En matemáticas y física teórica , el término grupo cuántico denota uno de los pocos tipos diferentes de álgebras no conmutativas con estructura adicional. Estos incluyen grupos cuánticos de tipo Drinfeld-Jimbo (que son álgebras de Hopf cuasitriangulares ), grupos cuánticos de matriz compacta (que son estructuras en álgebras C * separables unitales) y grupos cuánticos bicrossproductos.
El término "grupo cuántico" apareció por primera vez en la teoría de los sistemas integrables cuánticos , que luego fue formalizado por Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo como una clase particular de álgebra de Hopf . El mismo término también se usa para otras álgebras de Hopf que se deforman o están cerca de los grupos de Lie clásicos o álgebras de Lie , como una clase de grupos cuánticos de "bicrossproducto" introducida por Shahn Majid un poco después del trabajo de Drinfeld y Jimbo.
En el enfoque de Drinfeld, grupos cuánticos surgen como Hopf álgebras dependiendo de un auxiliar parámetro q o h , que se convierten álgebras envolventes universales de una cierta álgebra de Lie, con frecuencia semisimple o afín , cuando q = 1 o h = 0. En estrecha relación son ciertos objetos duales , también álgebras de Hopf y también llamados grupos cuánticos, deformando el álgebra de funciones en el grupo algebraico semisimple correspondiente o en un grupo de Lie compacto .
Significado intuitivo
El descubrimiento de los grupos cuánticos fue bastante inesperado ya que se sabía desde hace mucho tiempo que los grupos compactos y las álgebras de Lie semisimple son objetos "rígidos", es decir, no se pueden "deformar". Una de las ideas detrás de los grupos cuánticos es que si consideramos una estructura que es en cierto sentido equivalente pero más grande, es decir, un álgebra de grupo o un álgebra envolvente universal , entonces un grupo o álgebra envolvente puede ser "deformado", aunque la deformación no lo hará. más tiempo sigue siendo un grupo o álgebra envolvente. Más precisamente, la deformación se puede lograr dentro de la categoría de álgebras de Hopf que no requieren ser conmutativas o coconmutativas . Uno puede pensar en el objeto deformado como un álgebra de funciones en un "espacio no conmutativo", en el espíritu de la geometría no conmutativa de Alain Connes . Esta intuición, sin embargo, vino después de que clases particulares de grupos cuánticos ya hubieran demostrado su utilidad en el estudio de la ecuación cuántica de Yang-Baxter y el método de dispersión inversa cuántica desarrollado por la Escuela de Leningrado ( Ludwig Faddeev , Leon Takhtajan , Evgeny Sklyanin , Nicolai Reshetikhin y Vladimir Korepin ) y trabajos relacionados de la Escuela Japonesa. [1] La intuición detrás de la segunda clase de grupos cuánticos , bicrossproducto , fue diferente y provino de la búsqueda de objetos auto-duales como una aproximación a la gravedad cuántica . [2]
Grupos cuánticos de tipo Drinfeld-Jimbo
Un tipo de objetos comúnmente llamado "grupo cuántico" apareció en el trabajo de Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo como una deformación del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie semisimple o, más generalmente, un álgebra de Kac-Moody , en la categoría de Hopf. álgebras . El álgebra resultante tiene una estructura adicional, lo que la convierte en un álgebra de Hopf cuasitriangular .
Sea A = ( a ij ) la matriz de Cartan del álgebra de Kac-Moody, y sea q ≠ 0, 1 un número complejo, entonces el grupo cuántico, U q ( G ), donde G es el álgebra de Lie cuya matriz de Cartan es A , se define como el álgebra asociativa unital con generadores k λ (donde λ es un elemento de la red de pesos , es decir, 2 (λ, α i ) / (α i , α i ) es un número entero para todo i ), y e i y f i (para raíces simples , α i ), sujeto a las siguientes relaciones:
Y para i ≠ j tenemos las relaciones q- Serre, que son deformaciones de las relaciones de Serre :
donde el q-factorial , el q-análogo del factorial ordinario , se define recursivamente usando el número q:
En el límite cuando q → 1, estas relaciones se acercan a las relaciones para el álgebra envolvente universal U ( G ), donde
y t λ es el elemento de la subálgebra de Cartan que satisface ( t λ , h ) = λ ( h ) para todo h en la subálgebra de Cartan.
