La cuantificación del campo electromagnético significa que un campo electromagnético consta de paquetes de energía discretos, fotones . Los fotones son partículas sin masa de energía definida , momento definido y giro definido .
Para explicar el efecto fotoeléctrico , Albert Einstein asumió heurísticamente en 1905 que un campo electromagnético consta de partículas de energía de cantidad hν , donde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia de onda . En 1927 Paul AM Dirac pudo tejer el concepto de fotón en la estructura de la nueva mecánica cuántica y describir la interacción de los fotones con la materia. [1] Aplicó una técnica que ahora generalmente se llama segunda cuantificación , [2]aunque este término es un nombre poco apropiado para los campos electromagnéticos, porque, después de todo, son soluciones de las ecuaciones clásicas de Maxwell. En la teoría de Dirac, los campos se cuantifican por primera vez y también es la primera vez que la constante de Planck entra en las expresiones. En su trabajo original, Dirac tomó las fases de los diferentes modos electromagnéticos ( componentes de campo de Fourier ) y las energías modales como variables dinámicas para cuantificar (es decir, las reinterpretó como operadores y postuló relaciones de conmutación entre ellos). En la actualidad, es más común cuantificar los componentes de Fourier del potencial vectorial . Esto es lo que se hace a continuación.
Un estado fotónico de la mecánica cuántica perteneciente al modo se presenta a continuación, y se muestra que tiene las siguientes propiedades:
Estas ecuaciones dicen respectivamente: un fotón tiene masa en reposo cero; la energía del fotón es hν = hc | k | ( k es el vector de onda , c es la velocidad de la luz); su momento electromagnético es ℏ k [ℏ = h / (2 π )]; la polarización μ = ± 1 es el valor propio del componente z del espín del fotón.
Segunda cuantificaciónLa segunda cuantificación comienza con una expansión de un campo escalar o vectorial (o funciones de onda) en una base que consta de un conjunto completo de funciones. Estas funciones de expansión dependen de las coordenadas de una sola partícula. Los coeficientes que multiplican las funciones base se interpretan como operadores y se imponen relaciones (anti) de conmutación entre estos nuevos operadores, relaciones de conmutación para bosones y relaciones anticonmutación para fermiones (a las funciones base no les pasa nada). Al hacer esto, el campo expandido se convierte en un campo de operador de fermión o bosón. Los coeficientes de expansión se han promovido de números ordinarios a operadores, operadores de creación y aniquilación . Un operador de creación crea una partícula en la función base correspondiente y un operador de aniquilación aniquila una partícula en esta función.
En el caso de los campos EM, la expansión requerida del campo es la expansión de Fourier.
Campo electromagnético y potencial vectorialComo sugiere el término, un campo EM consta de dos campos vectoriales, un campo eléctrico y un campo magnético . Ambos son campos vectoriales dependientes del tiempo que en el vacío dependen de un tercer campo vectorial. (el potencial vectorial), así como un campo escalar
donde ∇ × A es el rizo de una .
Al elegir el calibre de Coulomb , para el cual ∇ ⋅ A = 0, A se convierte en un campo transversal . La expansión de Fourier del potencial vectorial encerrado en una caja cúbica finita de volumen V = L 3 es entonces
dónde denota el complejo conjugado de. El vector de onda k da la dirección de propagación del componente de Fourier correspondiente (una onda monocromática polarizada) de A ( r , t ); la longitud del vector de onda es
con ν la frecuencia del modo. En esta suma, k pasa por un lado, positivo o negativo. (El componente de la base de Fourier es un conjugado complejo del componente de como es real.) Los componentes del vector k tienen valores discretos (una consecuencia de la condición de contorno de que A tiene el mismo valor en las paredes opuestas de la caja):
Dos e ( μ ) ("vectores de polarización") son vectores unitarios convencionales para ondas EM polarizadas circulares izquierda y derecha (LCP y RCP) (ver cálculo de Jones o vector de Jones , cálculo de Jones ) y perpendiculares a k . Están relacionados con los vectores cartesianos ortonormales e x y e y mediante una transformación unitaria,
El k componente -ésimo de Fourier de A es un perpendicular vector de k y por lo tanto es una combinación lineal de e (1) y e (-1) . El superíndice μ indica un componente a lo largo de e ( μ ) .
Claramente, el conjunto (discreto infinito) de coeficientes de Fourier y son variables que definen el potencial vectorial. A continuación, se promoverán a operadores.
Usando ecuaciones de campo de y en términos de arriba, los campos eléctricos y magnéticos son
Usando identidad ( y son vectores) y ya que cada modo tiene dependencia de una sola frecuencia.
