En matemáticas , un campo global es uno de los dos tipos de campos (el otro es un campo local ) que se caracterizan mediante valoraciones . Hay dos tipos de campos globales : [1]
Emil Artin y George Whaples dieron una caracterización axiomática de estos campos a través de la teoría de la valoración en la década de 1940. [2] [3]
Un campo numérico algebraico F es una extensión finita (y por lo tanto algebraica ) del campo de los números racionales Q. Por lo tanto, F es un campo que contiene Q y tiene una dimensión finita cuando se considera un espacio vectorial sobre Q.
Un campo funcional de una variedad es el conjunto de todas las funciones racionales sobre esa variedad. En una curva algebraica (es decir, una variedad unidimensional V ) sobre un campo finito, decimos que una función racional en un subconjunto afín abierto U se define como la relación de dos polinomios en el anillo de coordenadas afines de U , y que un racional La función en todo V consiste en tales datos locales que concuerdan en las intersecciones de afines abiertos. Esto técnicamente define las funciones racionales en V como el campo de fracciones del anillo de coordenadas afines de cualquier subconjunto afín abierto, ya que todos esos subconjuntos son densos.
Hay una serie de similitudes formales entre los dos tipos de campos. Un campo de cualquier tipo tiene la propiedad de que todas sus terminaciones son campos compactos localmente (ver campos locales ). Cada campo de cualquier tipo se puede realizar como el campo de fracciones de un dominio de Dedekind en el que cada ideal distinto de cero tiene un índice finito. En cada caso, se tiene la fórmula del producto para elementos distintos de cero x :
La analogía entre los dos tipos de campos ha sido una fuerte fuerza motivadora en la teoría algebraica de números . La idea de una analogía entre campos numéricos y superficies de Riemann se remonta a Richard Dedekind y Heinrich M. Weber en el siglo XIX. La analogía más estricta expresada por la idea del 'campo global', en la que el aspecto de una superficie de Riemann como curva algebraica se asigna a curvas definidas sobre un campo finito, se construyó durante la década de 1930 y culminó con la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos . por André Weil en 1940. La terminología puede deberse a Weil, quien escribió su Teoría básica de números (1967) en parte para resolver el paralelismo.