En geometría algebraica , el anillo de coordenadas homogéneo R de una variedad algebraica V dado como una subvariedad del espacio proyectivo de una dimensión dada N es por definición el anillo del cociente
donde I es el ideal homogéneo que define a V , K es el campo algebraicamente cerrado sobre el que se define V , y
es el anillo polinomial en N + 1 variables X i . El anillo polinomial es, por tanto, el anillo de coordenadas homogéneo del propio espacio proyectivo, y las variables son las coordenadas homogéneas , para una elección de base dada (en el espacio vectorial subyacente al espacio proyectivo). La elección de la base significa que esta definición no es intrínseca, pero puede hacerse mediante el uso del álgebra simétrica .
Dado que se supone que V es una variedad y, por lo tanto, un conjunto algebraico irreducible , el ideal I puede elegirse como un ideal primo y, por lo tanto, R es un dominio integral . Se puede usar la misma definición para ideales generales homogéneos, pero los anillos de coordenadas resultantes pueden contener elementos nilpotentes distintos de cero y otros divisores de cero . Desde el punto de vista de la teoría de esquemas, estos casos pueden tratarse en pie de igualdad mediante la construcción Proj .
El ideal irrelevante J generado por todos los X i corresponde al conjunto vacío, ya que no todas las coordenadas homogéneas pueden desaparecer en un punto del espacio proyectivo.
El Nullstellensatz proyectiva da una correspondencia biyectiva entre variedades proyectivas e ideales homogéneos I no contienen J .