Hay varios coproductos coasociativos bajo los cuales estas álgebras son álgebras de Hopf, por ejemplo,
donde el conjunto de generadores se ha ampliado, si es necesario, para incluir k λ para λ que se puede expresar como la suma de un elemento de la red de peso y la mitad de un elemento de la red de raíz .
Además, cualquier álgebra de Hopf conduce a otra con coproducto inverso T o Δ, donde T viene dado por T ( x ⊗ y ) = y ⊗ x , lo que da tres versiones posibles más.
El recuento de U q ( A ) es el mismo para todos estos coproductos: ε ( k λ ) = 1, ε ( e i ) = ε ( f i ) = 0, y las respectivas antípodas para los coproductos anteriores están dadas por
Alternativamente, el grupo cuántico U q ( G ) puede ser considerado como un álgebra sobre el campo C ( q ), el campo de todas las funciones racionales de una indeterminada q sobre C .
De manera similar, el grupo cuántico U q ( G ) se puede considerar como un álgebra sobre el campo Q ( q ), el campo de todas las funciones racionales de un q indeterminado sobre Q (ver más abajo en la sección sobre grupos cuánticos en q = 0) . El centro del grupo cuántico se puede describir mediante un determinante cuántico.
Teoría de la representación
Así como existen muchos tipos diferentes de representaciones para las álgebras de Kac-Moody y sus álgebras envolventes universales, también existen muchos tipos diferentes de representación para los grupos cuánticos.
Como es el caso de todas las álgebras de Hopf, U q ( G ) tiene una representación adjunta sobre sí mismo como un módulo, con la acción dada por
dónde
Caso 1: q no es una raíz de unidad
Un tipo importante de representación es una representación de peso, y el módulo correspondiente se denomina módulo de peso. Un módulo de peso es un módulo con una base de vectores de peso. Un vector de peso es un vector v distinto de cero tal que k λ · v = d λ v para todo λ , donde d λ son números complejos para todos los pesos λ tales que
- para todos los pesos λ y μ .
Un módulo de ponderación se llama integrable si las acciones de e i y f i son localmente nilpotentes (es decir, para cualquier vector v en el módulo, existe un entero positivo k , posiblemente dependiente de v , tal quepara todo i ). En el caso de módulos integrables, los números complejos d λ asociados con un vector de peso satisfacen, [ cita requerida ] donde ν es un elemento de la red de peso, y c λ son números complejos tales que
- para todos los pesos λ y μ ,
- por todo i .
De especial interés son las representaciones de mayor peso y los correspondientes módulos de mayor peso. Un módulo de peso más alto es un módulo generado por un vector de peso v , sujeto a k λ · v = d λ v para todos los pesos μ , ye i · v = 0 para todo i . De manera similar, un grupo cuántico puede tener una representación de peso más bajo y un módulo de peso más bajo, es decir , un módulo generado por un vector de peso v , sujeto a k λ · v = d λ v para todos los pesos λ y f i · v = 0 para todos yo .
Defina un vector v para que tenga peso ν sipara todo λ en la red de pesos.
Si G es un álgebra de Kac-Moody, entonces en cualquier representación irreducible de mayor peso de U q ( G ), con mayor peso ν, las multiplicidades de los pesos son iguales a sus multiplicidades en una representación irreducible de U ( G ) con igual mayor peso. Si el peso más alto es dominante e integral (un peso μ es dominante e integral si μ satisface la condición de quees un número entero no negativo para todo i ), entonces el espectro de peso de la representación irreducible es invariante bajo el grupo de Weyl para G , y la representación es integrable.
Por el contrario, si un módulo de mayor peso es integrable, entonces su vector de mayor peso v satisface, donde c λ · v = d λ v son números complejos tales que
- para todos los pesos λ y μ ,
- por todo yo ,
y ν es dominante e integral.
