plano proyectivo

En matemáticas , un plano proyectivo es una estructura geométrica que amplía el concepto de plano . En el plano euclidiano ordinario, dos líneas normalmente se intersecan en un solo punto, pero hay algunos pares de líneas (a saber, líneas paralelas) que no se intersecan. Se puede pensar en un plano proyectivo como un plano ordinario equipado con "puntos en el infinito" adicionales donde se cruzan líneas paralelas. Así , dos rectas distintas cualesquiera en un plano proyectivo se intersecan en uno y sólo un punto.

Los artistas del Renacimiento , al desarrollar las técnicas del dibujo en perspectiva , sentaron las bases de este tema matemático. El ejemplo arquetípico es el plano proyectivo real , también conocido como plano euclidiano extendido . [1] Este ejemplo, en formas ligeramente diferentes, es importante en geometría algebraica , topología y geometría proyectiva, donde se puede denotar de diversas formas mediante PG(2, R ) , RP 2 o P 2 ( R ), entre otras notaciones. Hay muchos otros planos proyectivos, ambos infinitos, como elplano proyectivo complejo , y finito, como el plano de Fano .

Un plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional , pero no todos los planos proyectivos pueden integrarse en espacios proyectivos tridimensionales. Tal incrustabilidad es consecuencia de una propiedad conocida como teorema de Desargues , no compartida por todos los planos proyectivos.

Un plano proyectivo consiste en un conjunto de rectas , un conjunto de puntos , y una relación entre puntos y rectas llamada incidencia , que tiene las siguientes propiedades: [2]

La segunda condición significa que no hay líneas paralelas . La última condición excluye los llamados casos degenerados (ver más abajo ). El término "incidencia" se usa para enfatizar la naturaleza simétrica de la relación entre puntos y líneas. Por lo tanto, se usa la expresión "el punto P es incidente con la línea ℓ " en lugar de " P está en ℓ " o " ℓ pasa por P ".

La estructura extendida es un plano proyectivo y se llama plano euclidiano extendido o plano proyectivo real . El proceso descrito anteriormente, utilizado para obtenerlo, se denomina "completación proyectiva" o proyectivización . Este plano también se puede construir comenzando desde R 3 visto como un espacio vectorial, consulte § Construcción de espacios vectoriales a continuación.

Dibujos de los planos proyectivos finitos de los órdenes 2 (el plano de Fano ) y 3, en diseño de cuadrícula, que muestran un método para crear tales dibujos para órdenes primos
Estas líneas paralelas parecen cruzarse en el punto de fuga "en el infinito". En un plano proyectivo esto es realmente cierto.
El avión Moulton . Las líneas que se inclinan hacia abajo y hacia la derecha se doblan donde cruzan el eje y .
El avión Fano. Los puntos se muestran como puntos; las líneas se muestran como líneas o círculos.
Planos proyectivos degenerados (no vacíos)
Gráfico del plano proyectivo de orden 7, que tiene 57 puntos, 57 rectas, 8 puntos en cada recta y 8 rectas que pasan por cada punto, donde cada punto se denota por un rectángulo redondeado y cada recta por una combinación de letra y número. Solo se dibujan las líneas con las letras A y H. En Dobble o Spot It! juego, se eliminan dos puntos. En el archivo SVG, pase el cursor sobre una línea para resaltarla.