En matemáticas , especialmente en el área de teoría de grupos del álgebra , el grupo lineal proyectivo (también conocido como grupo lineal general proyectivo o PGL) es la acción inducida del grupo lineal general de un espacio vectorial V sobre el espacio proyectivo asociado P ( V ). Explícitamente, el grupo lineal proyectivo es el grupo cociente
- PGL ( V ) = GL ( V ) / Z ( V )
donde GL ( V ) es el grupo lineal general de V y Z ( V ) es el subgrupo de todas las transformaciones escalares distintas de cero de V ; estos están coorientados porque actúan trivialmente sobre el espacio proyectivo y forman el núcleo de la acción, y la notación "Z" refleja que las transformaciones escalares forman el centro del grupo lineal general.
El grupo lineal especial proyectivo , PSL, se define de manera análoga, como la acción inducida del grupo lineal especial sobre el espacio proyectivo asociado. Explícitamente:
- PSL ( V ) = SL ( V ) / SZ ( V )
donde SL ( V ) es el grupo lineal especial sobre V y SZ ( V ) es el subgrupo de transformaciones escalares con determinante unitario . Aquí SZ es el centro de SL, y naturalmente se identifica con el grupo de raíces n - ésimas de unidad en F (donde n es la dimensión de V y F es el campo base ).
PGL y PSL son algunos de los grupos fundamentales de estudio, forman parte de los denominados grupos clásicos , y un elemento de PGL se denomina transformación lineal proyectiva , transformación proyectiva u homografía . Si V es el espacio vectorial n- dimensional sobre un campo F , a saber, V = F n , también se utilizan las notaciones alternativas PGL ( n , F ) y PSL ( n , F ) .
Tenga en cuenta que PGL ( n , F ) y PSL ( n , F ) son isomorfos si y sólo si todos los elementos de F tiene un n º raíces en F . Como ejemplo, observe que PGL (2, C ) = PSL (2, C ) , pero que PGL (2, R )> PSL (2, R ) ; [1] esto corresponde a que la línea proyectiva real es orientable, y el grupo lineal especial proyectivo solo son las transformaciones que conservan la orientación.
PGL y PSL también se pueden definir sobre un anillo , siendo un ejemplo importante el grupo modular , PSL (2, Z ) .
Nombre
El nombre proviene de geometría proyectiva , donde el grupo proyectivo que actúa sobre coordenadas homogéneas ( x 0 : x 1 : ...: x n ) es el grupo subyacente de la geometría. [nota 1] Dicho de otra manera, la acción natural de GL ( V ) sobre V desciende a una acción de PGL ( V ) sobre el espacio proyectivo P ( V ).
Por lo tanto, los grupos lineales proyectivos generalizan el caso PGL (2, C ) de las transformaciones de Möbius (a veces llamado grupo de Möbius ), que actúa sobre la línea proyectiva .
Tenga en cuenta que a diferencia del grupo lineal general, que generalmente se define axiomáticamente como "funciones invertibles que preservan la estructura lineal (espacio vectorial)", el grupo lineal proyectivo se define de manera constructiva, como un cociente del grupo lineal general del espacio vectorial asociado, en lugar de que axiomáticamente como "funciones invertibles que preservan la estructura lineal proyectiva". Esto se refleja en la notación: PGL ( n , F ) es el grupo asociado a GL ( n , F ), y es el grupo lineal proyectivo del espacio proyectivo ( n −1) -dimensional, no el espacio proyectivo n- dimensional.
Colinaciones
Un grupo relacionado es el grupo de colineación , que se define axiomáticamente. Una colineación es un mapa invertible (o más generalmente uno a uno) que envía puntos colineales a puntos colineales. Se puede definir axiomáticamente un espacio proyectivo en términos de una estructura de incidencia (un conjunto de puntos P, líneas L y una relación de incidencia I que especifica qué puntos se encuentran en qué líneas) que satisfaga ciertos axiomas: un automorfismo de un espacio proyectivo así definido y siendo un automorfismo f del conjunto de puntos y un automorfismo g del conjunto de líneas, conservando la relación de incidencia, [nota 2] que es exactamente una colineación de un espacio a sí mismo. Las transformaciones lineales proyectivas son colineaciones (los planos en un espacio vectorial corresponden a líneas en el espacio proyectivo asociado y las transformaciones lineales asignan planos a planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas asignan líneas a líneas), pero en general no todas las colineaciones son transformaciones lineales proyectivas - PGL es en general un subgrupo adecuado del grupo de colineación.