Como es el caso de todas las álgebras de Hopf, el producto tensorial de dos módulos es otro módulo. Para un elemento x de U q (G) , y para los vectores v y w en los módulos respectivos, x ⋅ ( v ⊗ w ) = Δ ( x ) ⋅ ( v ⊗ w ), de modo que, y en el caso del coproducto Δ 1 , y
El módulo integrable de mayor peso descrito anteriormente es un producto tensorial de un módulo unidimensional (en el que k λ = c λ para todo λ , y e i = f i = 0 para todo i ) y un módulo de mayor peso generado por un valor distinto de cero vector v 0 , sujeto apara todos los pesos λ , ypor todo i .
En el caso específico donde G es un álgebra de Lie de dimensión finita (como un caso especial de un álgebra de Kac-Moody), entonces las representaciones irreducibles con pesos integrales más altos dominantes también son de dimensión finita.
En el caso de un producto tensorial de módulos de mayor peso, su descomposición en submódulos es la misma que para el producto tensorial de los módulos correspondientes del álgebra de Kac-Moody (los pesos más altos son los mismos, al igual que sus multiplicidades).
Caso 2: q es una raíz de unidad
Cuasitriangularidad
Caso 1: q no es una raíz de unidad
Estrictamente, el grupo cuántico U q ( G ) no es cuasitriangular, pero se puede pensar que es "casi cuasitriangular" en el sentido de que existe una suma formal infinita que desempeña el papel de una R -matriz. Esta suma formal infinita se puede expresar en términos de los generadores e i y f i , y los generadores de Cartan t λ , donde k λ se identifica formalmente con q t λ . La suma formal infinita es el producto de dos factores, [ cita requerida ]
y una suma formal infinita, donde λ j es una base para el espacio dual de la subálgebra de Cartan, y μ j es la base dual, y η = ± 1.
La suma infinita formal que desempeña el papel de la matriz R tiene una acción bien definida sobre el producto tensorial de dos módulos de mayor peso irreductibles, y también sobre el producto tensorial de dos módulos de menor peso. Específicamente, si v tiene peso α y w tiene peso β , entonces
y el hecho de que los módulos sean ambos de mayor peso o ambos de menor peso reduce la acción del otro factor sobre v ⊗ W a una suma finita.
Específicamente, si V es un módulo de mayor peso, entonces la suma infinita formal, R , tiene una acción bien definida e invertible en V ⊗ V , y este valor de R (como un elemento de Fin ( V ⊗ V )) satisface la ecuación de Yang-Baxter y, por lo tanto, nos permite determinar una representación del grupo de trenzas y definir cuasi-invariantes para nudos , eslabones y trenzas .
Caso 2: q es una raíz de unidad
Grupos cuánticos en q = 0
Masaki Kashiwara ha investigado el comportamiento limitante de los grupos cuánticos cuando q → 0, y encontró una base particularmente bien comportada llamada base cristalina .
Descripción y clasificación por sistemas de raíces y diagramas de Dynkin
Ha habido un progreso considerable en la descripción de cocientes finitos de grupos cuánticos como el anterior U q ( g ) para q n = 1; generalmente se considera la clase de álgebras de Hopf puntiagudas , lo que significa que todas las subcoideas son unidimensionales y, por lo tanto, la suma forma un grupo llamado coradical :
- En 2002 H.-J. Schneider y N. Andruskiewitsch [3] terminaron su clasificación de álgebras de Hopf puntiagudas con un grupo co-radical abeliano (excluyendo los primos 2, 3, 5, 7), especialmente cuando los cocientes finitos anteriores de U q ( g ) se descomponen en E ′ s (parte de Borel), F ′ sy K ′ s duales (álgebra de Cartan) al igual que las álgebras de Lie semisimple ordinarias :
- Aquí, como en la teoría clásica, V es un espacio vectorial trenzado de dimensión n atravesado por E ′ s, y σ (un llamado giro cocylce) crea el enlace no trivial entre E ′ sy F ′ s. Tenga en cuenta que, a diferencia de la teoría clásica, pueden aparecer más de dos componentes vinculados. El papel del álgebra cuántica de Borel lo toma un álgebra de Nichols del espacio vectorial trenzado.
- Un ingrediente crucial fue la clasificación de I. Heckenberger de álgebras de Nichols finitas para grupos abelianos en términos de diagramas de Dynkin generalizados . [4] Cuando hay pequeños números primos, aparecen algunos ejemplos exóticos, como un triángulo (ver también la Figura de un diagrama de Dankin de rango 3).
