De una forma

Funcionales lineales (formas 1) α , β y su suma σ y vectores u , v , w , en el espacio euclidiano 3d . El número de hiperplanos (de 1 forma) intersecados por un vector es igual al producto interno . ^[1]

En álgebra lineal , una forma en un espacio vectorial es lo mismo que una funcional lineal en el espacio. El uso de una forma en este contexto generalmente distingue las formas únicas de las funciones multilineales de grado superior en el espacio. Para obtener más información, consulte funcional lineal .

En geometría diferencial , una forma única en una variedad diferenciable es una sección suave del haz cotangente . De manera equivalente, una forma única en una variedad M es un mapeo suave del espacio total del haz tangente de M a cuya restricción a cada fibra es un funcional lineal en el espacio tangente. Simbólicamente,${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbb {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbb {R} },}$

donde α _x es lineal.

A menudo, las formas únicas se describen localmente , particularmente en coordenadas locales . En un sistema de coordenadas local, una forma es una combinación lineal de los diferenciales de las coordenadas:

${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},}$

donde las f _i son funciones suaves. Desde esta perspectiva, una forma tiene una ley de transformación covariante al pasar de un sistema de coordenadas a otro. Por lo tanto, una forma es un campo tensorial covariante de orden 1 .

Ejemplos

Aplicaciones

Muchos conceptos del mundo real se pueden describir como formas únicas:

• Indexación en un vector: El segundo elemento de un tres-vector viene dado por la forma única [0, 1, 0]. Es decir, el segundo elemento de [ x ,  y ,  z ] es

[0, 1, 0] · [ x ,  y ,  z ] =  y .

• Media : El elemento medio de un vector n viene dado por la forma única [1 / n , 1 / n , ..., 1 / n ]. Es decir,

${\displaystyle \operatorname {mean} (v)=[1/n,1/n,\dots ,1/n]\cdot v.}$

• Muestreo : el muestreo con un núcleo se puede considerar un formato, donde el formato único es el núcleo desplazado a la ubicación adecuada.
• El valor actual neto de un flujo de efectivo neto , R ( t ), viene dado por la forma única w ( t ): = (1 +  i ) ^{- t} donde i es la tasa de descuento . Es decir,

${\displaystyle \mathrm {NPV} (R(t))=\langle w,R\rangle =\int _{t=0}^{\infty }{\frac {R(t)}{(1+i)^{t}}}\,dt.}$

Diferencial

La forma diferencial no trivial más básica es la forma de "cambio de ángulo". Esto se define como la derivada de la "función" de ángulo (que solo se define hasta una constante aditiva), que se puede definir explícitamente en términos de la función atan2 Tomando la derivada se obtiene la siguiente fórmula para la derivada total :${\displaystyle d\theta .}$${\displaystyle \theta (x,y)}$${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)=\operatorname {arctan} (y/x).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}}$

Si bien la "función" del ángulo no se puede definir continuamente - la función atan2 es discontinua a lo largo del eje y negativo - lo que refleja el hecho de que el ángulo no se puede definir continuamente, esta derivada se define continuamente excepto en el origen, reflejando el hecho de que infinitesimal y de hecho locales) los cambios de ángulo se pueden definir en todas partes excepto en el origen. La integración de esta derivada a lo largo de una ruta da el cambio total en el ángulo sobre la ruta, y la integración sobre un circuito cerrado da el número de bobinado multiplicado por 2 π .

En el lenguaje de la geometría diferencial , esta derivada es una forma, y ​​es cerrada (su derivada es cero) pero no exacta (no es la derivada de una forma 0, es decir, una función), y de hecho es genera la primera cohomología de De Rham del plano perforado . Este es el ejemplo más básico de tal forma, y ​​es fundamental en geometría diferencial.

Diferencial de una función

Artículo principal: diferencial de una función

Dejado ser abierto (por ejemplo, un intervalo ), y considerar una función diferenciable , con derivado de f' . La diferencial gl de f , en un punto , se define como un cierto mapa lineal de la variable dx . Específicamente, . (El significado del símbolo dx se revela así: es simplemente un argumento, o variable independiente, de la función lineal .) Por lo tanto, el mapa envía cada punto x a un funcional lineal . Este es el ejemplo más simple de una forma diferencial (uno).${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$${\displaystyle df(x_{0},\cdot ):dx\mapsto f'(x_{0})dx}$${\displaystyle df(x_{0},\cdot )}$${\displaystyle x\mapsto df(x)}$${\displaystyle df(x,\cdot )}$

En términos de la de Rham cocadena complejo , uno tiene una asignación de cero formas (funciones escalares) a uno-formas, es decir, .${\displaystyle f\mapsto df}$

Ver también

• Producto Interno
• Celosía recíproca
• Tensor

Referencias

1. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. pág. 57. ISBN 0-7167-0344-0.