Específicamente, para n = 2 (una línea proyectiva), todos los puntos son colineales, por lo que el grupo de colineación es exactamente el grupo simétrico de los puntos de la línea proyectiva, y excepto para F 2 y F 3 (donde PGL es el grupo simétrico completo ), PGL es un subgrupo adecuado del grupo simétrico completo en estos puntos.
Para n ≥ 3, el grupo de colineación es el grupo semilineal proyectivo , PΓL - este es PGL, retorcido por automorfismos de campo ; formalmente, PΓL ≅ PGL ⋊ Gal ( K / k ), donde k es el campo principal de K; este es el teorema fundamental de la geometría proyectiva . Así, para K un campo primo ( F p o Q ), tenemos PGL = PΓL, pero para K un campo con automorfismos de Galois no triviales (comopara n ≥ 2 o C ), el grupo lineal proyectiva es un subgrupo adecuado del grupo colineación, que puede ser pensado como "transformadas de preservar un proyectiva semi estructura -linear". En consecuencia, el grupo de cocientes PΓL / PGL = Gal ( K / k ) corresponde a "elecciones de estructura lineal", siendo la identidad (punto base) la estructura lineal existente.
También se pueden definir grupos de colineación para espacios proyectivos definidos axiomáticamente, donde no existe una noción natural de una transformación lineal proyectiva . Sin embargo, con la excepción de los planos no desarguesianos , todos los espacios proyectivos son la proyectivización de un espacio lineal sobre un anillo de división aunque, como se señaló anteriormente, hay múltiples opciones de estructura lineal, a saber, un torsor sobre Gal ( K / k ) (para n ≥ 3).
Elementos
Los elementos del grupo lineal proyectivo pueden entenderse como "inclinar el plano" a lo largo de uno de los ejes, y luego proyectarse al plano original, y también tienen dimensión n.
Una forma geométrica más familiar de entender las transformaciones proyectivas es a través de rotaciones proyectivas (los elementos de PSO ( n +1)), que corresponde a la proyección estereográfica de rotaciones de la unidad hiperesfera, y tiene dimensiónVisualmente, esto corresponde a pararse en el origen (o colocar una cámara en el origen), girar el ángulo de visión y luego proyectar sobre un plano plano. Las rotaciones en ejes perpendiculares al hiperplano conservan el hiperplano y producen una rotación del hiperplano (un elemento de SO ( n ), que tiene dimensión), mientras que las rotaciones en ejes paralelos al hiperplano son mapas proyectivos adecuados y explican las n dimensiones restantes .
Propiedades
- PGL envía puntos colineales a puntos colineales (conserva las líneas proyectivas), pero no es el grupo de colineación completo, sino que es PΓL (para n > 2) o el grupo simétrico completo para n = 2 (la línea proyectiva).
- Todo automorfismo algebraico ( birregular ) de un espacio proyectivo es lineal proyectivo. Los automorfismos biracionales forman un grupo más grande, el grupo Cremona .
- PGL actúa fielmente en el espacio proyectivo: los elementos no identitarios actúan de forma no trivial.
- Concretamente, el núcleo de la acción de GL en el espacio proyectivo son exactamente los mapas escalares, que están coorientados en PGL.
- PGL actúa 2-transitivamente en el espacio proyectivo.
- Esto se debe a que 2 puntos distintos en el espacio proyectivo corresponden a 2 vectores que no se encuentran en un solo espacio lineal y, por lo tanto, son linealmente independientes , y GL actúa transitivamente en conjuntos de k elementos de vectores linealmente independientes.
- PGL (2, K ) actúa bruscamente 3-transitivamente en la línea proyectiva.
- 3 puntos arbitrarios se mapean convencionalmente a [0, 1], [1, 1], [1, 0]; en notación alternativa, 0, 1, ∞. En notación de transformación lineal fraccionaria, la función mapea a ↦ 0, b ↦ 1, c ↦ ∞, y es el único mapa de este tipo que lo hace. Esta es la relación cruzada ( x , b ; a , c ); consulte relación cruzada: enfoque transformacional para obtener más detalles.
- Para n ≥ 3, PGL ( n , K ) no actúa 3-transitivamente, porque debe enviar 3 puntos colineales a otros 3 puntos colineales, no un conjunto arbitrario. Para n = 2, el espacio es la línea proyectiva, por lo que todos los puntos son colineales y esto no es una restricción.
- PGL (2, K ) no actúa 4-transitivamente en la línea proyectiva (excepto para PGL (2, 3), ya que P 1 (3) tiene 3 + 1 = 4 puntos, por lo que 3-transitivo implica 4-transitivo); el invariante que se conserva es la relación cruzada , y esto determina dónde se envían los demás puntos: especificar dónde se mapean 3 puntos determina el mapa. Así, en particular, no es el grupo de colineación completo de la línea proyectiva (excepto para F 2 y F 3 ).
