En matemáticas , una transformada de Fourier ( FT ) es una transformación matemática que descompone funciones según el espacio o el tiempo en funciones según la frecuencia espacial o temporal, como la expresión de un acorde musical en términos de los volúmenes y frecuencias de sus notas constituyentes. El término transformada de Fourier se refiere tanto a la representación en el dominio de la frecuencia como a la operación matemática que asocia la representación en el dominio de la frecuencia a una función del espacio o del tiempo.
La transformada de Fourier de una función de tiempo es una función de frecuencia de valor complejo , cuya magnitud ( valor absoluto ) representa la cantidad de esa frecuencia presente en la función original, y cuyo argumento es el desplazamiento de fase de la sinusoide básica en esa frecuencia. La transformada de Fourier no se limita a las funciones del tiempo, pero el dominio de la función original se conoce comúnmente como el dominio del tiempo . También hay una transformada de Fourier inversa que sintetiza matemáticamente la función original a partir de su representación en el dominio de frecuencia, como lo demuestra el teorema de inversión de Fourier .
Una curva sinusoidal , con amplitud máxima (1), pico a pico (2), RMS (3) y período de onda (4).
Ilustración de cambio de fase θ .
Las operaciones lineales realizadas en un dominio (tiempo o frecuencia) tienen operaciones correspondientes en el otro dominio, que a veces son más fáciles de realizar. La operación de diferenciación en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación por la frecuencia, [observación 1] por lo que algunas ecuaciones diferenciales son más fáciles de analizar en el dominio de la frecuencia. Además, la convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación ordinaria en el dominio de la frecuencia (consulte el teorema de convolución ). Después de realizar las operaciones deseadas, se puede volver a transformar el resultado en el dominio del tiempo. El análisis armónico es el estudio sistemático de la relación entre los dominios de frecuencia y tiempo, incluidos los tipos de funciones u operaciones que son "más simples" en uno u otro, y tiene conexiones profundas con muchas áreas de las matemáticas modernas.
Las funciones que están localizadas en el dominio del tiempo tienen transformadas de Fourier que se distribuyen en el dominio de la frecuencia y viceversa, un fenómeno conocido como principio de incertidumbre . El caso crítico de este principio es la función gaussiana , de importancia sustancial en la teoría de la probabilidad y la estadística , así como en el estudio de los fenómenos físicos que presentan una distribución normal (por ejemplo, la difusión ). La transformada de Fourier de una función gaussiana es otra función gaussiana. Joseph Fourier introdujo la transformada en su estudio de la transferencia de calor , donde las funciones gaussianas aparecen como soluciones de la ecuación del calor .
La transformada de Fourier se puede definir formalmente como una integral de Riemann incorrecta , lo que la convierte en una transformada integral , aunque esta definición no es adecuada para muchas aplicaciones que requieren una teoría de integración más sofisticada. [observación 2] Por ejemplo, muchas aplicaciones relativamente simples utilizan la función delta de Dirac , que puede tratarse formalmente como si fuera una función, pero la justificación requiere un punto de vista matemáticamente más sofisticado. [observación 3] La transformada de Fourier también se puede generalizar a funciones de varias variables en el espacio euclidiano, enviando una función de 'espacio de posición' tridimensional a una función de momento tridimensional (o una función de espacio y tiempo a una función de 4 impulso ). Esta idea hace que la transformada espacial de Fourier sea muy natural en el estudio de las ondas, así como en la mecánica cuántica , donde es importante poder representar las soluciones de las ondas como funciones de la posición o el momento y, a veces, de ambas. En general, las funciones a las que se aplican los métodos de Fourier tienen valores complejos y posiblemente valores vectoriales . [observación 4] Es posible una generalización adicional a las funciones en grupos , que, además de la transformada de Fourier original en R o R n (visto como grupos bajo la suma), incluye notablemente la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT, grupo = Z ), la transformada discreta de Fourier (DFT, grupo = Z mod N ) y la serie de Fourier o transformada circular de Fourier (grupo = S 1 , el círculo unitario ≈ intervalo finito cerrado con puntos finales identificados). Este último se emplea habitualmente para manejar funciones periódicas . La transformada rápida de Fourier (FFT) es un algoritmo para calcular la DFT.
