El método de proyección es un medio eficaz de resolver numéricamente problemas de flujo de fluidos incompresibles dependientes del tiempo . Fue introducido originalmente por Alexandre Chorin en 1967 [1] [2] como un medio eficiente para resolver las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes . La ventaja clave del método de proyección es que los cálculos de los campos de velocidad y presión están desacoplados.
El algoritmo
El algoritmo del método de proyección se basa en la descomposición de Helmholtz (a veces llamada descomposición de Helmholtz-Hodge) de cualquier campo vectorial en una parte solenoide y una parte irrotacional . Normalmente, el algoritmo consta de dos etapas. En la primera etapa, se calcula una velocidad intermedia que no satisface la restricción de incompresibilidad en cada paso de tiempo. En el segundo, la presión se usa para proyectar la velocidad intermedia en un espacio de campo de velocidad libre de divergencia para obtener la próxima actualización de velocidad y presión.
Descomposición de Helmholtz-Hodge
El trasfondo teórico del método del tipo de proyección es el teorema de descomposición de Ladyzhenskaya, a veces denominado descomposición de Helmholtz-Hodge o simplemente descomposición de Hodge. Afirma que el campo vectorialdefinido en un dominio simplemente conectado se puede descomponer de forma única en una parte libre de divergencia ( solenoide )y una parte de irritación. . [3]
Por lo tanto,
desde para alguna función escalar, . Tomando la divergencia de los rendimientos de la ecuación
Esta es una ecuación de Poisson para la función escalar. Si el campo vectorial se conoce, la ecuación anterior se puede resolver para la función escalar y la parte libre de divergencia de se puede extraer usando la relación
Ésta es la esencia del método de proyección solenoidal para resolver ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes.
Método de proyección de Chorin
La ecuación incompresible de Navier-Stokes (forma diferencial de la ecuación del momento) se puede escribir como
En la versión original de Chorin del método de proyección, primero se calcula una velocidad intermedia,, utilizando explícitamente la ecuación del momento, ignorando el término del gradiente de presión:
dónde es la velocidad en el paso de tiempo. En la segunda mitad del algoritmo, el paso de proyección , corregimos la velocidad intermedia para obtener la solución final del paso de tiempo.:
Se puede reescribir esta ecuación en forma de paso de tiempo como
para dejar en claro que el algoritmo es en realidad solo un enfoque de división del operador en el que se consideran las fuerzas viscosas (en el primer semitono) y las fuerzas de presión (en el segundo semitono) por separado.
Calcular el lado derecho del segundo semitono requiere conocimiento de la presión, , en elnivel de tiempo. Esto se obtiene tomando la divergencia y requiriendo que, que es la condición de divergencia (continuidad), por lo que se deriva la siguiente ecuación de Poisson para ,
Es instructivo notar que la ecuación escrita como
es la descomposición estándar de Hodge si la condición de contorno para en el límite del dominio, están . En la práctica, esta condición es responsable de los errores que este método muestra cerca del límite del dominio ya que la presión real (es decir, la presión en la solución exacta de las ecuaciones de Navier-Stokes) no satisface tales condiciones de límite.
Para el método explícito, la condición de límite para en la ecuación (1) es natural. Si en , se prescribe, entonces el espacio de los campos vectoriales libres de divergencia será ortogonal al espacio de los campos vectoriales irrotacionales, y de la ecuación (2) se tiene
El tratamiento explícito de la condición de contorno se puede eludir utilizando una cuadrícula escalonada y exigiendo que desaparecen en los nodos de presión adyacentes a los límites.
Una característica distintiva del método de proyección de Chorin es que el campo de velocidad se ve obligado a satisfacer una restricción de continuidad discreta al final de cada paso de tiempo.
Método general
Normalmente, el método de proyección funciona como un esquema de pasos fraccionarios de dos etapas, un método que utiliza múltiples pasos de cálculo para cada paso de tiempo numérico. En muchos algoritmos de proyección, los pasos se dividen de la siguiente manera:
- Primero, el sistema avanza en el tiempo hasta una posición de paso de tiempo medio, resolviendo las ecuaciones de transporte anteriores para masa y momento utilizando un método de advección adecuado. Esto se denota como el paso del predictor .
- En este punto, se puede implementar una proyección inicial de modo que el campo de velocidad del paso de tiempo intermedio se aplique como libre de divergencia.
- A continuación, se avanza en la parte correctora del algoritmo. Estos utilizan las estimaciones centradas en el tiempo de la velocidad, densidad, etc. para formar el estado final de paso de tiempo.
- Luego se aplica una proyección final para hacer cumplir la restricción de divergencia en el campo de velocidad. El sistema ahora se ha actualizado completamente a la nueva hora.
Referencias
- ^ Chorin, AJ (1967), "La solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido incompresible" (PDF) , Bull. Soy. Matemáticas. Soc. , 73 : 928–931
- ^ Chorin, AJ (1968), "Solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes", Matemáticas. Comp. , 22 : 745–762, doi : 10.1090 / s0025-5718-1968-0242392-2
- ^ Chorin, AJ; JE Marsden (1993). Una introducción matemática a la mecánica de fluidos (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97918-2.