En matemáticas , la homología de Floer es una herramienta para estudiar geometría simpléctica y topología de baja dimensión . La homología de Floer es un invariante novedoso que surge como un análogo de dimensión infinita de la homología de Morse de dimensión finita . Andreas Floer introdujo la primera versión de la homología de Floer, ahora llamada homología de Lagrangian Floer, en su prueba de la conjetura de Arnold en geometría simpléctica. Floer también desarrolló una teoría estrechamente relacionada para las subvariedades lagrangianas de una variedad simpléctica. Una tercera construcción, también debida a Floer, asocia grupos de homología a variedades tridimensionales cerradas utilizando la función Yang-Mills . Estas construcciones y sus descendientes juegan un papel fundamental en las investigaciones actuales sobre la topología de las variedades simplécticas y de contacto, así como las variedades (suaves) tridimensionales y tetradimensionales.
La homología de Floer se define típicamente asociando al objeto de interés una variedad de dimensión infinita y una función de valor real en él. En la versión simpléctica, este es el espacio de bucle libre de una variedad simpléctica con la acción simpléctica funcional. Para la versión ( instanton ) para tres variedades, es el espacio de SU (2) - conexiones en una variedad tridimensional con el funcional de Chern-Simons . Hablando libremente, la homología de Floer es la homología Morse de la función en la variedad de dimensión infinita. Un complejo de cadena de Floer se forma a partir del grupo abeliano atravesado por los puntos críticos de la función (o posiblemente ciertas colecciones de puntos críticos). El diferencial del complejo de la cadena se define contando las líneas de flujo de gradiente de la función que conectan ciertos pares de puntos críticos (o colecciones de los mismos). La homología de Floer es la homología de este complejo de cadena.
La ecuación de la línea de flujo de gradiente, en una situación en la que las ideas de Floer se pueden aplicar con éxito, es típicamente una ecuación geométricamente significativa y analíticamente manejable. Para la homología simpléctica de Floer, la ecuación de flujo de gradiente para un camino en el espacio de bucles es (una versión perturbada de) la ecuación de Cauchy-Riemann para un mapa de un cilindro (el espacio total del camino de bucles) a la variedad simpléctica de interés; las soluciones se conocen como curvas pseudoholomorfas . El teorema de compacidad de Gromov se usa luego para mostrar que el diferencial está bien definido y cuadra a cero, de modo que se define la homología de Floer. Para la homología instantánea en Floer, las ecuaciones de flujo de gradiente son exactamente la ecuación de Yang-Mills en la triple variedad cruzada con la línea real.
Homología simpléctica de Floer
La homología simpléctica de Floer (SFH) es una teoría de homología asociada a una variedad simpléctica y un simplectomorfismo no degenerado de la misma. Si el simplectomorfismo es hamiltoniano , la homología surge del estudio de la acción simpléctica funcional en la ( cubierta universal del) espacio de bucle libre de una variedad simpléctica. SFH es invariante bajo la isotopía hamiltoniana del simplectomorfismo.
Aquí, no degeneración significa que 1 no es un valor propio de la derivada del simplectomorfismo en ninguno de sus puntos fijos. Esta condición implica que los puntos fijos están aislados. SFH es la homología del complejo de cadena generado por los puntos fijos de tal simplectomorfismo, donde el diferencial cuenta ciertas curvas pseudoholomorfas en el producto de la línea real y el toro de mapeo del simplectomorfismo. Esto en sí mismo es una variedad simpléctica de dimensión dos mayor que la variedad original. Para una elección adecuada de estructura casi compleja , las curvas holomorfas perforadas (de energía finita) tienen extremos cilíndricos asintóticos a los bucles en el toro de mapeo correspondientes a puntos fijos del simplectomorfismo. Se puede definir un índice relativo entre pares de puntos fijos, y el diferencial cuenta el número de cilindros holomórficos con índice relativo 1.
La homología simpléctica de Floer de un simpléctomorfismo hamiltoniano de una variedad compacta es isomorfa a la homología singular de la variedad subyacente. Por lo tanto, la suma de los números de Betti de esa variedad produce el límite inferior predicho por una versión de la conjetura de Arnold para el número de puntos fijos para un simplectomorfismo no degenerado. El SFH de un simplectomorfismo hamiltoniano también tiene un producto de par de pantalones que es un producto de copa deformada equivalente a la cohomología cuántica . También existe una versión del producto para simplectomorfismos no exactos.
