En álgebra, un campo localmente compacto es un campo topológico cuya topología forma un espacio localmente compacto [1] (en particular, es un espacio de Hausdorff). Este tipo de campos se introdujeron originalmente en el análisis p-ádico ya que los campos son espacios topológicos localmente compactos construidos a partir de la norma en . La topología (y la estructura del espacio métrico) es esencial porque permite construir análogos de campos numéricos algebraicos en el contexto p-ádico.
Estructura
Espacios vectoriales de dimensión finita
Uno de los teoremas de estructura útiles para espacios vectoriales sobre campos localmente compactos es que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen sólo una clase de norma de equivalencia: la norma sup [2] pg. 58-59 .
Extensiones de campo finito
Dada una extensión de campo finita sobre un campo localmente compacto , hay como máximo una norma de campo única en extendiendo la norma de campo ; es decir,
para todos que está en la imagen de . Tenga en cuenta que esto se deriva del teorema anterior y el siguiente truco: si son dos normas equivalentes, y
luego para una constante fija existe un tal que
para todos ya que la secuencia generada a partir de los poderes de converger a .
Extensiones finitas de Galois
Si el índice de la extensión es de grado y es una extensión de galois , (por lo que todas las soluciones al polinomio mínimo de cualquier también está contenido en ) luego la norma de campo único se puede construir usando la norma de campo [2] pág. 61 . Esto se define como
Tenga en cuenta que la raíz n-ésima es necesaria para tener una norma de campo bien definida que extienda la raíz dado que dado cualquier en la imagen de su norma es
ya que actúa como una multiplicación escalar en el -espacio vectorial .
Ejemplos de
Campos finitos
Todos los campos finitos son localmente compactos, ya que pueden equiparse con la topología discreta. En particular, cualquier campo con la topología discreta es localmente compacto ya que cada punto es la vecindad de sí mismo, y también el cierre de la vecindad, por lo tanto es compacto.
Campos locales
Los principales ejemplos de campos localmente compactos son los racionales p-ádicos y extensiones finitas . Cada uno de estos son ejemplos de campos locales . Tenga en cuenta el cierre algebraico y su finalización no son campos compactos localmente [2] pág. 72 con su topología estándar.
Extensiones de campo de Q p
Extensiones de campo se puede encontrar utilizando el lema de Hensel . Por ejemplo, no tiene soluciones en desde
solo es igual a cero mod Si , pero no tiene soluciones mod . Por eso es una extensión de campo cuadrática.
Ver también
Referencias
enlaces externos
- Truco de desigualdad https://math.stackexchange.com/a/2252625