En estadística , la función Q es la función de distribución de cola de la distribución normal estándar . [1] [2] En otras palabras,es la probabilidad de que una variable aleatoria normal (gaussiana) obtenga un valor mayor quedesviaciones estandar. Equivalentemente, es la probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar tome un valor mayor que .
Si es una variable aleatoria gaussiana con media y varianza , luego es estándar normal y
dónde .
Otras definiciones de la función Q , todas las cuales son transformaciones simples de la función de distribución acumulativa normal , también se utilizan ocasionalmente. [3]
Debido a su relación con la función de distribución acumulativa de la distribución normal, la función Q también se puede expresar en términos de la función de error , que es una función importante en matemáticas y física aplicadas.
Definición y propiedades básicas
Formalmente, la función Q se define como
Por lo tanto,
dónde es la función de distribución acumulativa de la distribución gaussiana normal estándar .
La función Q se puede expresar en términos de la función de error , o la función de error complementaria, como [2]
Una forma alternativa de la función Q conocida como fórmula de Craig, en honor a su descubridor, se expresa como: [4]
Esta expresión es válida solo para valores positivos de x , pero se puede usar junto con Q ( x ) = 1 - Q (- x ) para obtener Q ( x ) para valores negativos. Esta forma es ventajosa porque el rango de integración es fijo y finito.
Behnad (2020) [5] amplió posteriormente la fórmula de Craig para la función Q de la suma de dos variables no negativas, de la siguiente manera:
Límites y aproximaciones
- La función Q no es una función elemental . Sin embargo, los límites, dondees la función de densidad de la distribución normal estándar, [6]
- se vuelven cada vez más ajustados para x grandes , y suelen ser útiles.
- Usando la sustitución v = u 2/2 , el límite superior se deriva de la siguiente manera:
- Resolver para Q ( x ) proporciona el límite inferior.
- La media geométrica del límite superior e inferior proporciona una aproximación adecuada para :
- Límites más estrechos y aproximaciones de también se puede obtener optimizando la siguiente expresión [6]
- Para , el mejor límite superior viene dado por y con un error relativo absoluto máximo del 0,44%. Asimismo, la mejor aproximación viene dada por y con un error relativo absoluto máximo de 0,27%. Finalmente, el mejor límite inferior viene dado por y con un error relativo absoluto máximo de 1,17%.
- Los límites exponenciales mejorados y una aproximación exponencial pura son [7]
- Lo anterior fue generalizado por Tanash & Riihonen (2020), [8] quienes demostraron que puede ser aproximado o acotado con precisión por
- En particular, presentaron una metodología sistemática para resolver los coeficientes numéricos que producen una aproximación o límite minimax : , , o por . Con los coeficientes de ejemplo tabulados en el documento para , los errores de aproximación relativos y absolutos son menores que y , respectivamente. Los coeficientes para muchas variaciones de las aproximaciones exponenciales y límites hasta se han lanzado al acceso abierto como un conjunto de datos completo. [9]
- Otra aproximación de por es dada por Karagiannidis & Lioumpas (2007) [10] quienes mostraron para la elección apropiada de parámetros que
- El error absoluto entre y en el rango se minimiza evaluando
- Utilizando e integrando numéricamente, encontraron que el error mínimo ocurría cuando que dio una buena aproximación para
- Sustituyendo estos valores y usando la relación entre y desde arriba da
- También se encuentran disponibles coeficientes alternativos para la 'aproximación Karagiannidis-Lioumpas' anterior para adaptar la precisión a una aplicación específica o transformarla en un límite estrecho. [11]
- Una aproximación más estricta y manejable de para argumentos positivos está dada por López-Benítez & Casadevall (2011) [12] a partir de una función exponencial de segundo orden:
- Los coeficientes de ajuste se puede optimizar sobre cualquier rango de argumentos deseado para minimizar la suma de errores cuadrados ( , , por ) o minimizar el error absoluto máximo ( , , por ). Esta aproximación ofrece algunos beneficios, como una buena compensación entre precisión y manejabilidad analítica (por ejemplo, la extensión a cualquier poder arbitrario de es trivial y no altera la forma algebraica de la aproximación).
Q inversa
La función Q inversa se puede relacionar con las funciones de error inverso :
La función encuentra aplicación en las comunicaciones digitales. Por lo general, se expresa en dB y generalmente se denomina factor Q :
donde y es la tasa de error de bit (BER) de la señal modulada digitalmente bajo análisis. Por ejemplo, para QPSK en ruido gaussiano blanco aditivo, el factor Q definido anteriormente coincide con el valor en dB de la relación señal / ruido que produce una tasa de error de bit igual ay .
Valores
La función Q está bien tabulada y se puede calcular directamente en la mayoría de los paquetes de software matemático como R y los disponibles en Python , MATLAB y Mathematica . Algunos valores de la función Q se dan a continuación como referencia.
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Generalización a altas dimensiones
La función Q se puede generalizar a dimensiones superiores: [13]
dónde sigue la distribución normal multivariante con covarianza y el umbral es de la forma para algún vector positivo y constante positiva . Como en el caso unidimensional, no existe una fórmula analítica simple para el Q -Función. Sin embargo, la función Q se puede aproximar arbitrariamente bien comose vuelve cada vez más grande. [14] [15]
Referencias
- ^ La función Q , de cnx.org
- ^ a b Propiedades básicas de la función Q Archivado el 25 de marzo de 2009 en Wayback Machine.
- ^ Función de distribución normal - de Wolfram MathWorld
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