Definición
La transformada de Fourier de una función f se denota tradicionalmente, agregando un circunflejo al símbolo de la función. Existen varias convenciones comunes para definir la transformada de Fourier de una función integrable. [1] [2] Uno de ellos es
| ( Ecuación 1 ) |
para cualquier número real ξ .
Una razón para el signo negativo en el exponente es que es común en la ingeniería eléctrica a representar por una señal con fase inicial y frecuencia cero [3] [observación 5] La convención de signos negativos hace que el producto a ser 1 (frecuencia cero) cuando provocando que la integral diverja. El resultado es una función delta de Dirac en, que es el único componente de frecuencia de la señal sinusoidal
Cuando la variable independiente x representa el tiempo , la variable de transformación ξ representa la frecuencia (por ejemplo, si el tiempo se mide en segundos, la frecuencia está en hercios ). En condiciones adecuadas, f se determina mediante a través de la transformación inversa:
| ( Ecuación 2 ) |
para cualquier número real x .
La afirmación de que f se puede reconstruir a partir dese conoce como el teorema de la inversión de Fourier , y se introdujo por primera vez en la Teoría analítica del calor de Fourier , [4] [5] aunque lo que se consideraría una prueba según los estándares modernos no se dio hasta mucho más tarde. [6] [7] Las funciones f ya menudo se denominan par integral de Fourier o par de transformada de Fourier . [8] Una notación común para designar pares de transformadas es: [9]
- .
Para conocer otras convenciones y notaciones comunes, incluido el uso de la frecuencia angular ω en lugar de la frecuencia ξ , consulte Otras convenciones y Otras notaciones a continuación. La transformada de Fourier en el espacio euclidiano se trata por separado, en el que la variable x a menudo representa la posición y el momento ξ . Las convenciones elegidas en este artículo son las de análisis armónico , y se caracterizan por ser las convenciones únicas tales que la transformada de Fourier es tanto unitaria en L 2 como un homomorfismo de álgebra de L 1 a L ∞ , sin renormalizar la medida de Lebesgue. [10]
Existen muchas otras caracterizaciones de la transformada de Fourier. Por ejemplo, se usa el teorema de Stone-von Neumann : la transformada de Fourier es el entrelazador unitario único para las representaciones simpléctica y euclidiana de Schrödinger del grupo de Heisenberg .
Historia
En 1822, Joseph Fourier demostró que algunas funciones podían escribirse como una suma infinita de armónicos. [11]
Introducción
Una motivación para la transformada de Fourier proviene del estudio de las series de Fourier . En el estudio de las series de Fourier, las funciones complicadas pero periódicas se escriben como la suma de ondas simples representadas matemáticamente por senos y cosenos . La transformada de Fourier es una extensión de la serie de Fourier que resulta cuando el período de la función representada se alarga y se permite que se acerque al infinito . [12]
Debido a las propiedades del seno y el coseno, es posible recuperar la amplitud de cada onda en una serie de Fourier usando una integral. En muchos casos es deseable utilizar la fórmula de Euler , que establece que e 2π iθ = cos (2π θ ) + i sin (2π θ ) , para escribir series de Fourier en términos de las ondas básicas e 2π iθ . Esto tiene la ventaja de simplificar muchas de las fórmulas involucradas y proporciona una formulación para la serie de Fourier que se asemeja más a la definición que se sigue en este artículo. Reescribir los senos y cosenos como exponenciales complejos hace necesario que los coeficientes de Fourier tengan un valor complejo. La interpretación habitual de este número complejo es que da tanto la amplitud (o tamaño) de la onda presente en la función como la fase (o el ángulo inicial) de la onda. Estas exponenciales complejas a veces contienen "frecuencias" negativas. Si θ se mide en segundos, entonces las ondas e 2π iθ y e −2π iθ completan un ciclo por segundo, pero representan frecuencias diferentes en la transformada de Fourier. Por tanto, la frecuencia ya no mide el número de ciclos por unidad de tiempo, pero sigue estando estrechamente relacionada.