Para el paquete cotangente de una variedad M, la homología de Floer depende de la elección del hamiltoniano debido a su falta de compacidad. Para los hamiltonianos que son cuadráticos en el infinito, la homología de Floer es la homología singular del espacio de bucle libre de M (las pruebas de varias versiones de esta declaración se deben a Viterbo, Salamon-Weber, Abbondandolo-Schwarz y Cohen). Hay operaciones más complicadas en la homología de Floer de un paquete cotangente que corresponden a las operaciones de topología de cuerdas en la homología del espacio de bucle de la variedad subyacente.
La versión simpléctica de la homología de Floer figura de manera crucial en la formulación de la conjetura de simetría especular homológica .
Isomorfismo PSS
En 1996, S. Piunikhin, D. Salamon y M. Schwarz resumieron los resultados sobre la relación entre la homología de Floer y la cohomología cuántica y los formularon de la siguiente manera. Piunikhin, Salamon y Schwarz (1996)
- Los grupos de cohomología de Floer del espacio de bucle de una variedad simpléctica semi-positiva ( M , ω) son naturalmente isomorfos a la cohomología ordinaria de M , tenso por un anillo de Novikov adecuado asociado al grupo de transformaciones de cobertura .
- Este isomorfismo entrelaza la estructura del producto de copa cuántica en la cohomología de M con el producto de par de pantalones en la homología de Floer.
La condición anterior de semi-positivo y la compacidad de la variedad simpléctica M son necesarias para que obtengamos el anillo de Novikov y para la definición de homología de Floer y cohomología cuántica. La condición semi-positiva significa que se cumple una de las siguientes condiciones (tenga en cuenta que los tres casos no están separados):
- para cada A en π 2 ( M ) donde λ≥0 ( M es monótono ).
- para cada A en π 2 ( M ).
- El número de Chern mínimo N ≥ 0 definido pores mayor o igual que n - 2.
El grupo de cohomología cuántica de la variedad simpléctica M se puede definir como los productos tensoriales de la cohomología ordinaria con el anillo de Novikov Λ, es decir
Esta construcción de la homología de Floer explica la independencia en la elección de la estructura casi compleja en M y el isomorfismo a la homología de Floer proporcionada a partir de las ideas de la teoría Morse y las curvas pseudoholomórficas , donde debemos reconocer la dualidad de Poincaré entre homología y cohomología como trasfondo.
Homología de Floer de tres variedades
Hay varias homologías de Floer equivalentes asociadas a tres variedades cerradas . Cada uno produce tres tipos de grupos de homología, que encajan en un triángulo exacto . Un nudo en una variedad de tres induce una filtración en el complejo de cadena de cada teoría, cuyo tipo de homotopía de cadena es un nudo invariante. (Sus homologías satisfacen propiedades formales similares a la homología de Khovanov definida combinatoriamente ).
Estas homologías están estrechamente relacionadas con los invariantes de Donaldson y Seiberg de 4 variedades, así como con el invariante de Gromov de Taubes de 4 variedades simplécticas; los diferenciales de los correspondientes homologías de tres colector para estas teorías son estudiados por considerar las soluciones a las ecuaciones diferenciales relevantes ( Yang-Mills , Seiberg-Witten , y Cauchy-Riemann , respectivamente) sobre el 3-colector transversal R . Las homologías de Floer de 3 variedades también deberían ser el objetivo de las invariantes relativas para las variedades de cuatro con límite, relacionadas pegando las construcciones a las invariantes de una variedad de 4 cerrada obtenida pegando las variedades de 3 juntas a lo largo de sus límites. (Esto está estrechamente relacionado con la noción de una teoría de campo cuántica topológica ). Para la homología de Heegaard Floer, la homología de 3 variedades se definió primero, y una invariante para 4 variedades cerradas se definió más tarde en términos de ella.