- PSL (2, q ) y PGL (2, q ) (para q > 2 y q impar para PSL) son dos de las cuatro familias de grupos de Zassenhaus .
- PGL ( n , K ) es un grupo algebraico de dimensión n 2 -1 y un subgrupo abierto del espacio proyectivo P n 2 -1 . Como se define, el funtor PSL ( n , K ) no define un grupo algebraico, ni siquiera una gavilla fppf, y su sheafification en la topología fppf es de hecho PGL ( n , K ).
- PSL y PGL no tienen centros ; esto se debe a que las matrices diagonales no solo son el centro, sino también el hipercentro (el cociente de un grupo por su centro no es necesariamente sin centros). [nota 3]
Transformaciones lineales fraccionales
En cuanto a transformaciones de Möbius , la PGL grupo (2, K ) puede ser interpretada como transformaciones lineales fraccionales con coeficientes en K . Los puntos en la línea proyectiva sobre K corresponden a pares de K 2 , siendo dos pares equivalentes cuando son proporcionales. Cuando la segunda coordenada es distinta de cero, un punto se puede representar mediante [ z , 1]. Entonces, cuando ad - bc ≠ 0, la acción de PGL (2, K ) es por transformación lineal:
De esta manera, las transformaciones sucesivas pueden escribirse como multiplicaciones correctas por tales matrices, y la multiplicación de matrices puede usarse para el producto de grupo en PGL (2, K ).
Campos finitos
Los grupos lineales especiales proyectivos PSL ( n , F q ) para un campo finito F q a menudo se escriben como PSL ( n , q ) o L n ( q ). Son grupos simples finitos siempre que n sea al menos 2, con dos excepciones: [2] L 2 (2), que es isomorfo a S 3 , el grupo simétrico de 3 letras, y tiene solución ; y L 2 (3), que es isomorfo a A 4 , el grupo alterno de 4 letras, y también se puede resolver. Estos isomorfismos excepcionales pueden entenderse como derivados de la acción en la línea proyectiva .
Los grupos lineales especiales SL ( n , q ) son, por lo tanto, casi simples : extensiones centrales perfectas de un grupo simple (a menos que n = 2 yq = 2 o 3).
Historia
Los grupos PSL (2, p ) fueron construidos por Évariste Galois en la década de 1830, y eran la segunda familia de grupos simples finitos , después de los grupos alternos . [3] Galois los construyó como transformadas lineales fraccionarias y observó que eran simples excepto si p era 2 o 3; esto está contenido en su última carta a Chevalier. [4] En la misma carta y los manuscritos adjuntos, Galois también construyó el grupo lineal general sobre un campo principal , GL (ν, p ), al estudiar el grupo de Galois de la ecuación general de grado p ν .
Los grupos PSL ( n , q ) ( n general , campo finito general) fueron luego construidos en el texto clásico de 1870 por Camille Jordan , Traité des substitutions et des équations algébriques .
Pedido
El orden de PGL ( n , q ) es
- ( Q n - 1) ( q n - q ) ( q n - q 2 ) ⋅⋅⋅ ( q n - q n -1 ) / ( q - 1) = q n 2 -1 - O ( q n 2 - 3 ),
que corresponde al orden de GL ( n , q ) , dividido por q - 1 para proyectivización; ver q -analog para la discusión de tales fórmulas. Tenga en cuenta que el grado es n 2 - 1 , que concuerda con la dimensión como grupo algebraico. La "O" es para la notación O grande , que significa "términos que involucran un orden inferior". Esto también es igual al orden de SL ( n , q ) ; allí dividir por q - 1 se debe al determinante.
El orden de PSL ( n , q ) es el anterior, dividido por | SZ ( n , q ) | , el número de matrices escalares con determinante 1 - o equivalentemente dividido por | F × / ( F × ) n |, el número de clases de elementos que no tienen raíz n -ésima, o equivalentemente, dividiendo por el número de raíces n - ésimas de la unidad en F q . [nota 4]
Isomorfismos excepcionales
Además de los isomorfismos
- L 2 (2) ≅ S 3 , L 2 (3) ≅ A 4 y PGL (2, 3) ≅ S 4 ,
hay otros isomorfismos excepcionales entre grupos lineales especiales proyectivos y grupos alternos (estos grupos son todos simples, ya que el grupo alterno de más de 5 o más letras es simple):
- (ver aquí para una prueba)
- [5]
El isomorfismo L 2 (9) ≅ A 6 permite ver el exótico automorfismo externo de A 6 en términos de automorfismo de campo y operaciones matriciales. El isomorfismo L 4 (2) ≅ A 8 es de interés en la estructura del grupo de Mathieu M 24 .
