Dominio ideal principal

Estructura algebraica

En matemáticas , un dominio ideal principal , o PID , es un dominio integral en el que todo ideal es principal , es decir, puede ser generado por un solo elemento. De manera más general, un anillo ideal principal es un anillo conmutativo distinto de cero cuyos ideales son principales, aunque algunos autores (p. Ej., Bourbaki) se refieren a los PID como anillos principales. La distinción es que un anillo ideal principal puede tener cero divisores, mientras que un dominio ideal principal no puede.

Los dominios ideales principales son, por tanto, objetos matemáticos que se comportan como los números enteros , con respecto a la divisibilidad : cualquier elemento de un PID tiene una descomposición única en elementos primos (por lo que se cumple un análogo del teorema fundamental de la aritmética ); dos elementos cualesquiera de un PID tienen un máximo común divisor (aunque puede que no sea posible encontrarlo usando el algoritmo euclidiano ). Si x y y son elementos de un PID sin divisores comunes, a continuación, cada elemento de la PID puede escribirse en la forma ax + por .

Los dominios ideales principales son noetherianos , están integralmente cerrados , son dominios de factorización únicos y dominios de Dedekind . Todos los dominios euclidianos y todos los campos son dominios ideales principales.

Los dominios ideales principales aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

RNGs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios de integridad ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios GCD ⊃ dominio de factorización única ⊃ principales dominios ideales ⊃ dominio euclídeo ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Estructuras algebraicas
Tipo grupo Grupo Semigrupo  / Monoid Rack y quandle Cuasigrupo y bucle Grupo abeliano Magma Grupo de mentiras Teoría de grupos
Como un anillo Anillo Rng Semiring Anillo cercano Anillo conmutativo Dominio integral Campo Anillo de división Teoría del anillo
celosía -como Enrejado Semirretículo Celosía complementada Orden total Heyting álgebra álgebra de Boole Mapa de celosías Teoría de la celosía
Como un módulo Módulo Grupo con operadores Espacio vectorial Álgebra lineal
Algebra- like Álgebra De asociación No asociativo Álgebra de composición Álgebra de mentiras Calificado Bialgebra
v t mi

Ejemplos

Ejemplos incluyen:

• ${\displaystyle K}$: cualquier campo ,
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: el anillo de los números enteros , ^[1]
• ${\displaystyle K[x]}$: anillos de polinomios en una variable con coeficientes en un campo. (Lo contrario también es cierto, es decir, si es un PID, entonces es un campo). Además, un anillo de series de potencias formales en una variable sobre un campo es un PID ya que todo ideal tiene la forma ,${\displaystyle A[x]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (x^{k})}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$: el anillo de los enteros gaussianos , ^[2]
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$(donde es una raíz cúbica primitiva de 1): los enteros de Eisenstein ,${\displaystyle \omega }$
• Cualquier anillo de valoración discreto , por ejemplo el anillo de p -enteros ádicos .${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

No ejemplos

Ejemplos de dominios integrales que no son PID:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]}$es un ejemplo de un anillo que no es un dominio de factorización único , ya que, por lo tanto, no es un dominio ideal principal porque los dominios ideales principales son dominios de factorización únicos.${\displaystyle 4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).}$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$: el anillo de todos los polinomios con coeficientes enteros. No es principal porque es un ejemplo de un ideal que no puede ser generado por un solo polinomio.${\displaystyle \langle 2,x\rangle }$
• ${\displaystyle K[x,y]}$: anillos de polinomios en dos variables . El ideal no es principal.${\displaystyle \langle x,y\rangle }$
• La mayoría de los anillos de números enteros algebraicos no son dominios ideales principales porque tienen ideales que no son generados por un solo elemento. Esta es una de las principales motivaciones detrás de la definición de Dedekind de los dominios de Dedekind, ya que un número entero principal ya no se puede factorizar en elementos, sino que son ideales principales. De hecho, muchos para la p-ésima raíz de la unidad no son dominios ideales principales ^{[ aclaración necesaria ]} . ^[3] De hecho, el número de clase de un anillo de enteros algebraicos da una noción de "qué tan lejos" está de ser un dominio ideal principal.${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]}$ ${\displaystyle \zeta _{p}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$

Módulos

Artículo principal: Teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal

El resultado clave es el teorema de la estructura: si R es un dominio ideal principal y M es un módulo R generado de forma finita , entonces es una suma directa de módulos cíclicos, es decir, módulos con un generador. Los módulos cíclicos son isomorfos a para algunos ^[4] (observe que puede ser igual a , en cuyo caso lo es ).${\displaystyle M}$${\displaystyle R/xR}$${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle R/xR}$${\displaystyle R}$

Si M es un módulo libre sobre un dominio ideal principal R , entonces cada submódulo de M es nuevamente libre. Esto no es válido para módulos sobre anillos arbitrarios, como muestra el ejemplo de módulos sobre .${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

Propiedades

En un dominio ideal principal, cualesquiera dos elementos a , b tienen un máximo común divisor , que se puede obtener como generador del ideal ( a , b ) .

