Variedad pseudo-riemanniana
En geometría diferencial , una variedad pseudo-riemanniana , [1] [2] también llamada variedad semi-riemanniana , es una variedad diferenciable con un tensor métrico que es no degenerado en todas partes . Esta es una generalización de una variedad de Riemann en la que se relaja el requisito de definición positiva .
Un caso especial utilizado en la relatividad general es una variedad lorentziana de cuatro dimensiones para modelar el espacio-tiempo , donde los vectores tangentes se pueden clasificar como temporales, nulos y espaciales .
En geometría diferencial , una variedad diferenciable es un espacio que es localmente similar a un espacio euclidiano . En un espacio euclidiano de n dimensiones, cualquier punto puede especificarse mediante n números reales. Estas se llaman las coordenadas del punto.
Una variedad diferenciable de n dimensiones es una generalización del espacio euclidiano de n dimensiones. En una variedad puede que solo sea posible definir coordenadas localmente . Esto se logra definiendo parches de coordenadas : subconjuntos de la variedad que se pueden mapear en un espacio euclidiano de n dimensiones.
Asociado con cada punto en una variedad diferenciable -dimensional hay un espacio tangente (denotado ). Este es un espacio vectorial bidimensional cuyos elementos pueden considerarse como clases de equivalencia de curvas que pasan por el punto .
Un tensor métrico es un mapa bilineal , simétrico, uniforme y no degenerado que asigna un número real a pares de vectores tangentes en cada espacio tangente de la variedad. Denotando el tensor métrico por podemos expresar esto como
