En la teoría matemática de los teselados , un prototipo es una de las formas de un mosaico en un teselado. [1]
Definición
Una teselación del plano o de cualquier otro espacio es una cubierta del espacio por formas cerradas , llamadas baldosas, que tienen interiores disjuntos . Algunas de las fichas pueden ser congruentes con una o más de otras. Si S es el conjunto de azulejos en un mosaico, un conjunto R de formas se llama un conjunto de prototeselados si no hay dos formas en R son congruentes entre sí, y cada azulejo en S es congruente con una de las formas en R . [2]
Es posible elegir muchos conjuntos diferentes de prototipos para un mosaico: trasladar o rotar cualquiera de los prototipos produce otro conjunto válido de prototipos. Sin embargo, cada conjunto de prototipos tiene la misma cardinalidad , por lo que el número de prototipos está bien definido. Se dice que una teselación es monoédrica si tiene exactamente un prototipo.
Aperiodicidad
¿Existe un prototipo aperiódico bidimensional?
Se dice que un conjunto de prototipos es aperiódico si cada mosaico con esos prototipos es un mosaico aperiódico . Se desconoce si existe una única forma bidimensional (llamada einstein ) [3] que forma el prototipo de un mosaico aperiódico, pero no de un mosaico periódico. Es decir, la existencia de un conjunto de prototipos aperiódicos de una sola baldosa (monoédrico) es un problema abierto. La baldosa Socolar-Taylor forma teselados aperiódicos bidimensionales, pero se define por condiciones de coincidencia combinatoria en lugar de simplemente por su forma. En dimensiones superiores, el problema está resuelto: la loseta Schmitt-Conway-Danzer es el prototipo de un mosaico aperiódico monoédrico del espacio euclidiano tridimensional , y no puede enlosar el espacio periódicamente.
Referencias
- ^ Cederberg, Judith N. (2001), Un curso de geometrías modernas , Textos de pregrado en matemáticas (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 174, ISBN 978-0-387-98972-3.
- ^ Kaplan, Craig S. (2009), Introducción a la teoría del mosaico para gráficos por computadora , Conferencias de síntesis sobre gráficos y animación por computadora, Morgan & Claypool Publishers, p. 7, ISBN 978-1-60845-017-6.
- ^ Socolar, Joshua ES; Taylor, Joan M. (2012), "Forzar la no periodicidad con un solo mosaico", The Mathematical Intelligencer , 34 (1): 18-28, arXiv : 1009.1419 , doi : 10.1007 / s00283-011-9255-y , MR 2902144.