Existe una estrecha conexión entre la definición de la serie de Fourier y la transformada de Fourier para las funciones f que son cero fuera de un intervalo. Para tal función, podemos calcular su serie de Fourier en cualquier intervalo que incluya los puntos donde f no es idénticamente cero. La transformada de Fourier también se define para dicha función. A medida que aumentamos la longitud del intervalo en el que calculamos la serie de Fourier, los coeficientes de la serie de Fourier comienzan a parecerse a la transformada de Fourier y la suma de la serie de Fourier de f comienza a parecerse a la transformada de Fourier inversa. Más precisamente, suponga que T es lo suficientemente grande como para que el intervalo [-T/2, T/2] contiene el intervalo en el que f no es idénticamente cero. Entonces, el coeficiente de la serie n- ésima c n viene dado por:
Comparando esto con la definición de la transformada de Fourier, se deduce que:
ya que f ( x ) es cero fuera de [- T/2, T/2] . Por lo tanto, los coeficientes de Fourier son iguales a los valores de la transformada de Fourier muestreada en una cuadrícula de ancho1/T, multiplicado por el ancho de la cuadrícula 1/T.
En condiciones apropiadas, la serie de Fourier de f será igual a la función f . En otras palabras, f se puede escribir:
donde la última suma es simplemente la primera suma reescrita usando las definiciones ξ n =norte/Ty Δ ξ = n + 1/T - norte/T = 1/T.
Esta segunda suma es una suma de Riemann . Al dejar que T → ∞ convergerá a la integral de la transformada de Fourier inversa como se expresó anteriormente. En condiciones adecuadas, este argumento puede precisarse. [13]
En el estudio de la serie de Fourier, los números c n podrían considerarse como la "cantidad" de onda presente en la serie de Fourier de f . De manera similar, como se vio anteriormente, la transformada de Fourier se puede considerar como una función que mide cuánto de cada frecuencia individual está presente en nuestra función f , y podemos recombinar estas ondas usando una integral (o "suma continua") para reproducir la función original.
Ejemplo
Las siguientes figuras proporcionan una ilustración visual de cómo la transformada de Fourier mide si una frecuencia está presente en una función en particular. La función representada f ( t ) = cos (6π t ) e −π t 2 oscila a 3 Hz (si t mide segundos) y tiende rápidamente a 0. (El segundo factor en esta ecuación es una función envolvente que da forma a la sinusoide continua en un pulso corto (su forma general es una función gaussiana ). Esta función se eligió especialmente para tener una transformada de Fourier real que se pueda trazar fácilmente. La primera imagen contiene su gráfico. Para calculardebemos integrar e −2π i (3 t ) f ( t ) . La segunda imagen muestra la trama de las partes real e imaginaria de esta función. La parte real del integrando es casi siempre positiva, porque cuando f ( t ) es negativa, la parte real de e −2π i (3 t ) también es negativa. Debido a que oscilan a la misma velocidad, cuando f ( t ) es positivo, también lo es la parte real de e −2π i (3 t ) . El resultado es que cuando integras la parte real del integrando obtienes un número relativamente grande (en este caso 1/2). Por otro lado, cuando intenta medir una frecuencia que no está presente, como en el caso cuando miramos, verá que tanto el componente real como el imaginario de esta función varían rápidamente entre valores positivos y negativos, como se muestra en la tercera imagen. Por lo tanto, en este caso, el integrando oscila lo suficientemente rápido para que la integral sea muy pequeña y el valor de la transformada de Fourier para esa frecuencia sea casi cero.