Cuantización del campo EMEl mejor ejemplo conocido de cuantización es la sustitución de la lineal dependiente del tiempo el impulso de una partícula por la regla
Tenga en cuenta que aquí se introduce la constante de Planck y que la dependencia del tiempo de la expresión clásica no se toma en el operador mecánico cuántico (esto es cierto en la llamada imagen de Schrödinger ).
Para el campo EM hacemos algo similar. La cantidades la constante eléctrica , que aparece aquí debido al uso de unidades SI electromagnéticas . Las reglas de cuantificación son:
sujeto a las relaciones de conmutación de bosones
Los corchetes indican un conmutador, definido por para dos operadores de mecánica cuántica A y B cualesquiera . La introducción de la constante de Planck es esencial en la transición de una teoría clásica a una cuántica. El factor
se introduce para dar al hamiltoniano (operador de energía) una forma simple, ver más abajo.
Los campos cuantificados (campos de operador) son los siguientes
donde ω = c | k | = ck .
Hamiltoniano del campoEl hamiltoniano clásico tiene la forma
El lado derecho se obtiene fácilmente usando primero
(se puede derivar de la ecuación de Euler y la ortogonalidad trigonométrica) donde k es el número de onda para la onda confinada dentro del cuadro de V = L × L × L como se describe arriba y segundo, usando ω = kc .
La sustitución de los operadores de campo en el hamiltoniano clásico le da al operador de Hamilton del campo EM,
La segunda igualdad sigue por el uso de la tercera de las relaciones de conmutación de bosones desde arriba con k ′ = k y μ ′ = μ . Tenga en cuenta nuevamente que ℏ ω = hν = ℏ c | k | y recuerde que ω depende de k , aunque no es explícito en la notación. La notación ω ( k ) podría haberse introducido, pero no es común ya que satura las ecuaciones.
Digresión: oscilador armónico
El segundo tratamiento cuantificado del oscilador armónico cuántico unidimensional es un tema bien conocido en los cursos de mecánica cuántica. Divagamos y decimos algunas palabras al respecto. El oscilador armónico hamiltoniano tiene la forma
donde ω ≡ 2 πν es la frecuencia fundamental del oscilador. El estado fundamental del oscilador está designado por; y se denomina "estado de vacío". Se puede demostrar quees un operador de excitación, excita desde un estado excitado n veces a un estado excitado n + 1 veces:
En particular: y
Dado que las energías del oscilador armónico son equidistantes, el estado excitado n veces; puede considerarse como un solo estado que contiene n partículas (a veces llamadas vibrones) toda la energía hν . Estas partículas son bosones. Por una razón obvia, el operador de excitaciónse llama operador de creación .
De la relación de conmutación se deduce que el adjunto hermitiano des-excita: En particular así que eso Por una razón obvia, el operador de desexcitación se llama operador de aniquilación .
Por inducción matemática se prueba fácilmente la siguiente "regla de diferenciación", que será necesaria más adelante,
Supongamos que ahora tenemos varios osciladores armónicos unidimensionales que no interactúan (independientes), cada uno con su propia frecuencia fundamental ω i . Debido a que los osciladores son independientes, el hamiltoniano es una suma simple:
Sustituyendo por vemos que el hamiltoniano del campo EM puede considerarse un hamiltoniano de osciladores de energía independientes ω = | k | c oscilando a lo largo de la dirección e ( μ ) con μ = ± 1.
Estados del número de fotones (estados de Fock)El campo EM cuantificado tiene un estado de vacío (sin fotones) . La aplicación de, digamos,
da un estado cuántico de m fotones en modo ( k , μ ) y n fotones en modo ( k ′, μ ′ ). El símbolo de proporcionalidad se utiliza porque el estado de la izquierda no está normalizado a la unidad, mientras que el estado de la derecha puede estar normalizado.
El operador
es el operador numérico . Cuando actúa sobre un estado de número de fotones de la mecánica cuántica, devuelve el número de fotones en modo ( k , μ ). Esto también es válido cuando el número de fotones en este modo es cero, entonces el operador numérico devuelve cero. Para mostrar la acción del operador numérico en un fotón cet, consideramos
es decir, un operador numérico de modo ( k , μ ) devuelve cero si el modo está desocupado y devuelve la unidad si el modo está ocupado individualmente. Para considerar la acción del operador numérico de modo ( k , μ ) en un n- fotón ket del mismo modo, descartamos los índices k y μ y consideramos
Utilice la "regla de diferenciación" presentada anteriormente y se sigue que
Un estado de número de fotón (o un estado de Fock) es un estado propio del operador numérico. Esta es la razón por la que el formalismo descrito aquí a menudo se denomina representación del número de ocupación .
