Curva pseudoholomorfa

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En matemáticas , específicamente en topología y geometría , una curva pseudoholomorfa (o curva J -holomorfa ) es un mapa uniforme de una superficie de Riemann a una variedad casi compleja que satisface la ecuación de Cauchy-Riemann . Introducidas en 1985 por Mikhail Gromov , las curvas pseudoholomorfas han revolucionado desde entonces el estudio de variedades simplécticas . En particular, conducen a los invariantes de Gromov-Witten y a la homología de Floer , y desempeñan un papel destacado en la teoría de cuerdas .

Sea una variedad casi compleja con una estructura casi compleja . Sea una superficie lisa de Riemann (también llamada curva compleja ) con estructura compleja . Una curva pseudoholomórfica de es un mapa que satisface la ecuación de Cauchy-Riemann${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle J}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle j}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle f: C \ a X}$

Dado que , esta condición es equivalente a${\ Displaystyle J ^ {2} = - 1}$

lo que simplemente significa que el diferencial es complejo-lineal, es decir, mapea cada espacio tangente${\ displaystyle df}$${\ Displaystyle J}$

a sí mismo. Por razones técnicas, a menudo es preferible introducir algún tipo de término no homogéneo y estudiar mapas que satisfagan la ecuación perturbada de Cauchy-Riemann.${\ Displaystyle \ nu}$

Una curva pseudoholomórfica que satisface esta ecuación se puede llamar, más específicamente, una curva -holomórfica . A veces se supone que la perturbación es generada por un hamiltoniano (particularmente en la teoría de Floer), pero en general no es necesario.${\ Displaystyle (j, J, \ nu)}$${\ Displaystyle \ nu}$

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