En álgebra lineal y estadística , el pseudodeterminante [1] es el producto de todos los valores propios distintos de cero de una matriz cuadrada . Coincide con el determinante regular cuando la matriz no es singular .
El pseudodeterminante de un cuadrado n- por- n matriz A puede definirse como:
donde | A | denota el usual determinante , I denota la matriz de identidad y el rango ( A ) denota el rango de A . [2]
La matriz de Vahlen de una transformación conforme, la transformación de Möbius (es decir, para ), se define como . Por el pseudodeterminante de la matriz de Vahlen para la transformación conforme, queremos decir
Si , la transformación preserva los sentidos (rotación) mientras que si , la transformación preserva los sentidos (reflexión).
Si es positivo semi-definido , entonces los valores singulares y autovalores de coinciden. En este caso, si la descomposición de valores singulares (SVD) está disponible, entonces se puede calcular como el producto de los valores singulares distintos de cero. Si todos los valores singulares son cero, entonces el pseudodeterminante es 1.
Suponiendo , de modo que k es el número de valores singulares distintos de cero, podemos escribir dónde está alguna matriz n- por- k y la daga es la transpuesta conjugada . Los valores singulares de son los cuadrados de los valores singulares de y así tenemos , donde es el determinante habitual en k dimensiones. Además, si se escribe como la columna del bloque , entonces se mantiene, para cualquier altura de los bloques y eso .
Si un procedimiento estadístico normalmente compara distribuciones en términos de los determinantes de las matrices de varianza-covarianza, entonces, en el caso de matrices singulares, esta comparación se puede realizar utilizando una combinación de los rangos de las matrices y sus pseudodeterminantes, con la matriz de rango superior se cuenta como "más grande" y los pseudodeterminantes sólo se utilizan si los rangos son iguales. [3] Así, los pseudodeterminantes se presentan en ocasiones en los resultados de los programas estadísticos en los casos en que las matrices de covarianza son singulares. [4]