Divisor cero

En álgebra abstracta , un elemento $a$ de un anillo $R$ se llama divisor cero izquierdo si existe una $x$ distinta de cero en $R$ tal que $ax = 0$ , ^[1] o de manera equivalente si el mapa de $R$ a $R$ que envía $x$ a $ax$ no es inyectable . ^[a] De manera similar, un elemento $a$ de un anillo se llama divisor de cero recto si existe una $y$ distinta de cero en $R$ tal que $ya = 0$ . Este es un caso parcial de divisibilidad en anillos. Un elemento que es un divisor de cero a la izquierda o a la derecha se llama simplemente divisor de cero .^[2] Un elemento $una$ que es tanto una izquierda y una derecha divisor de cero se denomina dos caras divisor de cero (el distinto de cero $x$ tal que $ax = 0$ puede ser diferente de la distinto de cero $y$ de tal manera que $ya = 0$ ). Si el anillo es conmutativo , los divisores cero izquierdo y derecho son iguales.

Un elemento de un anillo que no es un divisor de cero a la izquierda se llama regular izquierdo o cancelable a la izquierda . De manera similar, un elemento de un anillo que no es un divisor de cero a la derecha se llama regular a la derecha o cancelable a la derecha . Un elemento de un anillo que se puede cancelar por la izquierda y la derecha y, por lo tanto, no es un divisor de cero, se llama regular o cancelable , ^[3] o un divisor distinto de cero . Un divisor de cero distinto de cero se denomina divisor de cero distinto de cero o divisor de cero no trivial . Un anillo distinto de cero sin divisores de cero no triviales se llama dominio .

No hay necesidad de una convención separada para el caso $a = 0$ , porque la definición también se aplica en este caso:

Algunas referencias incluyen o excluyen $0$ como divisor de cero en todos los anillos por convención, pero luego sufren de tener que introducir excepciones en declaraciones como las siguientes:

Deje que $R$ sea un anillo conmutativo, deje $M$ sea un $R$ - módulo , y dejó $un$ ser un elemento de $R$ . Se dice que $a$ es $M$ -regular si el mapa de "multiplicación por $a$ " es inyectivo, y que $a$ es un divisor cero en $M en$ caso contrario. ^[4] El conjunto de $M$ elementos -Regular es un conjunto multiplicativo en $R$ . ^[4] ${\ Displaystyle M \, {\ stackrel {a} {\ to}} \, M}$

Al especializar las definiciones de " $M$ -regular" y "divisor cero en $M$ " al caso $M = R, se$ recuperan las definiciones de "regular" y "divisor cero" dadas anteriormente en este artículo.