En matemáticas , en el campo de la combinatoria , la identidad q -Vandermonde es un q -análogo de la identidad Chu-Vandermonde . Usando notación estándar para q -coeficientes binomiales , la identidad establece que
Las contribuciones distintas de cero a esta suma provienen de valores de j tales que los q -coeficientes binomiales en el lado derecho son distintos de cero, es decir, max (0, k - m ) ≤ j ≤ min ( n , k ).
Otras convenciones
Como es típico de los q -análogos, la identidad q -Vandermonde se puede reescribir de varias formas. En las convenciones comunes en aplicaciones a grupos cuánticos , se usa un coeficiente q -binomial diferente . Este q -coeficiente binomial, que denotamos aquí por, es definido por
En particular, es el desplazamiento único del coeficiente binomial q "habitual" por una potencia de q tal que el resultado es simétrico en q y. Usando este coeficiente q -binomial, la identidad q -Vandermonde se puede escribir en la forma
Prueba
Al igual que con la identidad (no q ) Chu-Vandermonde, hay varias pruebas posibles de la identidad q -Vandermonde. La siguiente demostración usa el teorema q -binomial .
Una prueba estándar de la identidad de Chu-Vandermonde es expandir el producto de dos formas diferentes. Siguiendo a Stanley, [1] también podemos modificar esta prueba para probar la identidad q -Vandermonde. Primero, observe que el producto
puede ser expandido por el teorema q -binomial como
De manera menos obvia, podemos escribir
y podemos expandir ambos subproductos por separado usando el teorema q -binomial. Esto produce
Multiplicar este último producto y combinar términos semejantes da
Finalmente, equiparar los poderes de entre las dos expresiones produce el resultado deseado.
Este argumento también puede expresarse en términos de expandir el producto de dos formas diferentes, donde A y B son operadores (por ejemplo, un par de matrices) que " q- conmutan", es decir, que satisfacen BA = qAB .
Notas
- ^ Stanley (2011) , Solución al ejercicio 1.100, p. 188.
Referencias
- Richard P. Stanley (2011). Combinatoria enumerativa, Volumen 1 (PDF) (2 ed.) . Consultado el 2 de agosto de 2011 .
- Exton, H. (1983), q-Funciones y aplicaciones hipergeométricas , Nueva York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
- Gaurav Bhatnagar (2011). "En elogio de una identidad elemental de Euler". Revista electrónica de combinatoria . 18 (2): 13. arXiv : 1102.0659 .
- Víctor JW Guo (2008). "Pruebas biyectivas de las identidades de Gould y Rothe". Matemáticas discretas . 308 (9): 1756. arXiv : 1005.4256 . doi : 10.1016 / j.disc.2007.04.020 .
- Sylvie Corteel ; Carla Savage (2003). "Teoremas de la sala de conferencias, q-series y objetos truncados". arXiv : matemáticas / 0309108 .