- Mientras tanto, Schneider y Heckenberger [5] generalmente han probado la existencia de un sistema de raíces aritméticas también en el caso nobeliano, generando una base PBW como lo demostró Kharcheko en el caso abeliano (sin el supuesto de dimensión finita). Esto se puede utilizar [6] en casos específicos U q ( g ) y explica, por ejemplo, la coincidencia numérica entre ciertas subálgebras coideales de estos grupos cuánticos y el orden del grupo de Weyl del álgebra de Lie g .
Grupos cuánticos de matriz compacta
SL Woronowicz introdujo grupos cuánticos de matriz compacta. Los grupos cuánticos de matriz compacta son estructuras abstractas en las que las "funciones continuas" de la estructura vienen dadas por elementos de un álgebra C * . La geometría de un grupo cuántico de matriz compacta es un caso especial de geometría no conmutativa .
Las funciones continuas de valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff forman un álgebra C * conmutativa. Según el teorema de Gelfand , un álgebra C * conmutativa es isomórfica al álgebra C * de funciones continuas con valores complejos en un espacio topológico compacto de Hausdorff, y el espacio topológico está determinado únicamente por el álgebra C * hasta el homeomorfismo .
Para un grupo topológico compacto , G , existe un homomorfismo de álgebra C * Δ: C ( G ) → C ( G ) ⊗ C ( G ) (donde C ( G ) ⊗ C ( G ) es el tensor de álgebra C * producto - la finalización del producto del tensor algebraico de C ( G ) y C ( G )), tal que Δ ( f ) ( x , y ) = f ( xy ) para todo f ∈ C ( G ), y para todo x , y ∈ G (donde ( f ⊗ g ) ( x , y ) = f ( x ) g ( y ) para todo f , g ∈ C ( G ) y todo x , y ∈ G ). También existe una lineal multiplicativo mapeo κ : C ( G ) → C ( G ), de tal manera que κ ( f ) ( x ) = f ( x -1 ) para todo f ∈ C ( G ) y todo x ∈ G . Estrictamente, esto no convierte a C ( G ) en un álgebra de Hopf, a menos que G sea finito. Por otro lado, se puede usar una representación de dimensión finita de G para generar una * -subálgebra de C ( G ) que también es un Hopf * -álgebra. Específicamente, sies una representación n- dimensional de G , entonces para todo i , j u ij ∈ C ( G ) y
De ello se deduce que el * -álgebra generada por u ij para todo i, j y κ ( u ij ) para todo i, j es un Hopf * -álgebra: la cuenta está determinada por ε ( u ij ) = δ ij para todo i , j (donde δ ij es el delta de Kronecker ), la antípoda es κ , y la unidad está dada por
Definición general
Como generalización, un grupo cuántico de matriz compacta se define como un par ( C , u ), donde C es un C * -álgebra yes una matriz con entradas en C tal que
- La * -subálgebra, C 0 , de C , que es generada por los elementos de la matriz de u , es densa en C ;
- Existe un homomorfismo de C * -álgebra llamado comultiplicación Δ: C → C ⊗ C (donde C ⊗ C es el producto del tensor de C * -álgebra - la finalización del producto del tensor algebraico de C y C ) tal que para todo i, j tenemos:
- Existe un mapa antimultiplicativo lineal κ: C 0 → C 0 (el inverso) tal que κ ( κ ( v *) *) = v para todo v ∈ C 0 y
donde I es el elemento identidad de C . Dado que κ es antimultiplicativo, entonces κ ( vw ) = κ ( w ) κ ( v ) para todo v , w en C 0 .
Como consecuencia de la continuidad, la multiplicación en C es coasociativa.
En general, C no es una bialgebra y C 0 es un álgebra de Hopf *.
De manera informal, C puede considerarse como el * -álgebra de funciones continuas de valores complejos sobre el grupo cuántico de matriz compacta, y u puede considerarse como una representación de dimensión finita del grupo cuántico de matriz compacta.
Representaciones
Una representación del grupo cuántico de matriz compacta viene dada por una representación central del álgebra de Hopf * (una representación central de una coalgebra coasociativa nacional A es una matriz cuadradacon entradas en A (por lo que v pertenece a M ( n , A )) tal que
para todo i , j y ε ( v ij ) = δ ij para todo i, j ). Además, una representación v , se llama unitaria si la matriz para v es unitaria (o de manera equivalente, si κ ( v ij ) = v * ij para todo i , j ).