También hay extensiones de las homologías de 3 variedades a 3 variedades con límite: homología de Floer suturada ( Juhász 2008 ) y homología de Floer con borde ( Lipshitz, Ozsváth & Thurston 2008 ). Estos están relacionados con las invariantes para 3 variedades cerradas mediante el encolado de fórmulas para la homología de Floer de una variedad 3 descrita como la unión a lo largo del límite de dos variedades 3 con límite.
Las homologías Floer de tres colectores también vienen equipadas con un elemento distinguido de la homología si el tres colector está equipado con una estructura de contacto . Kronheimer y Mrowka introdujeron por primera vez el elemento de contacto en el caso Seiberg-Witten. Ozsvath y Szabo lo construyeron para la homología de Heegaard Floer usando la relación de Giroux entre los colectores de contacto y las descomposiciones de libro abierto, y viene gratis, como la clase de homología del conjunto vacío, en la homología de contacto incrustada. (Que, a diferencia de los otros tres, requiere una homología de contacto para su definición. Para la homología de contacto incrustada, consulte Hutchings (2009) .
Todas estas teorías vienen equipadas con grados relativos a priori; Kronheimer y Mrowka (para SWF), Gripp y Huang (para HF) y Hutchings (para ECH) las han elevado a graduaciones absolutas (mediante clases de homotopía de campos orientados de 2 planos). Cristofaro-Gardiner ha demostrado que el isomorfismo de Taubes entre ECH y la cohomología de Seiberg-Witten Floer conserva estas graduaciones absolutas.
Homología de Instanton Floer
Este es un invariante de tres variedades conectado a la teoría de Donaldson introducida por el propio Floer. Se obtiene usando el funcional de Chern-Simons en el espacio de conexiones en un paquete principal SU (2) sobre el triple múltiple. Sus puntos críticos son conexiones planas y sus líneas de flujo son instantonas , es decir, conexiones anti-auto-duales en el triple cruzado con la línea real. La homología de Instanton Floer puede verse como una generalización del invariante de Casson porque la característica de Euler de la homología de Floer concuerda con el invariante de Casson.
Poco después de la introducción de Floer de la homología de Floer, Donaldson se dio cuenta de que los cobordismos inducen mapas. Esta fue la primera instancia de la estructura que llegó a conocerse como Teoría de campos cuánticos topológicos.
Homología de Seiberg-Witten Floer
La homología de Seiberg-Witten Floer o la homología de Floer monopolo es una teoría de homología de 3 variedades suaves (equipadas con una estructura de espín c ). Puede verse como la homología de Morse del funcional de Chern-Simons-Dirac en las conexiones U (1) en la variedad de tres. La ecuación de flujo de gradiente asociada corresponde a las ecuaciones de Seiberg-Witten en el 3-múltiple cruzado con la línea real. De manera equivalente, los generadores del complejo de la cadena son soluciones invariantes en la traducción de las ecuaciones de Seiberg-Witten (conocidas como monopolos) en el producto de una variedad 3 y la línea real, y las soluciones de recuentos diferenciales de las ecuaciones de Seiberg-Witten en el producto de una triple variedad y la línea real, que son asintóticas a soluciones invariantes en el infinito y en el infinito negativo.
Una versión de la homología de Seiberg-Witten-Floer se construyó rigurosamente en la monografía Monopolos y Tres variedades de Peter Kronheimer y Tomasz Mrowka , donde se la conoce como homología de Floer monopolar. Taubes ha demostrado que es isomorfo a la homología de contacto incrustada. Manolescu (2003) y Frøyshov (2010) han proporcionado construcciones alternativas de SWF para homología racional de 3 esferas ; se sabe que están de acuerdo.
Homología Heegaard Floer
Homología Heegaard Floer // (listen )es un invariante debido aPeter OzsváthyZoltán Szabóde un 3-manifold cerrado equipado con unaestructuraspinc. Se calcula utilizando undiagramadeHeegaarddel espacio mediante una construcción análoga a la homología de Lagrangian Floer. Kutluhan, Lee y Taubes (2010) anunció una prueba de que la homología de Heegaard Floer es isomórfica a la homología de Seiberg-Witten Floer, y Colin, Ghiggini & Honda (2011) anunciaron una prueba de que la versión plus de la homología de Heegaard Floer (con orientación inversa) es isomórfica a la homología de contacto incrustada.