Las extensiones asociadas SL ( n , q ) → PSL ( n , q ) son grupos de cobertura de los grupos alternos ( extensiones centrales perfectas universales ) para A 4 , A 5 , por unicidad de la extensión central perfecta universal; para L 2 (9) ≅ A 6 , la extensión asociada es una extensión central perfecta, pero no universal: hay un grupo de cubierta de 3 pliegues .
Los grupos sobre F 5 tienen una serie de isomorfismos excepcionales:
- PSL (2, 5) ≅ A 5 ≅ I , el grupo alterno de cinco elementos, o equivalentemente el grupo icosaédrico ;
- PGL (2, 5) ≅ S 5 , el grupo simétrico de cinco elementos;
- SL (2, 5) ≅ 2 ⋅ A 5 ≅ 2 I la doble cubierta del grupo alterno A 5 , o equivalentemente el grupo icosaédrico binario .
También se pueden utilizar para dar una construcción de un mapa exótico S 5 → S 6 , como se describe a continuación. Sin embargo, tenga en cuenta que GL (2, 5) no es una portada doble de S 5 , sino más bien una portada cuádruple.
Otro isomorfismo es:
- L 2 (7) ≅ L 3 (2) es el grupo simple de orden 168, el segundo grupo simple no abeliano más pequeño, y no es un grupo alterno; ver PSL (2,7) .
Los isomorfismos excepcionales anteriores que involucran a los grupos lineales especiales proyectivos son casi todos los isomorfismos excepcionales entre familias de grupos simples finitos; el único otro isomorfismo excepcional es PSU (4, 2) ≃ PSp (4, 3), entre un grupo unitario especial proyectivo y un grupo simpléctico proyectivo . [3]
Acción en línea proyectiva
Algunos de los mapas anteriores se pueden ver directamente en términos de la acción de PSL y PGL en la línea proyectiva asociada: PGL ( n , q ) actúa sobre el espacio proyectivo P n −1 ( q ), que tiene ( q n −1 ) / ( q −1) puntos, y esto produce un mapa del grupo lineal proyectivo al grupo simétrico en ( q n −1) / ( q −1) puntos. Para n = 2, esta es la línea proyectiva P 1 ( q ) que tiene ( q 2 −1) / ( q −1) = q +1 puntos, por lo que hay un mapa PGL (2, q ) → S q + 1 .
Para comprender estos mapas, es útil recordar estos hechos:
- El orden de PGL (2, q ) es
- el orden de PSL (2, q ) es igual a esto (si la característica es 2), o es la mitad de esto (si la característica no es 2).
- La acción del grupo lineal proyectivo sobre la línea proyectiva es marcadamente 3-transitiva ( fiel y 3- transitiva ), por lo que el mapa es uno a uno y tiene una imagen de un subgrupo 3-transitivo.
Así, la imagen es un subgrupo transitivo 3 de orden conocido, lo que permite su identificación. Esto produce los siguientes mapas:
- PSL (2, 2) = PGL (2, 2) → S 3 , de orden 6, que es un isomorfismo.
- El mapa inverso (una representación proyectiva de S 3 ) puede ser realizado por el grupo anarmónico , y más generalmente produce una inclusión S 3 → PGL (2, q ) para todos los campos.
- PSL (2, 3)
S 4 , de órdenes 12 y 24, el último de los cuales es un isomorfismo, siendo PSL (2, 3) el grupo alterno. - El grupo anarmónico da un mapa parcial en la dirección opuesta, mapeando S 3 → PGL (2, 3) como el estabilizador del punto -1.
- PSL (2, 4) = PGL (2, 4) → S 5 , de orden 60, produciendo el grupo alterno A 5 .
- PSL (2, 5)
S 6 , de órdenes 60 y 120, lo que produce una inclusión de S 5 (respectivamente, A 5 ) como un subgrupo transitivo de S 6 (respectivamente, A 6 ). Este es un ejemplo de un mapa exótico S 5 → S 6 , y puede usarse para construir el excepcional automorfismo exterior de S 6 . [6] Nótese que el isomorfismo PGL (2, 5) ≅ S 5 no es transparente a partir de esta presentación: no existe un conjunto particularmente natural de 5 elementos sobre los que actúa PGL (2, 5).