Energía de fotonesAnteriormente el hamiltoniano,
Fue presentado. El cero de energía se puede desplazar, lo que conduce a una expresión en términos del operador numérico,
El efecto de H en un estado de fotón único es
Aparentemente, el estado de fotón único es un estado propio de H y ℏ ω = hν es la energía correspondiente. De la misma manera
Ejemplo de densidad de fotones
La densidad de energía electromagnética creada por una estación de transmisión de radio de 100 kW se calcula en el artículo sobre la onda electromagnética (¿dónde?); la densidad de energía estimada a 5 km de la estación fue de 2,1 × 10 −10 J / m 3 . ¿Se necesita mecánica cuántica para describir la transmisión de la estación?
La aproximación clásica a la radiación EM es buena cuando el número de fotones es mucho mayor que la unidad en el volumen. donde λ es la longitud de las ondas de radio. En ese caso, las fluctuaciones cuánticas son insignificantes y no se pueden escuchar.
Suponga que la estación de radio transmite a ν = 100 MHz, entonces está enviando fotones con un contenido de energía de νh = 1 × 10 8 × 6.6 × 10 −34 = 6.6 × 10 −26 J, donde h es la constante de Planck . La longitud de onda de la estación es λ = c / ν = 3 m, de modo que λ / (2 π ) = 48 cm y el volumen es 0.109 m 3 . El contenido de energía de este elemento de volumen es 2,1 × 10 −10 × 0,109 = 2,3 × 10 −11 J, lo que equivale a 3,4 × 10 14 fotones porObviamente, 3.4 × 10 14 > 1 y, por lo tanto, los efectos cuánticos no juegan un papel; las ondas emitidas por esta estación están bien descritas por el límite clásico y la mecánica cuántica no es necesaria.
Impulso del fotónIntroduciendo la expansión de Fourier del campo electromagnético en la forma clásica
rendimientos
La cuantificación da
El término 1/2 podría descartarse, porque cuando uno suma más del k permitido , k cancela con - k . El efecto de P EM en un estado de fotón único es
Aparentemente, el estado de un solo fotón es un estado propio del operador de momento, y ℏ k es el valor propio (el momento de un solo fotón).
Masa de fotonesEl fotón que tiene un momento lineal distinto de cero, uno podría imaginar que tiene una masa en reposo que no desaparece m 0 , que es su masa a velocidad cero. Sin embargo, ahora mostraremos que este no es el caso: m 0 = 0.
Dado que el fotón se propaga con la velocidad de la luz , se requiere una relatividad especial . Las expresiones relativistas para energía y momento al cuadrado son,
Desde p 2 / E 2 ,
Usar
y se sigue que
de modo que m 0 = 0.
Giro de fotonesAl fotón se le puede asignar un espín triplete con número cuántico de espín S = 1. Esto es similar, digamos, al espín nuclear del isótopo 14 N , pero con la importante diferencia de que el estado con M S = 0 es cero, solo el los estados con M S = ± 1 son distintos de cero.
Definir operadores de giro:
Los dos operadores entre los dos vectores unitarios ortogonales hay productos diádicos . Los vectores unitarios son perpendiculares a la dirección de propagación k (la dirección del eje z , que es el eje de cuantificación de espín).
Los operadores de espín satisfacen las relaciones habituales de conmutación del momento angular.
De hecho, use la propiedad del producto diádico
porque e z es de longitud unitaria. De esta forma,
De la inspección se deduce que
y por lo tanto μ etiqueta el espín del fotón,
Debido a que el potencial vectorial A es un campo transversal, el fotón no tiene componente de giro directo (μ = 0).
Ver tambiénReferenciasEste artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Cuantización del campo electromagnético ", que está bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .
- ^ PAM Dirac, La teoría cuántica de la emisión y absorción de radiación , Proc. Royal Soc. Lond. A 114 , págs. 243-265, (1927) En línea (pdf)
- ^ El nombre deriva de la segunda cuantificación de las funciones de onda de la mecánica cuántica. Esta función de onda es un campo escalar (el "campo de Schrödinger") y se puede cuantificar de la misma manera que los campos electromagnéticos. Dado que una función de onda se deriva de un "primer" hamiltoniano cuantificado , la cuantificación del campo de Schrödinger es la segunda vez que se realiza la cuantificación, de ahí el nombre.