Ejemplo
Un ejemplo de un grupo cuántico de matriz compacta es SU μ (2), donde el parámetro μ es un número real positivo. Entonces SU μ (2) = (C (SU μ (2)), u ), donde C (SU μ (2)) es el C * -álgebra generada por α y γ, sujeto a
y
de modo que la comultiplicación está determinada por ∆ (α) = α ⊗ α - γ ⊗ γ *, ∆ (γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α *, y la inversa está determinada por κ (α) = α *, κ (γ) = −μ −1 γ, κ (γ *) = −μγ *, κ (α *) = α. Tenga en cuenta que u es una representación, pero no una representación unitaria. u es equivalente a la representación unitaria
De manera equivalente, SU μ (2) = (C (SU μ (2)), w ), donde C (SU μ (2)) es el C * -álgebra generada por α y β, sujeto a
y
de modo que la comultiplicación está determinada por ∆ (α) = α ⊗ α - μβ ⊗ β *, Δ (β) = α ⊗ β + β ⊗ α *, y el inverso está determinado por κ (α) = α *, κ (β) = −μ −1 β, κ (β *) = −μβ *, κ (α *) = α. Tenga en cuenta que w es una representación unitaria. Las realizaciones se pueden identificar equiparando.
Cuando μ = 1, entonces SU μ (2) es igual al álgebra C (SU (2)) de funciones en el grupo compacto concreto SU (2).
Grupos cuánticos de bicrossproduct
Mientras que los pseudogrupos de matriz compacta son típicamente versiones de los grupos cuánticos de Drinfeld-Jimbo en una formulación de álgebra de función dual, con estructura adicional, los bicrossproductos son una segunda familia distinta de grupos cuánticos de importancia creciente como deformaciones de grupos de Lie solubles en lugar de semisimple. Están asociados a divisiones de Lie de álgebras de Lie o factorizaciones locales de grupos de Lie y pueden verse como el producto cruzado o cuantificación de Mackey de uno de los factores que actúan sobre el otro para el álgebra y una historia similar para el coproducto Δ con el segundo factor. actuando en el primero.
El ejemplo no trivial más simple corresponde a dos copias de R que actúan localmente entre sí y da como resultado un grupo cuántico (dado aquí en forma algebraica) con generadores p , K , K -1 , digamos, y coproducto
donde h es el parámetro de deformación.
Este grupo cuántico se vinculó a un modelo de juguete de la física a escala de Planck que implementa la reciprocidad de Born cuando se ve como una deformación del álgebra de Heisenberg de la mecánica cuántica. Además, a partir de cualquier forma real compacta de un álgebra de Lie semisimple g, su complexificación como un álgebra de Lie real del doble de la dimensión se divide en g y una cierta álgebra de Lie resoluble (la descomposición de Iwasawa ), y esto proporciona un grupo cuántico canónico de bicrossproducto asociado a g . Para su (2) se obtiene una deformación de grupo cuántico del grupo euclidiano E (3) de movimientos en 3 dimensiones.
Ver también
- Álgebra de Hopf
- Mentira bialgebra
- Grupo de Poisson-Lie
- Álgebra afín cuántica
Notas
- ^ Schwiebert, Christian (1994), Dispersión inversa cuántica generalizada , p. 12237, arXiv : hep-th / 9412237v3 , Bibcode : 1994hep.th ... 12237S
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- ^ Andruskiewitsch, Schneider: Álgebras de Hopf puntiagudas, Nuevas direcciones en las álgebras de Hopf, 1-68, Matemáticas. Sci. Res. Inst. Publ., 43, Cambridge Univ. Prensa, Cambridge, 2002.
- ^ Heckenberger: álgebras de Nichols de tipo diagonal y sistemas de raíces aritméticas, tesis de habilitación 2005.
- ^ Heckenberger, Schneider: sistema de raíces y Weyl gruppoid para álgebras de Nichols, 2008.
- ^ Heckenberger, Schneider: subálgebras coideales derechas de álgebras de Nichols y el orden de Duflo del grupoide de Weyl, 2009.
Referencias
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