Acción en puntos p
Mientras que PSL ( n , q ) actúa naturalmente en ( q n −1) / ( q −1) = 1+ q + ... + q n −1 puntos, las acciones no triviales en menos puntos son más raras. De hecho, para PSL (2, p ) actúa de manera no trivial sobre p puntos si y solo si p = 2, 3, 5, 7 u 11; para 2 y 3 el grupo no es simple, mientras que para 5, 7 y 11, el grupo es simple; además, no actúa de manera no trivial en menos de p puntos. [nota 5] Esto fue observado por primera vez por Évariste Galois en su última carta a Chevalier, 1832. [7]
Esto se puede analizar de la siguiente manera; tenga en cuenta que para 2 y 3 la acción no es fiel (es un cociente no trivial, y el grupo PSL no es simple), mientras que para 5, 7 y 11 la acción es fiel (ya que el grupo es simple y la acción no es trivial) y produce una incrustación en S p . En todos menos en el último caso, PSL (2, 11), corresponde a un isomorfismo excepcional, donde el grupo más a la derecha tiene una acción obvia en p puntos:
- a través del mapa de señales;
- a través del cociente por el grupo 4 de Klein;
- Para construir tal isomorfismo, es necesario considerar el grupo L 2 (5) como un grupo de Galois de una cobertura de Galois a 5 : X (5) → X (1) = P 1 , donde X ( N ) es una curva modular de nivel N . Esta cobertura se ramifica en 12 puntos. La curva modular X (5) tiene género 0 y es isomorfa a una esfera sobre el campo de números complejos, y luego la acción de L 2 (5) sobre estos 12 puntos se convierte en el grupo de simetría de un icosaedro . Luego, es necesario considerar la acción del grupo de simetría del icosaedro sobre los cinco tetraedros asociados .
- L 2 (7) ≅ L 3 (2) que actúa sobre los puntos 1 + 2 + 4 = 7 del plano de Fano (plano proyectivo sobre F 2 ); esto también puede verse como la acción en el biplano de orden 2 , que es el plano Fano complementario .
- L 2 (11) es más sutil y se desarrolla a continuación; actúa sobre el biplano de orden 3. [8]
Además, L 2 (7) y L 2 (11) tienen dos acciones desiguales en p puntos; geométricamente, esto se realiza mediante la acción sobre un biplano, que tiene p puntos yp bloques: la acción sobre los puntos y la acción sobre los bloques son acciones sobre p puntos, pero no conjugadas (tienen diferentes estabilizadores de puntos); en cambio, están relacionados por un automorfismo externo del grupo. [9]
Más recientemente, estas tres últimas acciones excepcionales se han interpretado como un ejemplo de la clasificación ADE : [10] estas acciones corresponden a productos (como conjuntos, no como grupos) de los grupos como A 4 × Z / 5 Z , S 4 × Z / 7 Z y A 5 × Z / 11 Z , donde los grupos A 4 , S 4 y A 5 son los grupos de isometría de los sólidos platónicos , y corresponden a E 6 , E 7 y E 8 bajo la correspondencia de McKay . Estos tres casos excepcionales también se realizan como geometrías de poliedros (equivalentemente, mosaicos de superficies de Riemann), respectivamente: el compuesto de cinco tetraedros dentro del icosaedro (esfera, género 0), el biplano de orden 2 ( plano de Fano complementario ) dentro del Klein quartic (género 3) y el biplano de orden 3 ( Paley biplane ) dentro de la superficie de la buckyball (género 70). [11] [12]
La acción de L 2 (11) puede verse algebraicamente como debida a una inclusión excepcional- hay dos clases de conjugación de subgrupos de L 2 (11) que son isomorfos a L 2 (5), cada uno con 11 elementos: la acción de L 2 (11) por conjugación sobre estos es una acción sobre 11 puntos, y, además, las dos clases de conjugación están relacionadas por un automorfismo externo de L 2 (11). (Lo mismo es cierto para los subgrupos de L 2 (7) isomórficos a S 4 , y esto también tiene una geometría biplano).
Geométricamente, esta acción se puede entender a través de una geometría biplano , que se define a continuación. Una geometría biplano es un diseño simétrico (un conjunto de puntos y un número igual de "líneas", o más bien bloques) tal que cualquier conjunto de dos puntos está contenido en dos líneas, mientras que dos líneas cualesquiera se cruzan en dos puntos; esto es similar a un plano proyectivo finito, excepto que en lugar de dos puntos que determinan una línea (y dos líneas que determinan un punto), determinan dos líneas (respectivamente, puntos). En este caso (el biplano de Paley , obtenido del dígrafo de Paley de orden 11), los puntos son la línea afín (el campo finito) F 11 , donde la primera línea se define como los cinco residuos cuadráticos distintos de cero (puntos que son cuadrados: 1, 3, 4, 5, 9), y las otras líneas son las traducciones afines de esto (agregue una constante a todos los puntos). L 2 (11) es entonces isomorfo al subgrupo de S 11 que conserva esta geometría (envía líneas a líneas), dando un conjunto de 11 puntos sobre los que actúa, de hecho dos: los puntos o las líneas, que corresponden a la automorfismo externo - mientras que L 2 (5) es el estabilizador de una línea dada, o doblemente de un punto dado.
