En geometría proyectiva , el punto conjugado armónico de un triple ordenado de puntos en la línea proyectiva real se define mediante la siguiente construcción:
- Dados tres puntos colineales A , B , C, sea L un punto que no se encuentra en su unión y deje que cualquier línea que pase por C se encuentre con LA , LB en M , N respectivamente. Si AN y BM se encuentran en K , y LK se encuentra con AB en D , entonces D se llama armónica conjugada de C con respecto a A , B . [1]
El punto D no depende de qué punto L se toma inicialmente, ni en lo que a través de la línea C se utiliza para encontrar M y N . Este hecho se sigue del teorema de Desargues .
En geometría proyectiva real, la conjugación armónica también se puede definir en términos de la relación cruzada como ( A , B ; C , D ) = −1 .
Criterio de relación cruzada
Los cuatro puntos a veces se denominan rango armónico (en la línea proyectiva real) ya que se encuentra que D siempre divide el segmento AB internamente en la misma proporción que C divide AB externamente . Es decir:
Si estos segmentos ahora están dotados de la interpretación métrica ordinaria de números reales , estarán firmados y formarán una proporción doble conocida como proporción cruzada (a veces proporción doble ).
para el cual un rango de armónicos se caracteriza por un valor de -1. Por tanto escribimos:
El valor de una relación cruzada en general no es único , ya que depende del orden de selección de los segmentos (y hay seis selecciones posibles). Pero para un rango armónico en particular, solo hay tres valores de relación cruzada: {−1, 1/2, 2}, ya que −1 es autoinverso, por lo que intercambiar los dos últimos puntos simplemente recíproca cada uno de estos valores pero no produce nuevo valor, y se conoce clásicamente como la relación cruzada armónica .
En términos de una relación doble, puntos dado a y b en una línea afín, la relación de división [2] de un punto x se
Tenga en cuenta que cuando a < x < b , entonces t ( x ) es negativo y positivo fuera del intervalo. La relación cruzada ( c , d ; a , b ) = t ( c ) / t ( d ) es una relación de relaciones de división, o una relación doble. Configurar el doble relación a menos uno significa que cuando t ( c ) + t ( d ) = 0 , entonces c y d son conjugados de armónicas con respecto a una y b . Entonces, el criterio de la razón de división es que sean inversas aditivas .
La división armónica de un segmento de línea es un caso especial de la definición de círculo de Apolonio .
En algunos estudios escolares, la configuración de un rango armónico se llama división armónica .
De punto medio
Cuando x es el punto medio del segmento de una a b , entonces
Según el criterio de la relación cruzada, el conjugado armónico de x será y cuando t ( y ) = 1 . Sin embargo, no existe una solución finita para y en la línea a través de una y b . Sin embargo,
motivando así la inclusión de un punto en el infinito en la línea proyectiva. Este punto en el infinito sirve como conjugado armónico del punto medio x .
De cuadrilátero completo
Otro enfoque del conjugado armónico es a través del concepto de un cuadrilátero completo como KLMN en el diagrama anterior. Basado en cuatro puntos, el cuadrilátero completo tiene pares de lados opuestos y diagonales. En la expresión de conjugados armónicos de HSM Coxeter , las diagonales se consideran un par de lados opuestos:
- D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B , lo que significa que hay un cuadrilátero IJKL tal que un par de lados opuestos se cruzan en A y un segundo par en B , mientras que el tercer par se encuentra con AB en C y D . [3]
Fue Karl von Staudt quien utilizó por primera vez el conjugado armónico como base para la geometría proyectiva independiente de consideraciones métricas:
- ... Staudt logró liberar la geometría proyectiva de la geometría elemental. En su Geometrie der Lage Staudt introdujo un cuádruple armónico de elementos independientemente del concepto de relación cruzada siguiendo una ruta puramente proyectiva, utilizando un cuadrilátero o cuadrilátero completo. [4]
Para ver el cuadrilátero completo aplicado para obtener el punto medio, considere el siguiente pasaje de JW Young:
- Si dos líneas arbitrarias AQ y AS se trazan a través de A y las líneas BS y BQ se trazan a través de B paralelas a AQ y AS respectivamente, las líneas AQ y SB se encuentran, por definición, en un punto R en el infinito, mientras que AS y QB se encuentran por definición en un punto P en el infinito. El cuadrilátero completo PQRS tiene dos puntos diagonales en A y B , mientras que el par restante de lados opuestos pasa por M y el punto en el infinito en AB . El punto M es entonces por construcción el conjugado armónico de la punto en el infinito en AB con respecto a A y B . Por otro lado, que M es el punto medio del segmento AB se sigue de la proposición familiar de que las diagonales de un paralelogramo ( PQRS ) se bisecan entre sí. [5]
Relaciones cuaternarias
Cuatro puntos ordenados en un rango proyectivo se denominan puntos armónicos cuando hay un tetrastigma en el plano tal que el primero y el tercero son codots y los otros dos puntos están en los conectores del tercer codot. [6]
Si p es un punto que no está en una recta con puntos armónicos, las uniones de p con los puntos son rectas armónicas . De manera similar, si el eje de un lápiz de planos está sesgado a una recta con puntos armónicos, los planos de los puntos son planos armónicos . [6]
Un conjunto de cuatro en tal relación se ha llamado cuádruple armónico . [7]
Cónicas proyectivas
Una cónica en el plano proyectivo es una curva C que tiene la siguiente propiedad: si P es un punto que no está en C , y si una línea variable que pasa por P se encuentra con C en los puntos A y B , entonces el conjugado armónico variable de P con respecto a A y B trazan una línea. El punto P se llama polo de esa línea de conjugados armónicos, y esta línea se llama línea polar de P con respecto a la cónica. Consulte el artículo Polo y polar para obtener más detalles.