La situación general puede ser un poco más complicada que esto, pero esto en espíritu es cómo la transformada de Fourier mide la cantidad de una frecuencia individual presente en una función f ( t ) .
Función original que muestra una oscilación de 3 Hz.
Partes reales e imaginarias del integrando para la transformada de Fourier a 3 Hz
Partes reales e imaginarias del integrando para la transformada de Fourier a 5 Hz
Magnitud de la transformada de Fourier, con 3 y 5 Hz etiquetados.
Propiedades de la transformada de Fourier
Aquí asumimos que f ( x ) , g ( x ) y h ( x ) son funciones integrables : Lebesgue-mensurable en la línea real que satisface:
Denotamos las transformadas de Fourier de estas funciones como f̂ ( ξ ) , ĝ ( ξ ) y ĥ ( ξ ) respectivamente.
Propiedades básicas
La transformada de Fourier tiene las siguientes propiedades básicas: [14]
Linealidad
- Para cualquier número complejo a y b , si h ( x ) = af ( x ) + bg ( x ) , entonces ĥ ( ξ ) = a · f̂ ( ξ ) + b · ĝ ( ξ ) .
Traducción / cambio de tiempo
- Para cualquier número real x 0 , si h ( x ) = f ( x - x 0 ) , entonces ĥ ( ξ ) = e −2π ix 0 ξ f̂ ( ξ ) .
Modulación / cambio de frecuencia
- Para cualquier número real ξ 0 , si h ( x ) = e 2π ixξ 0 f ( x ) , entonces ĥ ( ξ ) = f̂ ( ξ - ξ 0 ) .
Escala de tiempo
- Para un no-cero número real una , si h ( x ) = f ( ax ) , entonces
- El caso a = −1 conduce a la propiedad de inversión del tiempo , que establece: si h ( x ) = f (- x ) , entonces ĥ ( ξ ) = f̂ (- ξ ) .
Conjugación
- Si h ( x ) = f ( x ) , entonces
- En particular, si f es real, entonces uno tiene la condición de realidad
- es decir, f̂ es una función hermitiana . Y si f es puramente imaginario, entonces
Parte real e imaginaria en el tiempo
- Si , luego .
- Si , luego .
Integración
- Sustituyendo ξ = 0 en la definición, obtenemos
- Es decir, la evaluación de la transformada de Fourier en el origen ( ξ = 0 ) es igual a la integral de f en todo su dominio.
Invertibilidad y periodicidad
En condiciones adecuadas en la función f , se puede recuperar de su transformada de Fourier. De hecho, al denotar el operador de la transformada de Fourier por F , entonces F ( f ): = f̂ , entonces para funciones adecuadas, aplicar la transformada de Fourier dos veces simplemente invierte la función: F 2 ( f ) ( x ) = f (- x ) , que se puede interpretar como "tiempo inverso". Dado que la inversión del tiempo es dos-periódica, aplicar esto dos veces produce F 4 ( f ) = f , por lo que el operador de la transformada de Fourier es cuatro-periódica, y de manera similar, la transformada de Fourier inversa se puede obtener aplicando la transformada de Fourier tres veces: F 3 ( f̂ ) = f . En particular, la transformada de Fourier es invertible (en condiciones adecuadas).
Más precisamente, definiendo el operador de paridad P que invierte el tiempo, P [ f ]: t ↦ f (- t ) :
Estas igualdades de operadores requieren una definición cuidadosa del espacio de funciones en cuestión, definiendo la igualdad de funciones (¿igualdad en cada punto? ¿Igualdad en casi todas partes ?) Y definiendo la igualdad de operadores, es decir, definiendo la topología en el espacio de funciones y el espacio de operadores en pregunta. Estos no son verdaderos para todas las funciones, pero son verdaderos bajo diversas condiciones, que son el contenido de las diversas formas del teorema de la inversión de Fourier .
