q-analógico
En matemáticas , un q -análogo de un teorema, identidad o expresión es una generalización que involucra un nuevo parámetro q que devuelve el teorema, identidad o expresión original en el límite cuando q → 1 . Por lo general, los matemáticos están interesados en q -análogos que surgen de forma natural, más que en idear arbitrariamente q -análogos de resultados conocidos. El primer análogo q estudiado en detalle es la serie hipergeométrica básica , que se introdujo en el siglo XIX. [1]
q -Las analogías se estudian con mayor frecuencia en los campos matemáticos de la combinatoria y las funciones especiales . En estos entornos, el límite q → 1 suele ser formal, ya que q a menudo tiene un valor discreto (por ejemplo, puede representar una potencia prima ). q -los análogos encuentran aplicaciones en un número de áreas, incluyendo el estudio de fractales y medidas multicifractales , y expresiones para la entropía de sistemas dinámicos caóticos . La relación con los fractales y los sistemas dinámicos resulta del hecho de que muchos patrones fractales tienen las simetrías de los grupos fucsianos.en general (ver, por ejemplo, las perlas de Indra y la junta de Apolínea ) y el grupo modular en particular. La conexión pasa por la geometría hiperbólica y la teoría ergódica , donde las integrales elípticas y las formas modulares juegan un papel destacado; la q -series mismos están estrechamente relacionadas con las integrales elípticas.
q también -analogs aparece en el estudio de los grupos cuánticos y en q -deformed superálgebras . La conexión aquí es similar, ya que gran parte de la teoría de cuerdas se establece en el lenguaje de las superficies de Riemann , lo que resulta en conexiones con curvas elípticas , que a su vez se relacionan con la serie q .
Por sí misma, la elección de este q -análogo particular entre las muchas opciones posibles no está motivada. Sin embargo, aparece de forma natural en varios contextos. Por ejemplo, habiendo decidido usar [ n ] q como el q -análogo de n , uno puede definir el q -análogo del factorial , conocido como q -factorial , por
Este q -análogo aparece naturalmente en varios contextos. En particular, mientras que n ! cuenta el número de permutaciones de longitud n , [ n ] q ! cuenta las permutaciones mientras realiza un seguimiento del número de inversiones . Es decir, si inv ( w ) denota el número de inversiones de la permutación w y S n denota el conjunto de permutaciones de longitud n , tenemos
En particular, se recupera el factorial habitual tomando el límite como .