Más sorprendentemente, el espacio lateral L 2 (11) / Z / 11 Z , que tiene el orden 660/11 = 60 (y sobre el que actúa el grupo icosaédrico) tiene naturalmente la estructura de una bola de buckey , que se utiliza en la construcción de la superficie de buckyball .
Grupos de Mathieu
El grupo PSL (3, 4) se puede utilizar para construir el grupo Mathieu M 24 , uno de los grupos simples esporádicos ; en este contexto, uno se refiere a PSL (3, 4) como M 21 , aunque no es propiamente un grupo de Mathieu. Uno comienza con el plano proyectivo sobre el campo con cuatro elementos, que es un sistema Steiner de tipo S (2, 5, 21) - lo que significa que tiene 21 puntos, cada línea ("bloque", en terminología Steiner) tiene 5 puntos , y 2 puntos cualesquiera determinan una línea, y sobre la que actúa PSL (3, 4). Uno llama a este sistema Steiner W 21 ("W" para Witt ), y luego lo expande a un sistema Steiner más grande W 24 , expandiendo el grupo de simetría a lo largo del camino: al grupo lineal general proyectivo PGL (3, 4), luego a el grupo proyectivo semilineal PΓL (3, 4), y finalmente al grupo Mathieu M 24 .
M 24 también contiene copias de PSL (2, 11), que es máximo en M 22 , y PSL (2, 23), que es máximo en M 24 , y puede usarse para construir M 24 . [13]
Superficies Hurwitz
Los grupos PSL surgen como grupos de Hurwitz (grupos de automorfismo de superficies de Hurwitz - curvas algebraicas de grupo de simetría posiblemente máxima). La superficie de Hurwitz del género más bajo, el cuartico de Klein (género 3), tiene un grupo de automorfismo isomorfo a PSL (2, 7) (equivalentemente GL (3, 2)), mientras que la superficie de Hurwitz del segundo género más bajo, la superficie de Macbeath ( género 7), tiene un grupo de automorfismo isomorfo al PSL (2, 8).
De hecho, muchos pero no todos los grupos simples surgen como grupos de Hurwitz (incluido el grupo de los monstruos , aunque no todos los grupos alternos o grupos esporádicos), aunque PSL se destaca por incluir los grupos más pequeños.
Grupo modular
Los grupos PSL (2, Z / n Z ) surgen al estudiar el grupo modular , PSL (2, Z ), como cocientes reduciendo todos los elementos mod n ; los núcleos se denominan subgrupos de congruencia principales .
Un subgrupo digno de mención del grupo lineal general proyectivo PGL (2, Z ) (y del grupo lineal especial proyectivo PSL (2, Z [ i ])) son las simetrías del conjunto {0, 1, ∞} ⊂ P 1 ( C ) [nota 6] estos también ocurren en las seis relaciones cruzadas . El subgrupo puede expresarse como transformaciones lineales fraccionarias , o representarse (no de forma única) por matrices, como:
Tenga en cuenta que la fila superior es la identidad y los dos 3 ciclos, y conservan la orientación, formando un subgrupo en PSL (2, Z ), mientras que la fila inferior son los tres 2 ciclos y están en PGL (2, Z ) Z ) y PSL (2, Z [ i ]), pero no en PSL (2, Z ), por lo tanto realizadas como matrices con determinante -1 y coeficientes enteros, o como matrices con determinante 1 y coeficientes enteros gaussianos .
Esto se asigna a las simetrías de {0, 1, ∞} ⊂ P 1 ( n ) bajo el mod de reducción n . En particular, para n = 2, este subgrupo se asigna isomórficamente a PGL (2, Z / 2 Z ) = PSL (2, Z / 2 Z ) ≅ S 3 , [nota 7] y, por lo tanto, proporciona una división para el mapa del cociente
Otra propiedad de este subgrupo es que el mapa del cociente S 3 → S 2 se realiza mediante la acción de grupo. Es decir, el subgrupo C 3 < S 3 que consta de los 3 ciclos y la identidad () (0 1 ∞) (0 ∞ 1) estabiliza la proporción áurea y la proporción áurea inversa mientras que los 2 ciclos los intercambian, realizando así el mapa.