Esta periodicidad cuádruple de la transformada de Fourier es similar a una rotación del plano de 90 °, particularmente porque la iteración doble produce una inversión y, de hecho, esta analogía se puede precisar. Si bien la transformada de Fourier se puede interpretar simplemente como un cambio en el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia, con la transformada de Fourier inversa volviendo a cambiarlos, de manera más geométrica se puede interpretar como una rotación de 90 ° en el dominio del tiempo-frecuencia (considerando el tiempo como el eje x y frecuencia como eje y ), y la transformada de Fourier se puede generalizar a la transformada fraccional de Fourier , que implica rotaciones en otros ángulos. Esto se puede generalizar aún más a transformaciones canónicas lineales , que se pueden visualizar como la acción del grupo lineal especial SL 2 ( R ) en el plano tiempo-frecuencia, con la forma simpléctica preservada correspondiente al principio de incertidumbre , a continuación. Este enfoque se estudia particularmente en el procesamiento de señales , bajo análisis de tiempo-frecuencia .
Unidades y dualidad
En matemáticas, a menudo no se piensa en ninguna unidad asociada a las dos variables t y ξ . Pero en aplicaciones físicas, ξ debe tener unidades inversas a las unidades de t . Por ejemplo, si t se mide en segundos, ξ debería estar en ciclos por segundo para que las fórmulas aquí sean válidas. Si se cambia la escala de t y t se mide en unidades de 2 π segundos, entonces ξ debe estar en la llamada " frecuencia angular ", o se debe insertar algún factor de escala constante en algunas de las fórmulas. Si t se mide en unidades de longitud, entonces ξ debe tener una longitud inversa, por ejemplo, números de onda . Es decir, hay dos copias de la línea real: una medida en un conjunto de unidades, donde t varía, y la otra en unidades inversas a las unidades de t , y que es el rango de ξ . Entonces, estas son dos copias distintas de la línea real y no pueden identificarse entre sí. Por tanto, la transformada de Fourier pasa de un espacio de funciones a un espacio diferente de funciones: funciones que tienen un dominio de definición diferente.
En general, ξ siempre debe tomarse como una forma lineal en el espacio de t s, lo que quiere decir que la segunda línea real es el espacio dual de la primera línea real. Consulte el artículo sobre álgebra lineal para obtener una explicación más formal y más detalles. Este punto de vista se vuelve esencial en las generalizaciones de la transformada de Fourier a grupos de simetría general , incluido el caso de las series de Fourier.
Que no hay una forma preferida (a menudo, se dice "ninguna forma canónica") para comparar las dos copias de la línea real que están involucradas en la transformada de Fourier; fijar las unidades en una línea no fuerza la escala de las unidades en la otra línea — es la razón de la plétora de convenciones rivales sobre la definición de la transformada de Fourier. Las diversas definiciones resultantes de diferentes elecciones de unidades se diferencian por varias constantes. Si las unidades de t están en segundos pero las unidades de ξ están en frecuencia angular, entonces la variable de frecuencia angular a menudo se denota con una u otra letra griega, por ejemplo, ω = 2π ξ es bastante común. Así (escribiendo x writing 1 para la definición alternativa y x̂ para la definición adoptada en este artículo)
La fórmula de inversión alternativa correspondiente es
Otra definición alternativa de la transformada de Fourier, con un factor de √ 2 π es
y la fórmula de inversión correspondiente es
En otras convenciones, la transformada de Fourier tiene i en el exponente en lugar de - i , y viceversa para la fórmula de inversión. Muchas de las identidades que involucran la transformada de Fourier siguen siendo válidas en esas convenciones, siempre que todos los términos que involucren explícitamente i lo reemplacen por - i .
Por ejemplo, en teoría de la probabilidad, la función característica φ de la función de densidad de probabilidad f de una variable aleatoria X de tipo continuo se define sin un signo negativo en la exponencial, y desde las unidades de x se ignoran, no hay 2 π cualquiera :
(En teoría de probabilidad y en estadística matemática, se prefiere el uso de la transformada de Fourier-Stieltjes, porque muchas variables aleatorias no son de tipo continuo y no poseen una función de densidad, y no se deben tratar funciones sino distribuciones , es decir, , medidas que poseen "átomos".)