Geometría inversora
En el caso de que la cónica sea un círculo, en los diámetros extendidos del círculo, los conjugados armónicos con respecto al círculo son inversos en un círculo . Este hecho se sigue de uno de los teoremas de Smogorzhevsky: [8]
- Si los círculos k y q son mutuamente ortogonales, entonces una línea recta que pasa a través del centro de k y de intersección q , lo hace en puntos simétricos con respecto a k .
Es decir, si la línea tiene un diámetro extendido de k , entonces las intersecciones con q son conjugados armónicos.
Tétradas de Galois
En la geometría de Galois sobre un campo de Galois GF ( q ) una línea tiene q + 1 puntos, donde ∞ = (1,0). En esta línea, cuatro puntos forman una tétrada armónica cuando dos separan armónicamente a los demás. La condición
caracteriza las tétradas armónicas. La atención a estas tétradas llevó a Jean Dieudonné a delinear algunos isomorfismos accidentales de los grupos lineales proyectivos PGL (2, q ) para q = 5, 7 y 9. [9]
Si q = 2 n , entonces el conjugado armónico de C es él mismo. [10]
Conjugados armónicos proyectivos iterados y la proporción áurea
Dejar ser tres puntos diferentes en la línea proyectiva real. Considere la secuencia infinita de puntos dónde es el conjugado armónico de con respecto a por Esta secuencia es convergente. [11]
Por un límite finito tenemos
dónde es la proporción áurea , es decir para grande . Por un límite infinito tenemos
Para una prueba, considere el isomorfismo proyectivo
con
Referencias
- ^ RL Goodstein & EJF Primrose (1953) Geometría proyectiva axiomática , University College Leicester (editor). Este texto sigue la geometría sintética . Construcción armónica en la página 11
- ^ Dirk Struik (1953) Conferencias sobre geometría analítica y proyectiva , página 7
- ^ HSM Coxeter (1942) Geometría no euclidiana , página 29, University of Toronto Press
- ^ BL Laptev & BA Rozenfel'd (1996) Matemáticas del siglo XIX: geometría , página 41, Birkhäuser Verlag ISBN 3-7643-5048-2
- ^ John Wesley Young (1930) Geometría proyectiva , página 85, Asociación matemática de América , Chicago: Open Court Publishing
- ^ a b G. B. Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , páginas 15 y 16
- ^ Luis Santaló (1966) Geometría proyectiva , página 166, Editorial Universitaria de Buenos Aires
- ^ AS Smogorzhevsky (1982) Geometría Lobachevskian , Mir Publishers , Moscú
- ^ Jean Dieudonné (1954) "Les Isomorphisms exceptionnals entre les groups classiques finis", Canadian Journal of Mathematics 6: 305 a 15 doi : 10.4153 / CJM-1954-029-0
- ^ Emil Artin (1957) Álgebra geométrica , página 82
- ^ F. Leitenberger (2016) Divisiones armónicas iteradas y la proporción áurea , Forum Geometricorum 16: 429–430
- Juan Carlos Alverez (2000) Geometría proyectiva , ver Capítulo 2: El plano proyectivo real, sección 3: Cuádruples armónicos y teorema de von Staudt.
- Robert Lachlan (1893) Un tratado elemental sobre geometría pura moderna , enlace de las monografías históricas de matemáticas de la Universidad de Cornell .
- Bertrand Russell (1903) Principios de matemáticas , página 384.
- Russell, John Wellesley (1905). Geometría pura . Prensa de Clarendon.