Todos los dominios euclidianos son dominios ideales principales, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo de un dominio de ideales principales que no es un dominio euclidiano es el anillo ^{[5] [6]} En este dominio no q y r existir, con 0 ≤ | r | <4 , de modo que , a pesar de y que tiene un máximo común divisor de 2 .${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right].}$${\displaystyle (1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r}$${\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}}$${\displaystyle 4}$

Cada dominio ideal principal es un dominio de factorización único (UFD). ^{[7] [8] [9] [10]} Lo contrario no es válido ya que para cualquier UFD K , el anillo K [ X , Y ] de polinomios en 2 variables es un UFD pero no es un PID. (Para probar esto, observe el ideal generado por No es el anillo completo, ya que no contiene polinomios de grado 0, pero no puede ser generado por un solo elemento).${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle .}$

1. Todo dominio ideal principal es noetheriano .
2. En todos los anillos unitales, los ideales máximos son primordiales . En los dominios ideales principales se cumple un casi inverso: todo ideal primo distinto de cero es máximo.
3. Todos los dominios ideales principales están íntegramente cerrados .

Las tres declaraciones anteriores dan la definición de un dominio de Dedekind y, por lo tanto, cada dominio ideal principal es un dominio de Dedekind.

Sea A un dominio integral. Entonces los siguientes son equivalentes.

1. A es un PID.
2. Todo ideal primo de A es principal. ^[11]
3. A es un dominio de Dedekind que es un UFD.
4. Todo ideal de A generado finitamente es principal (es decir, A es un dominio de Bézout ) y A satisface la condición de cadena ascendente en los ideales principales .
5. A admite una norma Dedekind-Hasse . ^[12]

Cualquier norma euclidiana es una norma de Dedekind-Hasse; por tanto, (5) muestra que un dominio euclidiano es un PID. (4) se compara con:

• Un dominio integral es un UFD si y solo si es un dominio GCD (es decir, un dominio donde cada dos elementos tiene un máximo común divisor) que satisface la condición de cadena ascendente en los ideales principales.

Un dominio integral es un dominio de Bézout si y solo si dos elementos cualesquiera tienen un mcd que es una combinación lineal de los dos. Por tanto, un dominio de Bézout es un dominio de GCD, y (4) da otra prueba más de que un PID es un UFD.

Ver también

• La identidad de Bézout

Notas

1. Véase Fraleigh y Katz (1967), p. 73, Corolario del Teorema 1.7 y notas en la p. 369, después del corolario del teorema 7.2
2. Véase Fraleigh y Katz (1967), p. 385, Teorema 7.8 y pág. 377, Teorema 7.4.
3. Milne. "Teoría algebraica de números" (PDF) . pag. 5.
4. Véase también Ribenboim (2001), p. 113 , prueba del lema 2.
5. Wilson, Jack C. "Un anillo principal que no es un anillo euclidiano". Matemáticas. Mag 46 (enero de 1973) 34-38 [1]
6. George Bergman, Un dominio ideal principal que no es euclidiano - desarrollado como una serie de ejercicios de archivo PostScript
7. Prueba: todo ideal primo es generado por un elemento, que es necesariamente primo. Ahora refiérase al hecho de que un dominio integral es un UFD si y solo si sus ideales primos contienen elementos primarios.
8. Jacobson (2009), p. 148, Teorema 2.23.
9. Fraleigh y Katz (1967), p. 368, Teorema 7.2
10. Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko (2004), p . 166 , Teorema 7.2.1.
11. TY Lam y Manuel L. Reyes, A Prime Ideal Principle in Conmutative Algebra Archivado el 26 de julio de 2010 en la Wayback Machine.
12. Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko (2004), p . 170 , Proposición 7.3.3.

Referencias

• Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, VV Kirichenko. Álgebras, anillos y módulos . Editores académicos de Kluwer , 2004. ISBN 1-4020-2690-0 
• John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Un primer curso de álgebra abstracta . Compañía editorial de Addison-Wesley. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3 
• Nathan Jacobson . Álgebra básica I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1 
• Paulo Ribenboim. Teoría clásica de números algebraicos . Springer, 2001. ISBN 0-387-95070-2 

Enlaces externos

• Anillo principal en MathWorld