Un nudo en una variedad de tres induce una filtración en los grupos de homología de Heegaard Floer, y el tipo de homotopía filtrada es un invariante de nudo poderoso , llamado homología de nudo de Floer. Se categorifies el polinomio de Alexander . La homología de Knot Floer fue definida por Ozsváth & Szabó (2003)
e independientemente por Rasmussen (2003) . Se sabe que detecta el género de nudos. Utilizando diagramas de cuadrícula para las divisiones de Heegaard, Manolescu, Ozsváth & Sarkar (2009) le dieron una construcción combinatoria a la homología del nudo Floer . .La homología de Heegaard Floer de la doble cubierta de S ^ 3 ramificada sobre un nudo está relacionada por una secuencia espectral con la homología de Khovanov ( Ozsváth & Szabó 2005 )
.La versión "sombrero" de la homología de Heegaard Floer fue descrita combinatoriamente por Sarkar y Wang (2010) . Las versiones "más" y "menos" de la homología de Heegaard Floer, y los invariantes de cuatro variedades Ozsváth-Szabó relacionados, pueden describirse combinatoriamente también ( Manolescu, Ozsváth & Thurston 2009 ).
Homología de contacto incrustado
La homología de contacto incrustado , debido a Michael Hutchings , es un invariante de 3 variedades (con una segunda clase de homología distinguida, correspondiente a la elección de una estructura de espín c en la homología de Seiberg-Witten Floer) isomórfica (por trabajo de Clifford Taubes ) a Seiberg –Witten Floer cohomology y consecuentemente (por trabajo anunciado por Kutluhan, Lee & Taubes 2010
y Colin, Ghiggini & Honda 2011 ) a la versión plus de la homología Heegaard Floer (con orientación inversa). Puede verse como una extensión del invariante de Gromov de Taubes , conocido por ser equivalente al invariante de Seiberg-Witten , desde 4-variedades simplécticas cerradas hasta ciertas 4-variedades simplécticas no compactas (es decir, una cruz de contacto triple R). Su construcción es análoga a la teoría simpléctica de campos, en el sentido de que es generado por ciertas colecciones de órbitas de Reeb cerradas y su recuento diferencial de ciertas curvas holomórficas con extremos en ciertas colecciones de órbitas de Reeb. Se diferencia de la SFT en condiciones técnicas sobre las colecciones de órbitas Reeb que la generan, y en no contar todas las curvas holomórficas con índice de Fredholm 1 con extremos dados, sino solo aquellas que también satisfacen una condición topológica dada por el índice ECH , que en particular implica que las curvas consideradas están (principalmente) incrustadas.La conjetura de Weinstein de que un colector de 3 contactos tiene una órbita Reeb cerrada para cualquier forma de contacto se mantiene en cualquier colector cuya ECH no sea trivial, y Taubes lo demostró utilizando técnicas estrechamente relacionadas con la ECH; extensiones de este trabajo arrojaron el isomorfismo entre ECH y SWF. Muchas construcciones en ECH (incluida su bien definida) se basan en este isomorfismo ( Taubes 2007 ).
El elemento de contacto de ECH tiene una forma particularmente agradable: es el ciclo asociado a la colección vacía de órbitas Reeb.
Se puede definir un análogo de homología de contacto incrustado para mapear toros de simplectomorfismos de una superficie (posiblemente con límite) y se conoce como homología de Floer periódica, generalizando la homología de Floer simpléctica de los simplectomorfismos de superficie. De manera más general, puede definirse con respecto a cualquier estructura hamiltoniana estable en la variedad 3; Al igual que las estructuras de contacto, las estructuras hamiltonianas estables definen un campo vectorial que no desaparece (el campo vectorial de Reeb), y Hutchings y Taubes han demostrado ser un análogo de la conjetura de Weinstein para ellos, es decir, que siempre tienen órbitas cerradas (a menos que estén mapeando tori de 2 -toro).
Homología de Floer de intersección lagrangiana
La homología de Lagrangian Floer de dos subvariedades lagrangianas que se cruzan transversalmente de una variedad simpléctica es la homología de un complejo de cadena generado por los puntos de intersección de las dos subvariedades y cuyos recuentos diferenciales son discos de Whitney pseudoholomórficos .
