En la teoría de la probabilidad , una solución en forma de producto es una forma de solución particularmente eficiente para determinar alguna métrica de un sistema con distintos subcomponentes, donde la métrica para la colección de componentes se puede escribir como un producto de la métrica entre los diferentes componentes. . Usando la notación mayúscula Pi, una solución de forma de producto tiene forma algebraica
donde B es una constante. Las soluciones de esta forma son de interés ya que son computacionalmente económicas de evaluar para valores grandes de n . Tales soluciones en redes de colas son importantes para encontrar métricas de rendimiento en modelos de sistemas informáticos multiprogramados y de tiempo compartido.
Las primeras soluciones en forma de producto se encontraron para distribuciones de equilibrio de cadenas de Markov . Trivialmente, los modelos compuestos por dos o más subcomponentes independientes exhiben una solución de forma de producto por la definición de independencia. Inicialmente, el término se usaba en las redes de colas donde los subcomponentes serían colas individuales. Por ejemplo, el teorema de Jackson da la distribución de equilibrio conjunto de una red abierta de colas como el producto de las distribuciones de equilibrio de las colas individuales. [1] Después de numerosas extensiones, principalmente la red BCMP , se pensó que el equilibrio local era un requisito para una solución de forma de producto.[2] [3]
El modelo de red G de Gelenbe fue el primero en demostrar que este no es el caso. Motivado por la necesidad de modelar neuronas biológicas que tienen un proceso puntual como un comportamiento de picos, introdujo el precursor de G-Networks, llamándolo red neuronal aleatoria . [4] Al introducir "clientes negativos" que pueden destruir o eliminar a otros clientes, generalizó la familia de redes de formas de productos. [5] Luego, esto se amplió aún más en varios pasos, primero por los "disparadores" de Gelenbe, que son clientes que tienen el poder de mover a otros clientes de una cola a otra. [6] Otra nueva forma de cliente que también condujo a la forma del producto fue la "eliminación por lotes" de Gelenbe. [7]Esto fue ampliado aún más por Erol Gelenbe y Jean-Michel Fourneau con tipos de clientes llamados "reinicios" que pueden modelar la reparación de fallas: cuando una cola llega al estado vacío, lo que representa (por ejemplo) una falla, la longitud de la cola puede saltar hacia atrás o ser "restablecido" a su distribución de estado estable por un cliente de reinicio que llega, lo que representa una reparación. Todos estos tipos anteriores de clientes en G-Networks pueden existir en la misma red, incluso con múltiples clases, y todos juntos aún dan como resultado la solución de forma de producto, llevándonos mucho más allá de las redes reversibles que se habían considerado antes. [8]
Las soluciones en forma de producto a veces se describen como "las estaciones son independientes en equilibrio". [9] Las soluciones de forma de producto también existen en redes de colas masivas . [10]
JM Harrison y RJ Williams señalan que "prácticamente todos los modelos que se han analizado con éxito en la teoría clásica de la red de colas son modelos que tienen la llamada distribución estacionaria en forma de producto" [9] Más recientemente, se han publicado soluciones en forma de producto para Álgebras de procesos de Markov (p. ej., RCAT en PEPA [11] [12] ) y redes de Petri estocásticas . [13] [14] El teorema de la deficiencia cero de Martin Feinberg proporciona una condición suficiente para que las redes de reacciones químicas exhiban una distribución estacionaria en forma de producto. [15]