Desde el punto de vista superior de los caracteres grupales , que es mucho más abstracto, todas estas elecciones arbitrarias desaparecen, como se explicará en la sección posterior de este artículo, que trata la noción de la transformada de Fourier de una función en un abeliano localmente compacto. grupo .
Continuidad uniforme y lema de Riemann-Lebesgue
La transformada de Fourier puede definirse en algunos casos para funciones no integrables, pero las transformadas de Fourier de funciones integrables tienen varias propiedades fuertes.
La transformada de Fourier f̂ de cualquier función integrable f es uniformemente continua y [15]
Según el lema de Riemann-Lebesgue , [16]
Sin emabargo, no necesita ser integrable. Por ejemplo, la transformada de Fourier de la función rectangular , que es integrable, es la función sinc , que no es integrable de Lebesgue , porque sus integrales impropias se comportan de manera análoga a la serie armónica alterna , al converger a una suma sin ser absolutamente convergente .
Generalmente no es posible escribir la transformada inversa como una integral de Lebesgue . Sin embargo, cuando tanto f como son integrables, la igualdad inversa
se mantiene en casi todas partes . Es decir, la transformada de Fourier es inyectiva en L 1 ( R ) . (Pero si f es continua, entonces la igualdad se cumple para cada x ).
Teorema de Plancherel y teorema de Parseval
Sean f ( x ) y g ( x ) integrables, y sean f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) sus transformadas de Fourier. Si f ( x ) y g ( x ) también son integrables en cuadrados , entonces la fórmula de Parseval sigue: [17]
donde la barra denota conjugación compleja .
El teorema de Plancherel , que se deriva de lo anterior, establece que [18]
El teorema de Plancherel permite extender la transformada de Fourier, mediante un argumento de continuidad, a un operador unitario en L 2 ( R ) . En L 1 ( R ) ∩ L 2 ( R ) , esta extensión concuerda con la transformada de Fourier original definida en L 1 ( R ) , ampliando así el dominio de la transformada de Fourier a L 1 ( R ) + L 2 ( R ) (y en consecuencia a L p ( R ) para 1 ≤ p ≤ 2 ). El teorema de Plancherel tiene la interpretación en las ciencias de que la transformada de Fourier conserva la energía de la cantidad original. La terminología de estas fórmulas no está del todo estandarizada. El teorema de Parseval fue probado solo para series de Fourier, y fue probado por primera vez por Lyapunov. Pero la fórmula de Parseval también tiene sentido para la transformada de Fourier, por lo que, aunque en el contexto de la transformada de Fourier fue probada por Plancherel, todavía se la conoce como fórmula de Parseval, o relación de Parseval, o incluso teorema de Parseval.
Ver dualidad de Pontryagin para una formulación general de este concepto en el contexto de grupos abelianos localmente compactos.
Fórmula de suma de Poisson
La fórmula de suma de Poisson (PSF) es una ecuación que relaciona los coeficientes de la serie de Fourier de la suma periódica de una función con los valores de la transformada de Fourier continua de la función. La fórmula de suma de Poisson dice que para funciones suficientemente regulares f ,
Tiene una variedad de formas útiles que se derivan de la básica mediante la aplicación de las propiedades de cambio de escala y cambio de tiempo de la transformada de Fourier. La fórmula tiene aplicaciones en ingeniería, física y teoría de números . El dual en el dominio de la frecuencia de la fórmula de suma de Poisson estándar también se denomina transformada de Fourier de tiempo discreto .