Dadas tres subvariedades lagrangianas L 0 , L 1 y L 2 de una variedad simpléctica, hay una estructura de producto en la homología de Lagrangian Floer:
que se define contando triángulos holomórficos (es decir, mapas holomórficos de un triángulo cuyos vértices y aristas se asignan a los puntos de intersección apropiados y subvariedades lagrangianas).
Los trabajos sobre este tema se deben a Fukaya, Oh, Ono y Ohta; el trabajo reciente sobre " homología de racimo " de Lalonde y Cornea ofrece un enfoque diferente. La homología de Floer de un par de subvariedades lagrangianas puede no existir siempre; cuando lo hace, obstaculiza la separación de isótopos de un lagrangiano del otro mediante una isotopía hamiltoniana .
Varios tipos de homología de Floer son casos especiales de homología de Lagrangian Floer. La homología de Floer simpléctica de un simplectomorfismo de M puede considerarse como un caso de homología de Floer lagrangiana en el que la variedad ambiental es M cruzada con M y las subvariedades lagrangianas son la diagonal y la gráfica del simplectomorfismo. La construcción de la homología de Heegaard Floer se basa en una variante de la homología de Lagrangian Floer para subvariedades totalmente reales definidas usando una división de Heegaard de una variedad de tres. Seidel-Smith y Manolescu construyeron un vínculo invariante como un caso concreto de homología de Lagrangian Floer, que conjetura concuerda con la homología de Khovanov , un vínculo invariante definido combinatoriamente.
Conjetura de Atiyah-Floer
La conjetura de Atiyah-Floer conecta la homología instanton de Floer con la homología de la intersección de Floer lagrangiana. [1] Considere una Y de 3 colectores con un Heegaard que se divide a lo largo de una superficie. . Luego, el espacio de conexiones planas en La equivalencia de calibre módulo es una variedad simpléctica de dimensión 6 g - 6, donde g es el género de la superficie. En la división de Heegaard,limita dos 3 variedades diferentes; el espacio de equivalencia de calibre módulo de conexiones planas en cada colector de 3 con borde incrustado encomo una subvariedad lagrangiana. Se puede considerar la homología de Floer de intersección lagrangiana. Alternativamente, podemos considerar la homología de Instanton Floer de la variedad Y de 3 variedades. La conjetura de Atiyah-Floer afirma que estas dos invariantes son isomorfas. Salamon-Wehrheim y Daemi-Fukaya están trabajando en sus programas para probar esta conjetura. [ según quién? ]
Relaciones con la simetría especular
La conjetura de simetría especular homológica de Maxim Kontsevich predice una igualdad entre la homología de Lagrangian Floer de los lagrangianos en una variedad Calabi-Yau y los grupos Ext de haces coherentes en el espejo colector Calabi-Yau. En esta situación, uno no debería centrarse en los grupos de homología de Floer sino en los grupos de la cadena de Floer. De manera similar al producto de par de pantalones, se pueden construir composiciones múltiples utilizando n gones pseudo-holomórficos . Estas composiciones satisfacen el-relaciones que hacen la categoría de todas las subvariedades lagrangianas (sin obstrucciones) en una variedad simpléctica en una -categoría, denominada categoría Fukaya .
Para ser más precisos, se deben agregar datos adicionales al Lagrangiano: una estructura de clasificación y giro . Un lagrangiano con una elección de estas estructuras a menudo se llama brana en homenaje a la física subyacente. La conjetura de la simetría de espejo homológica establece que hay un tipo de equivalencia de Morita derivada entre la categoría Fukaya de Calabi-Yauy una categoría dg subyacente a la categoría derivada acotada de haces coherentes del espejo, y viceversa.