Los puntos fijos de los 2 ciclos individuales son, respectivamente, -1, 1/2, 2, y este conjunto también se conserva y permuta, correspondiente a la acción de S 3 en los 2 ciclos (sus 2 subgrupos de Sylow) por conjugación y dándose cuenta del isomorfismo
Topología
Sobre los números reales y complejos, la topología de PGL y PSL se puede determinar a partir de los haces de fibras que los definen:
a través de la larga secuencia exacta de una fibración .
Tanto para los reales como para los complejos, SL es un espacio de cobertura de PSL, con un número de hojas igual al número de raíces n en K ; así, en particular, todos sus grupos de homotopía superiores están de acuerdo. Para los reales, SL es una cubierta doble de PSL para n pares, y es una cubierta doble para n impares, es decir, un isomorfismo:
- {± 1} → SL (2 n , R ) → PSL (2 n , R )
Para los complejos, SL es una cubierta n- pliegue de PSL.
Para PGL, para los reales, la fibra es R * ≅ {± 1}, por lo que hasta la homotopía, GL → PGL es un espacio de cobertura doble, y todos los grupos de homotopía superiores están de acuerdo.
Para PGL sobre los complejos, la fibra es C * ≅ S 1 , por lo que hasta la homotopía, GL → PGL es un haz circular. Los grupos de homotopía superiores del círculo desaparecen, por lo que los grupos de homotopía de GL ( n , C ) y PGL ( n , C ) coinciden para n ≥ 3. De hecho, π 2 siempre desaparece para los grupos de Lie, por lo que los grupos de homotopía coinciden en n ≥ 2. Para n = 1, tenemos que π 1 (GL ( n , C )) = π 1 ( S 1 ) = Z y, por tanto, PGL ( n , C ) simplemente está conectado.
Cubriendo grupos
Sobre los números reales y complejos, los grupos lineales especiales proyectivos son las realizaciones del grupo de Lie mínimo ( sin centros ) para el álgebra de Lie lineal especial. cada grupo de Lie conectado cuyo álgebra de Lie es es una portada de PSL ( n , F ). A la inversa, su grupo de cobertura universal es el elemento máximo ( simplemente conectado ), y las realizaciones intermedias forman un entramado de grupos de cobertura .
Por ejemplo, SL (2, R ) tiene centro {± 1} y grupo fundamental Z , y por lo tanto tiene cubierta universal SL (2, R ) y cubre el PSL sin centro (2, R ).
Teoría de la representación
Un homomorfismo de grupo G → PGL ( V ) de un grupo G a un grupo lineal proyectivo se denomina representación proyectiva del grupo G, por analogía con una representación lineal (un homomorfismo G → GL ( V )). Estos fueron estudiados por Issai Schur , que mostraron que proyectivas representaciones de G se pueden clasificar en términos de lineales representaciones de las extensiones centrales de G . Esto llevó al multiplicador de Schur , que se utiliza para abordar esta cuestión.
Dimensiones reducidas
El grupo lineal proyectivo se estudia principalmente para n ≥ 2, aunque se puede definir para dimensiones bajas.
Para n = 0 (o de hecho n <0), el espacio proyectivo de K 0 está vacío, ya que no hay subespacios unidimensionales de un espacio de dimensión 0. Por lo tanto, PGL (0, K ) es el grupo trivial, que consiste en el mapa vacío único del conjunto vacío a sí mismo. Además, la acción de los escalares en un espacio de dimensión 0 es trivial, por lo que el mapa K * → GL (0, K ) es trivial, en lugar de una inclusión como lo es en dimensiones superiores.
Para n = 1, el espacio proyectivo de K 1 es un solo punto, ya que hay un solo subespacio unidimensional. Por lo tanto, PGL (1, K ) es el grupo trivial, que consiste en el mapa único de un conjunto singleton a sí mismo. Además, el grupo lineal general de un espacio unidimensional son exactamente los escalares, por lo que el mapaes un isomorfismo, correspondiente a PGL (1, K ): = GL (1, K ) / K * ≅ {1} siendo trivial.
Para n = 2, PGL (2, K ) no es trivial, pero es inusual porque es 3-transitivo, a diferencia de las dimensiones superiores cuando es solo 2-transitivo.
