Cobertura proyectiva
En la rama de la matemática abstracta llamada teoría de categorías , una cubierta proyectiva de un objeto X es en cierto sentido la mejor aproximación de X por un objeto proyectivo P . Las cubiertas proyectivas son el dual de las envolventes inyectivas .
Sea una categoría y X un objeto en . Una cubierta proyectiva es un par ( P , P ), con P un objeto proyectiva en y p un epimorfismo superfluo en Hom ( P , X ).
Si R es un anillo, entonces en la categoría de R -modules, un epimorfismo superfluo es entonces un epimorfismo tal que el núcleo de p es un submódulo superfluo de P .
Las cubiertas proyectivas y sus epimorfismos superfluos, cuando existen, son únicos hasta el isomorfismo . Sin embargo, el isomorfismo no tiene por qué ser único, ya que la propiedad proyectiva no es una propiedad universal en toda regla .
El principal efecto de que p tenga un núcleo superfluo es el siguiente: si N es un submódulo adecuado de P , entonces . [1] Hablando informalmente, esto muestra que el kernel superfluo hace que P cubra M de manera óptima, es decir, ningún submódulo de P sería suficiente. Esto no depende de la proyectividad de P : es cierto para todos los epimorfismos superfluos.
Si ( P , p ) es una cobertura proyectiva de M , y P ' es otro módulo proyectivo con un epimorfismo , entonces hay un epimorfismo dividido α de P' a P tal que
