En matemáticas , específicamente en topología , un mapa pseudo-Anosov es un tipo de difeomorfismo o homeomorfismo de una superficie . Es una generalización de un difeomorfismo lineal de Anosov del toro . Su definición se basa en la noción de foliación medida introducida por William Thurston , quien también acuñó el término "difeomorfismo pseudo-Anosov" cuando probó su clasificación de difeomorfismos de una superficie .
Una foliación medida F en una superficie cerrada S es una estructura geométrica en S que consta de una foliación singular y una medida en la dirección transversal. En alguna vecindad de un punto regular de F , hay una "caja de flujo" φ : U → R 2 que envía las hojas de F a las líneas horizontales en R 2 . Si dos de estos vecindarios U i y U j se superponen, entonces hay una función de transición φ ij definida en φ j( U j ), con la propiedad estándar
para alguna constante c . Esto asegura que a lo largo de una curva simple, la variación en y coordenada, medido a nivel local en cada tabla, es una cantidad geométrico (es decir, independiente de la tabla) y permite la definición de una variación total a lo largo de una curva cerrada simple en S . Un número finito de singularidades de F del tipo de " p silla de montar -pronged", p ≥3, están permitidas. En un punto tan singular, la estructura diferenciable de la superficie se modifica para convertir el punto en un punto cónico con el ángulo total πp . La noción de difeomorfismo de Sse redefine con respecto a esta estructura diferenciable modificada. Con algunas modificaciones técnicas, estas definiciones se extienden al caso de una superficie con límite.
de una superficie cerrada S se llama pseudo-Anosov si existe un par transversal de foliaciones medidas en S , F s (estable) y F u (inestable), y un número real λ > 1 tal que las foliaciones son preservadas por f y sus medidas transversales se multiplican por 1 / λ y λ . El número λ se llama factor de estiramiento o dilatación de f .
Thurston construyó una compactificación del espacio de Teichmüller T ( S ) de una superficie S tal que la acción inducida sobre T ( S ) por cualquier difeomorfismo f de S se extiende a un homeomorfismo de la compactificación de Thurston. La dinámica de este homeomorfismo es la más simple cuando f es un mapa pseudo-Anosov: en este caso, hay dos puntos fijos en el límite de Thurston, uno atrayente y otro repelente, y el homeomorfismo se comporta de manera similar a un automorfismo hiperbólico de la mitad de Poincaré. -plano . Un difeomorfismo "genérico" de una superficie de género al menos dos es isotópico a un difeomorfismo pseudo-Anosov.
Usando la teoría de las vías del tren , la noción de un mapa pseudo-Anosov se ha extendido a automapas de gráficos (en el lado topológico) y automorfismos externos de grupos libres (en el lado algebraico). Esto conduce a un análogo de la clasificación de Thurston para el caso de automorfismos de grupos libres, desarrollado por Bestvina y Handel.