Ejemplos de
- PSL (2,7)
- Grupo modular , PSL (2, Z )
- PSL (2, R)
- Grupo de Möbius , PGL (2, C ) = PSL (2, C )
Subgrupos
- Grupo ortogonal proyectivo , PO - subgrupo compacto máximo de PGL
- Grupo unitario proyectivo , PU
- Grupo ortogonal especial proyectivo , PSO - subgrupo compacto máximo de PSL
- Grupo unitario especial proyectivo , PSU
Grupos más grandes
El grupo lineal proyectivo está contenido dentro de grupos más grandes, en particular:
- Grupo proyectivo semilineal , PΓL, que permite automorfismos de campo .
- Grupo Cremona , Cr ( P n ( k )) de automorfismos biracionales ; cualquier automorfismo birregular es lineal, por lo que PGL coincide con el grupo de automorfismos birregulares.
Ver también
- Transformación proyectiva
- Unidad
Notas
- ^ Esto es, por tanto, PGL ( n + 1, F ) para el espacio proyectivo de dimensión n
- ^ "Preservar la relación de incidencia" significa que si el punto p está en la línea l, entonces f ( p ) está en g ( l ); Formalmente, si ( p , l ) ∈ I entonces ( f ( p ), g ( l )) ∈ I .
- ^ Para PSL (excepto PSL (2, 2) y PSL (2, 3)) esto sigue el lema de Grün porque SL es un grupo perfecto (por lo tanto, centro es igual a hipercentro), pero para PGL y los dos PSL excepcionales, esto requiere verificación adicional.
- ^ Estos son iguales porque son el núcleo y el cokernel del endomorfismo.formalmente, | μ n | ⋅ | ( F × ) n | = | F × | . De manera más abstracta, el primero se da cuenta de PSL como SL / SZ, mientras que el segundo se da cuenta de PSL como el núcleo de PGL → F × / ( F × ) n .
- ^ Dado que p divide el orden del grupo, el grupo no se incrusta en (o, dado que es simple, se asigna de manera no trivial a) S k para k < p , ya que p no divide el orden de este último grupo.
- ^ En coordenadas proyectivas, los puntos {0, 1, ∞} están dados por [0: 1], [1: 1] y [1: 0], lo que explica por qué su estabilizador está representado por matrices integrales.
- ^ Este isomorfismo se puede ver eliminando los signos menos en las matrices, lo que produce las matrices para PGL (2, 2)
Referencias
- ^ Gareth A. Jones y David Singerman. (1987) Funciones complejas: un punto de vista algebraico y geométrico. Cambridge UP. Discusión de PSL y PGL en la página 20 en google books
- ^ Prueba: Matemáticas 155r 2010 , Folleto # 4 , Noam Elkies
- ^ a b Wilson, Robert A. (2009), "Capítulo 1: Introducción" , Los grupos simples finitos , Textos de posgrado en matemáticas 251, 251 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-84800 -988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012 , 2007 preimpresión ; Capítulo doi : 10.1007 / 978-1-84800-988-2_1 .CS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ Galois, Évariste (1846), "Lettre de Galois à M. Auguste Chevalier" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , XI : 408-415 , recuperados 2009-02-04 , PSL (2, p ) y la simplicidad discutido en la p. 411; acción excepcional en 5, 7 u 11 puntos discutidos en las págs. 411–412; GL (ν, p ) discutido en la p. 410CS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ Murray, John (diciembre de 1999), "The Alternating Group A 8 and the General linear linear Group GL (4, 2)", Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy , 99A (2): 123-132, JSTOR 20459753
- ^ Carnahan, Scott (2007-10-27), "Small finite sets" , Secret Blogging Seminar , notas sobre una charla de Jean-Pierre Serre . Enlace externo en
|work=
( ayuda )CS1 maint: posdata ( enlace ) - ^ Carta, págs. 411–412
- ^ Kostant, Bertram (1995), "La gráfica del icosaedro truncado y la última letra de Galois" (PDF) , Avisos Amer. Matemáticas. Soc. , 42 (4): 959–968, ver: The Embedding of PSl (2, 5) into PSl (2, 11) y Galois 'Letter to Chevalier.
- ^ Noam Elkies , Math 155r, Lecture notes para el 14 de abril de 2010
- ↑ ( Kostant 1995 , p. 964)
- ^ Última carta de Galois Archivada el 15 de agosto de 2010 en la Wayback Machine , Never Ending Books
- ^ Martín, Pablo; Singerman, David (17 de abril de 2008), From Biplanes to the Klein quartic and the Buckyball (PDF)
- ^ Conway, Sloane, SPLAG
- Grove, Larry C. (2002), Grupos clásicos y álgebra geométrica , Estudios de posgrado en matemáticas , 39 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2019-3, Señor 1859189