ideales distintos de cero y los principales módulos indecomponibles son precisamente los (módulos isomorfo a) ideales principales distintos de cero.
Referencias
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