En matemáticas , la mensurabilidad progresiva es una propiedad en la teoría de los procesos estocásticos . Un proceso progresivamente mensurable, aunque definido de manera bastante técnica, es importante porque implica que el proceso detenido es mensurable . Ser progresivamente mensurable es una propiedad estrictamente más fuerte que la noción de ser un proceso adaptado . [1] Los procesos progresivamente mensurables son importantes en la teoría de las integrales de Itô .
Definición
Dejar
- ser un espacio de probabilidad ;
- ser un espacio medible , el espacio de estados ;
- ser una filtración del álgebra sigma ;
- ser un proceso estocástico (el conjunto de índices podría ser o en vez de );
- ser el álgebra sigma de Borel en.
El proceso se dice que es progresivamente mensurable [2] (o simplemente progresivo ) si, para cada vez, el mapa definido por es - medible . Esto implica que es -adaptado. [1]
Un subconjunto se dice que se puede medir progresivamente si el proceso es progresivamente mensurable en el sentido definido anteriormente, donde es la función indicadora de. El conjunto de todos esos subconjuntos formar un álgebra sigma en , denotado por y un proceso es progresivamente mensurable en el sentido del párrafo anterior si, y sólo si, es -mensurable.
Propiedades
- Se puede demostrar [1] que, el espacio de los procesos estocásticos para lo cual el Itô integral
- con respecto al movimiento brownianoestá definido, es el conjunto de clases de equivalencia de -procesos medibles en .
- Cada proceso adaptado con trayectorias continuas hacia la izquierda o hacia la derecha se puede medir progresivamente. En consecuencia, cada proceso adaptado con caminos càdlàg es progresivamente medible. [1]
- Todo proceso medible y adaptado tiene una modificación progresivamente medible. [1]