En matemáticas , particularmente en álgebra , el casco inyectivo (o envoltura inyectiva ) de un módulo es tanto el módulo inyectivo más pequeño que lo contiene como la extensión esencial más grande del mismo. Los cascos inyectables se describieron por primera vez en ( Eckmann & Schopf 1953 ).
Definición
Un módulo E se denomina casco inyectivo de un módulo M , si E es una extensión esencial de M y E es inyectivo . Aquí, el anillo base es un anillo con unidad, aunque posiblemente no conmutativo.
Ejemplos de
- Un módulo inyectivo es su propio casco inyectivo.
- El casco inyectivo de un dominio integral es su campo de fracciones ( Lam 1999 , Ejemplo 3.35)
- El casco inyectivo de un grupo p cíclico (como módulo Z ) es un grupo Prüfer , ( Lam 1999 , Ejemplo 3.36)
- El casco inyectivo de R / rad ( R ) es Hom k ( R , k ), donde R es un k - álgebra de dimensión finita con radicales de Jacobson ( R ), ( Lam 1999 , Ejemplo 3.41).
- Un módulo simple es necesariamente el zócalo de su casco inyectivo.
- El casco inyectivo del campo cociente de un anillo de valoración discreto dónde es . [1]
- En particular, el casco inyectivo de en es el modulo .
Propiedades
- El casco inyectivo de M es único hasta los isomorfismos que son la identidad de M , sin embargo, el isomorfismo no es necesariamente único. Esto se debe a que la propiedad de extensión del mapa del casco inyectivo no es una propiedad universal en toda regla . Debido a esta singularidad, el casco se puede denotar como E ( M ).
- El casco inyectiva E ( M ) es una máxima extensión esencial de M en el sentido de que si M ⊆ E ( M ) ⊊ B para un módulo de B , a continuación, M no es un submódulo esencial de B .
- El casco inyectiva E ( M ) es un módulo de inyectiva mínimo que contiene M en el sentido de que si M ⊆ B para un módulo de inyectiva B , entonces E ( M ) es (isomorfo a) un submódulo de B .
- Si N es un submódulo esencial de M , entonces E ( N ) = E ( M ).
- Cada módulo M tiene un casco inyectivo. Una construcción del casco inyectiva en términos de homomorfismos Hom ( I , M ), donde I corre a través de los ideales de R , viene dada por Fleischer (1968) .
- La noción dual de una cubierta proyectiva no no siempre existe para un módulo, sin embargo, una cubierta plana existe para cada módulo.
Estructura de anillo
En algunos casos, para R un subanillo de un anillo autoinyectivo S , el casco inyectivo de R también tendrá una estructura de anillo. [2] Por ejemplo, tomando S para ser un completo anillo de la matriz sobre un campo, y teniendo R para ser cualquier anillo que contiene cada matriz que es cero en todo menos en la última columna, el casco inyectiva de la derecha R -module R es S . Por ejemplo, se puede tomar R como el anillo de todas las matrices triangulares superiores. Sin embargo, no siempre es el caso de que el casco inyectivo de un anillo tenga una estructura de anillo, como muestra un ejemplo en ( Osofsky 1964 ).
Una gran clase de anillos que tienen estructuras de anillos en sus cascos inyectables son los anillos no singulares . [3] En particular, para un dominio integral , el casco inyectivo del anillo (considerado como un módulo sobre sí mismo) es el campo de fracciones . Los cascos inyectivos de anillos no singulares proporcionan un análogo del anillo de cocientes para anillos no conmutativos, donde la ausencia de la condición Ore puede impedir la formación del anillo clásico de cocientes . Este tipo de "anillo de cocientes" (como se denominan estos "campos de fracciones" más generales) fue pionero en ( Utumi 1956 ), y la conexión con los cascos inyectivos se reconoció en ( Lambek 1963 ).
Módulos inyectables y de dimensión uniforme
Un módulo R M tiene una dimensión uniforme finita (= rango finito ) n si y solo si el casco inyectivo de M es una suma directa finita de n submódulos indecomponibles .
Generalización
De manera más general, sea C una categoría abeliana . Un objeto E es un casco inyectivo de un objeto M si M → E es una extensión esencial y E es un objeto inyectivo .
Si C es localmente pequeño , satisface el axioma AB5 de Grothendieck y tiene suficientes inyecciones , entonces cada objeto en C tiene un casco inyectivo (estas tres condiciones se satisfacen mediante la categoría de módulos sobre un anillo). [4] Cada objeto en una categoría Grothendieck tiene un casco inyectivo.
Ver también
- Cubierta plana , el concepto dual de cascos inyectables.
- Casco racional : este es el análogo del casco inyectivo cuando se considera una extensión racional máxima .
Notas
- ^ Walther, Uri. "Módulos inyectables" (PDF) . pag. 11.
- ^ Lam 1999 , p. 78–80.
- ^ Lam 1999 , p. 366.
- ^ Sección III.2 de ( Mitchell 1965 )
Referencias
- Eckmann, B .; Schopf, A. (1953), "Über injektive Moduln", Archiv der Mathematik , 4 (2): 75–78, doi : 10.1007 / BF01899665 , ISSN 0003-9268 , MR 0055978
- Fleischer, Isidore (1968), "Una nueva construcción del casco inyectivo", Canad. Matemáticas. Toro. , 11 : 19–21, doi : 10.4153 / CMB-1968-002-3 , MR 0229680
- Lam, Tsit-Yuen (1999), Conferencias sobre módulos y anillos , Textos de posgrado en matemáticas No. 189, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
- Lambek, Joachim (1963), "En el anillo de cocientes de Utumi" , Canadian Journal of Mathematics , 15 : 363–370, doi : 10.4153 / CJM-1963-041-4 , ISSN 0008-414X , MR 0147509
- Matlis, Eben (1958), "Módulos inyectivos sobre anillos noetherianos" , Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511–528, doi : 10.2140 / pjm.1958.8.511 , ISSN 0030-8730 , MR 0099360[ enlace muerto permanente ]
- Matsumura, H. Teoría del anillo conmutativo , estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas, volumen 8.
- Mitchell, Barry (1965). Teoría de categorías . Matemática pura y aplicada. 17 . Prensa académica. ISBN 978-0-124-99250-4. Señor 0202787 .
- Osofsky, BL (1964), "Sobre las propiedades anulares de los cascos inyectivos", Canadian Mathematical Bulletin , 7 : 405–413, doi : 10.4153 / CMB-1964-039-3 , ISSN 0008-4395 , MR 0166227
- Utumi, Yuzo (1956), "Sobre anillos de cociente", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN 0030-6126 , MR 0078966
enlaces externos
- casco inyectivo (artículo de PlanetMath)
- Página PlanetMath sobre módulos de rango finito