En matemáticas , específicamente en topología simpléctica y la geometría algebraica , Gromov-Witten ( GW ) invariantes son números racionales de que, en ciertas situaciones, el recuento de curvas pseudoholomorphic que satisfacen las condiciones prescritas en un determinado variedad simpléctica . Los invariantes GW pueden empaquetarse como una clase de homología o cohomología en un espacio apropiado, o como el producto de copa deformada de la cohomología cuántica.. Estos invariantes se han utilizado para distinguir variedades simplécticas que antes eran indistinguibles. También juegan un papel crucial en la teoría de cuerdas de tipo IIA cerrado . Llevan el nombre de Mikhail Gromov y Edward Witten .
La rigurosa definición matemática de las invariantes de Gromov-Witten es larga y difícil, por lo que se trata por separado en el artículo del mapa estable . Este artículo intenta una explicación más intuitiva de lo que significan las invariantes, cómo se calculan y por qué son importantes.
Definición
Considera lo siguiente:
- X : una variedad simpléctica cerrada de dimensión 2 k ,
- A : una clase de homología bidimensional en X ,
- g : un número entero no negativo,
- n : un número entero no negativo.
Ahora definimos los invariantes de Gromov-Witten asociados a la tupla 4: ( X , A , g , n ). Dejarser el espacio de módulos de Deligne-Mumford de curvas del género g con n puntos marcados ydenotar el espacio de módulos de mapas estables en X de clase A , para alguna estructura casi compleja elegida J en X compatible con su forma simpléctica. Los elementos de son de la forma:
- ,
donde C es una curva (no necesariamente estable) con n puntos marcados x 1 , ..., x n y f : C → X es pseudoholomórfico. El espacio de los módulos tiene dimensión real
Dejar
denotar la estabilización de la curva. Dejar
que tiene dimensión real . Hay un mapa de evaluación
El mapa de evaluación envía la clase fundamental dea una clase de homología racional d- dimensional en Y , denotada
En un sentido, esta clase de homología es la invariante Gromov-Witten de X para los datos g , n , y A . Se trata de una invariante de la clase isotopía simpléctico de la simpléctico colector X .
Para interpretar geométricamente el invariante de Gromov-Witten, sea β una clase de homología en y clases de homología en X , de modo que la suma de las codimensiones dees igual a d . Estos inducen clases de homología en Y mediante la fórmula de Künneth . Dejar
dónde denota el producto intersección en la homología racional de Y . Este es un número racional, el invariante de Gromov-Witten para las clases dadas. Este número da un recuento "virtual" del número de curvas pseudoholomórficas (en la clase A , del género g , con dominio en la parte β del espacio Deligne-Mumford) cuyos n puntos marcados se asignan a ciclos que representan el.
En pocas palabras, un recuento de GW invariantes la cantidad de curvas que hay que se cruzan n subvariedades elegidas de X . Sin embargo, debido a la naturaleza "virtual" del recuento, no es necesario que sea un número natural, como podría esperarse que sea un recuento. Porque el espacio de mapas estables es un orbifold , cuyos puntos de isotropía pueden aportar valores no enteros a la invariante.
Existen numerosas variaciones en esta construcción, en las que se usa la cohomología en lugar de la homología, la integración reemplaza la intersección, las clases de Chern retiradas del espacio Deligne-Mumford también se integran, etc.
Técnicas computacionales
Las invariantes de Gromov-Witten son generalmente difíciles de calcular. Si bien se definen para cualquier estructura genérica casi compleja J , para la cual la linealización D de laoperador es sobreyectiva , en realidad deben calcularse con respecto a una J elegida específica . Es más conveniente elegir J con propiedades especiales, como simetrías no genéricas o integrabilidad. De hecho, los cálculos se realizan a menudo en variedades de Kähler utilizando técnicas de geometría algebraica.
Sin embargo, una J especial puede inducir una D no subjetiva y, por lo tanto, un espacio de módulos de curvas pseudoholomórficas que es más grande de lo esperado. En términos generales, se corrige este efecto formando a partir del cokernel de D un haz de vectores , llamado haz de obstrucción , y luego reconociendo el invariante GW como la integral de la clase de Euler del haz de obstrucción. Hacer esta idea precisa requiere un argumento técnico significativo utilizando estructuras de Kuranishi .
La principal técnica computacional es la localización . Esto se aplica cuando X es tórico , lo que significa que actúa sobre él un toro complejo, o al menos localmente tórico. Entonces se puede usar el teorema de punto fijo de Atiyah-Bott , de Michael Atiyah y Raoul Bott , para reducir o localizar el cálculo de una GW invariante a una integración sobre el lugar geométrico de la acción de punto fijo.