Teoría simpléctica de campos (SFT)
Este es un invariante de múltiples contactos y cobordismos simplécticos entre ellos, originalmente debido a Yakov Eliashberg , Alexander Givental y Helmut Hofer . La teoría simpléctica del campo, así como sus subcomplejos, la teoría racional simpléctica del campo y la homología de contacto, se definen como homologías de álgebras diferenciales, que son generadas por órbitas cerradas del campo vectorial Reeb de una forma de contacto elegida. El diferencial cuenta ciertas curvas holomórficas en el cilindro sobre el colector de contacto, donde los ejemplos triviales son las cubiertas ramificadas de cilindros (triviales) sobre órbitas Reeb cerradas. Incluye además una teoría de homología lineal, llamada homología de contacto cilíndrica o linealizada (a veces, por abuso de notación, solo homología de contacto), cuyos grupos de cadenas son espacios vectoriales generados por órbitas cerradas y cuyos diferenciales cuentan solo cilindros holomórficos. Sin embargo, la homología de contacto cilíndrico no siempre se define debido a la presencia de discos holomórficos y la falta de regularidad y transversalidad de los resultados. En situaciones donde la homología de contacto cilíndrico tiene sentido, puede verse como la homología Morse (ligeramente modificada) de la acción funcional en el espacio de bucle libre, que envía un bucle a la integral de la forma de contacto alfa sobre el bucle. Las órbitas Reeb son los puntos críticos de este funcional.
SFT también asocia un invariante relativo de una subvariedad de Legendrian de una variedad de contacto conocida como homología de contacto relativa . Sus generadores son los acordes Reeb, que son trayectorias del campo vectorial Reeb que comienzan y terminan en un Lagrangiano, y su diferencial cuenta ciertas franjas holomórficas en la simplificación de la variedad de contacto cuyos extremos son asintóticos a los acordes Reeb dados.
En SFT, los colectores de contacto se pueden reemplazar mapeando toros de colectores simplécticos con simpléctomorfismos. Mientras que la homología de contacto cilíndrica está bien definida y dada por las homologías de Floer simplécticas de potencias del simpléctomorfismo, la teoría de campo simpléctica (racional) y la homología de contacto pueden considerarse como homologías de Floer simplécticas generalizadas. En el caso importante en el que el simplectomorfismo es el mapa de tiempo uno de un hamiltoniano dependiente del tiempo, se demostró sin embargo que estos invariantes superiores no contienen más información.
Homotopía de floer
Una forma concebible de construir una teoría de homología de Floer de algún objeto sería construir un espectro relacionado cuya homología ordinaria sea la homología de Floer deseada. La aplicación de otras teorías de homología a tal espectro podría producir otras invariantes interesantes. Esta estrategia fue propuesta por Ralph Cohen, John Jones y Graeme Segal , y llevada a cabo en ciertos casos para la homología de Seiberg-Witten-Floer por Manolescu (2003) y para la homología simpléctica de Floer de haces cotangentes por Cohen. Este enfoque fue la base de la construcción de 2013 de Manolescu de la homología Pin (2) -equivariante de Seiberg-Witten Floer, con la que refutó la Conjetura de triangulación para variedades de dimensión 5 y superiores.
Fundamentos analíticos
Muchas de estas homologías de Floer no se han construido completa y rigurosamente, y no se han probado muchas equivalencias conjeturales. Surgen dificultades técnicas en el análisis involucrado, especialmente en la construcción de espacios de módulos compactados de curvas pseudoholomorfas. Hofer, en colaboración con Kris Wysocki y Eduard Zehnder, ha desarrollado nuevos fundamentos analíticos a través de su teoría de pliegues múltiples y una "teoría general de Fredholm". Si bien el proyecto de polifold aún no está completamente terminado, en algunos casos importantes se demostró la transversalidad utilizando métodos más simples.
Cálculo
Las homologías Floer son generalmente difíciles de calcular explícitamente. Por ejemplo, la homología de Floer simpléctica para todos los simplectomorfismos de superficie se completó sólo en 2007. La homología de Heegaard Floer ha sido una historia de éxito en este sentido: los investigadores han explotado su estructura algebraica para calcularla para varias clases de 3-variedades y han encontrado combinatoria algoritmos para el cálculo de gran parte de la teoría. También está conectado a las estructuras e invariantes existentes y se han obtenido muchos conocimientos sobre la topología de tres variedades.
Referencias
Notas al pie
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enlaces externos
- "Conjetura de Atiyah-Floer" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- " Homología de nudos de Heegaard Floer ", The Knot Atlas .