Campo vectorial proyectivo

Un campo vectorial proyectivo ( proyectivo ) es un campo vectorial suave en una variedad semi- riemanniana (p. Ej., Espacio -tiempo ) cuyo flujo preserva la estructura geodésica sin preservar necesariamente el parámetro afín de ninguna geodésica. De manera más intuitiva, el flujo de los mapas proyectivos geodésicos sin problemas en geodésicas sin preservar el parámetro afín. ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle M}$

Al tratar con un campo vectorial en una variedad semiriemanniana (p. Ej. En relatividad general ), a menudo es útil descomponer la derivada covariante en sus partes simétricas y asimétricas: ${\ Displaystyle X}$

Tenga en cuenta que son los componentes covariantes de . ${\ Displaystyle X_ {a}}$ ${\ Displaystyle X}$

Matemáticamente, la condición para que un campo vectorial sea proyectivo es equivalente a la existencia de una forma única que satisfaga ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ psi}$

El conjunto de todos los campos de vectores proyectivas globales más de un formas conectados o compactos colector una dimensión finita álgebra de Lie denota por (el álgebra proyectiva ) y satisface para colectores conectados la condición: . Aquí un campo vectorial proyectiva se determina de forma única mediante la especificación de los valores de , y (lo que es equivalente, especificando , , y ) en cualquier punto de . (Para los colectores no conectados, debe especificar estos 3 en un punto por componente conectado). Las proyectivas también satisfacen las propiedades: ${\ Displaystyle P (M)}$ ${\ Displaystyle \ dim P (M) \ leq n (n + 2)}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ nabla X}$ ${\ Displaystyle \ nabla \ nabla X}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle h}$ ${\ Displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ psi}$ ${\ Displaystyle M}$

Pueden ocurrir varios casos especiales importantes de campos vectoriales proyectivos y forman subálgebras de Lie . Estas subálgebras son útiles, por ejemplo, para clasificar los espaciotiempos en la relatividad general. ${\ Displaystyle P (M)}$