La suma de Poisson generalmente se asocia con la física de los medios periódicos, como la conducción de calor en un círculo. La solución fundamental de la ecuación del calor en un círculo se llama función theta . Se utiliza en teoría de números para probar las propiedades de transformación de las funciones theta, que resultan ser un tipo de forma modular , y se conecta más generalmente a la teoría de formas automórficas donde aparece en un lado de la fórmula de trazas de Selberg .
Diferenciación
Suponga que f ( x ) es una función diferenciable absolutamente continua, y tanto f como su derivada f ′ son integrables. Entonces la transformada de Fourier de la derivada viene dada por
De manera más general, la transformación de Fourier de la n- ésima derivada f ( n ) está dada por
Aplicando la transformada de Fourier y usando estas fórmulas, algunas ecuaciones diferenciales ordinarias se pueden transformar en ecuaciones algebraicas, que son mucho más fáciles de resolver. Estas fórmulas también dan lugar a la regla empírica " f ( x ) es suave si y solo si f̂ ( ξ ) cae rápidamente a 0 para | ξ | → ∞ ". Al usar las reglas análogas para la transformada inversa de Fourier, también se puede decir " f ( x ) cae rápidamente a 0 para | x | → ∞ si y solo si f̂ ( ξ ) es suave".
Teorema de convolución
La transformada de Fourier se traduce entre convolución y multiplicación de funciones. Si f ( x ) y g ( x ) son funciones integrables con transformadas de Fourier f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) respectivamente, entonces la transformada de Fourier de la convolución viene dada por el producto de las transformadas de Fourier f̂ ( ξ ) y ĝ ( ξ ) (bajo otras convenciones para la definición de la transformada de Fourier puede aparecer un factor constante).
Esto significa que si:
donde ∗ denota la operación de convolución, entonces:
En la teoría del sistema invariante en el tiempo lineal (LTI) , es común interpretar g ( x ) como la respuesta al impulso de un sistema LTI con entrada f ( x ) y salida h ( x ) , ya que se sustituye el impulso unitario por f ( x ) produce h ( x ) = g ( x ) . En este caso, ĝ ( ξ ) representa la respuesta de frecuencia del sistema.
A la inversa, si f ( x ) se puede descomponer como el producto de dos cuadrados integrable funciones p ( x ) y q ( x ) , entonces la transformada de Fourier de f ( x ) viene dada por la convolución de la respectiva Fourier transforma p ( ξ ) y q̂ ( ξ ) .
Teorema de correlación cruzada
De manera análoga, se puede demostrar que si h ( x ) es la correlación cruzada de f ( x ) y g ( x ) :
entonces la transformada de Fourier de h ( x ) es:
Como caso especial, la autocorrelación de la función f ( x ) es:
para cual
Funciones propias
Una elección importante de una base ortonormal para L 2 ( R ) viene dada por las funciones de Hermite
donde He n ( x ) son los polinomios de Hermite del "probabilista" , definidos como
Bajo esta convención para la transformada de Fourier, tenemos que
- .
En otras palabras, las funciones de Hermite forman un sistema ortonormal completo de funciones propias para la transformada de Fourier en L 2 ( R ) . [14] Sin embargo, esta elección de funciones propias no es única. Solo hay cuatro valores propios diferentes de la transformada de Fourier (± 1 y ± i ) y cualquier combinación lineal de funciones propias con el mismo valor propio da otra función propia. Como consecuencia de esto, es posible descomponer L 2 ( R ) como una suma directa de cuatro espacios H 0 , H 1 , H 2 y H 3 donde la transformada de Fourier actúa sobre He k simplemente por multiplicación por i k .