Otro enfoque consiste en emplear cirugías simplécticas para relacionar X con uno o más espacios cuyos invariantes de GW se calculan más fácilmente. Por supuesto, primero hay que entender cómo se comportan los invariantes bajo las cirugías. Para tales aplicaciones, a menudo se utilizan las invariantes de GW relativas más elaboradas , que cuentan las curvas con condiciones de tangencia prescritas a lo largo de una subvariedad simpléctica de X de la codimensión dos real.
Invariantes relacionados y otras construcciones
Los invariantes GW están estrechamente relacionados con varios otros conceptos de geometría, incluidos los invariantes de Donaldson y los invariantes de Seiberg-Witten en la categoría simpléctica y la teoría de Donaldson-Thomas en la categoría algebraica. Para cuatro variedades simplécticas compactas, Clifford Taubes mostró que una variante de los invariantes GW (ver el invariante Gromov de Taubes ) son equivalentes a los invariantes de Seiberg-Witten. Para las triples algebraicas, se conjetura que contienen la misma información que las invariantes Donaldson-Thomas con valores enteros . Las consideraciones físicas también dan lugar a las invariantes de Gopakumar-Vafa , que están destinadas a dar un recuento entero subyacente a la teoría típicamente racional de Gromov-Witten. Los invariantes de Gopakumar-Vafa no tienen actualmente una definición matemática rigurosa, y este es uno de los principales problemas en el tema.
Los invariantes de Gromov-Witten de variedades proyectivas suaves se pueden definir completamente dentro de la geometría algebraica. La geometría enumerativa clásica de curvas planas y de curvas racionales en espacios homogéneos son capturadas por invariantes GW. Sin embargo, la principal ventaja que tienen los invariantes GW sobre los recuentos enumerativos clásicos es que son invariantes bajo deformaciones de la estructura compleja del objetivo. Las invariantes GW también proporcionan deformaciones de la estructura del producto en el anillo de cohomología de una variedad simpléctica o proyectiva; pueden organizarse para construir el anillo de cohomología cuántica de la variedad X , que es una deformación de la cohomología ordinaria. La asociatividad del producto deformado es esencialmente una consecuencia de la naturaleza auto-similar del espacio de módulos de mapas estables que se utilizan para definir las invariantes.
Se sabe que el anillo de cohomología cuántica es isomórfico a la homología simpléctica de Floer con su producto de par de pantalones.
Aplicación en física
Los invariantes GW son de interés en la teoría de cuerdas, una rama de la física que intenta unificar la relatividad general y la mecánica cuántica . En esta teoría, todo en el universo, comenzando con las partículas elementales , está hecho de pequeños hilos . A medida que una cuerda viaja a través del espacio-tiempo, traza una superficie, llamada hoja del mundo de la cuerda. Desafortunadamente, el espacio de módulos de tales superficies parametrizadas, al menos a priori , es de dimensión infinita; no se conoce una medida adecuada en este espacio, y por lo tanto, las integrales de trayectoria de la teoría carecen de una definición rigurosa.
La situación mejora en la variación conocida como modelo A cerrado . Aquí hay seis dimensiones espaciotemporales, que constituyen una variedad simpléctica, y resulta que las hojas del mundo están necesariamente parametrizadas por curvas pseudoholomórficas, cuyos espacios de módulos son solo de dimensión finita. Las invariantes de GW, como integrales sobre estos espacios de módulos, son entonces integrales de trayectoria de la teoría. En particular, la energía libre del modelo A en el género g es la función generadora de los invariantes del género g GW.
Ver también
- Complejo cotangente : para la teoría de la deformación
- Cálculo de Schubert
Referencias
- McDuff, Dusa y Salamon, Dietmar (2004). Curvas J-Holomórficas y Topología Simpléctica . Publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3485-1. Una descripción general con sabor analítico de los invariantes de Gromov-Witten y la cohomología cuántica para variedades simplécticas, técnicamente muy completa
- Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar y Schwarz, Matthias (1996). "Teoría simpléctica de Floer-Donaldson y cohomología cuántica". En Thomas, CB (ed.). Contacto y geometría simpléctica . Prensa de la Universidad de Cambridge . pp. 171 -200. ISBN 0-521-57086-7.
Otras lecturas
- Moduli Spaces of Genus-One Stable Maps, Virtual Classes and a Exercise of Intersection Theory - Andrea Tirelli
- Kock, Joachim; Vainsencher, Israel (2007). Una invitación a la cohomología cuántica: fórmula de Kontsevich para curvas planas racionales . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-8176-4456-7.CS1 maint: posdata ( enlace )Una bonita introducción con historia y ejercicios a la noción formal de espacio de módulos , trata extensamente el caso de los espacios proyectivos utilizando lo básico en el lenguaje de los esquemas .
- Vakil, Ravi (2006). "El espacio de módulos de curvas y teoría de Gromov-Witten" . arXiv : matemáticas / 0602347 . Cite journal requiere
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