Dado que el conjunto completo de funciones de Hermite proporciona una resolución de la identidad, la transformada de Fourier se puede representar mediante tal suma de términos ponderados por los valores propios anteriores, y estas sumas se pueden sumar explícitamente. Este enfoque para definir la transformada de Fourier fue realizado por primera vez por Norbert Wiener . [19] Entre otras propiedades, las funciones de Hermite disminuyen exponencialmente rápido tanto en los dominios de frecuencia como de tiempo, por lo que se utilizan para definir una generalización de la transformada de Fourier, a saber, la transformada fraccional de Fourier utilizada en el análisis de tiempo-frecuencia. [20] En física , esta transformación fue introducida por Edward Condon . [21]
Conexión con el grupo de Heisenberg
El grupo de Heisenberg es un cierto grupo de operadores unitarios en el espacio de Hilbert L 2 ( R ) de funciones cuadradas integrables valuadas complejas f en la línea real, generadas por las traslaciones ( T y f ) ( x ) = f ( x + y ) y multiplicación por e 2π ixξ , ( M ξ f ) ( x ) = e 2π ixξ f ( x ) . Estos operadores no se desplazan, ya que su conmutador (grupo) es
que es la multiplicación por la constante (independiente de x ) e 2π iyξ ∈ U (1) (el grupo circular de números complejos de módulo unitario). Como grupo abstracto, el grupo de Heisenberg es el grupo de Lie tridimensional de triples ( x , ξ , z ) ∈ R 2 × U (1) , con la ley de grupo
Denote el grupo de Heisenberg por H 1 . El procedimiento anterior describe no solo la estructura del grupo, sino también una representación unitaria estándar de H 1 en un espacio de Hilbert, que denotamos por ρ : H 1 → B ( L 2 ( R )) . Defina el automorfismo lineal de R 2 por
de modo que J 2 = - I . Esta J puede extenderse a un automorfismo único de H 1 :
Según el teorema de Stone-von Neumann , las representaciones unitarias ρ y ρ ∘ j son unitariamente equivalentes, por lo que existe un entrelazado único W ∈ U ( L 2 ( R )) tal que
Este operador W es la transformada de Fourier.
Muchas de las propiedades estándar de la transformada de Fourier son consecuencias inmediatas de este marco más general. [22] Por ejemplo, el cuadrado de la transformada de Fourier, W 2 , es un entrelazado asociado con J 2 = - I , por lo que tenemos ( W 2 f ) ( x ) = f (- x ) es el reflejo de la función original f .
Dominio complejo
La integral de la transformada de Fourier
se puede estudiar para valores complejos de su argumento ξ . Dependiendo de las propiedades de f , esto podría no converger fuera del eje real en absoluto, o podría converger a una función analítica compleja para todos los valores de ξ = σ + iτ , o algo intermedio. [23]
El teorema de Paley-Wiener dice que f es suave (es decir, n veces diferenciable para todos los números enteros positivos n ) y se soporta de manera compacta si y solo si f̂ ( σ + iτ ) es una función holomórfica para la cual existe una constante a > 0 tal que para cualquier número entero n ≥ 0 ,
para alguna constante C . (En este caso, f se apoya en [- a , a ] .) Esto se puede expresar diciendo que f̂ es una función completa que está disminuyendo rápidamente en σ (para τ fijo ) y de crecimiento exponencial en τ (uniformemente en σ ). [24]
(Si f no es suave, pero sólo L 2 , la declaración todavía posea, siempre n = 0 . [25] ) El espacio de tales funciones de una variable compleja se llama el espacio de Paley-Wiener. Este teorema se ha generalizado a grupos de Lie semisimplejos . [26]
Si f se apoya en la media línea t ≥ 0 , entonces se dice que f es "causal" porque la función de respuesta al impulso de un filtro físicamente realizable debe tener esta propiedad, ya que ningún efecto puede preceder a su causa. Paley y Wiener demostraron que entonces f̂ se extiende a una función holomórfica en el semiplano inferior complejo τ <0 que tiende a cero cuando τ llega al infinito. [27] Lo contrario es falso y no se sabe cómo caracterizar la transformada de Fourier de una función causal. [28]
Transformada de Laplace
La transformada de Fourier f̂ ( ξ ) está relacionada con la transformada de Laplace F ( s ) , que también se utiliza para la solución de ecuaciones diferenciales y el análisis de filtros .
Puede suceder que una función f para la cual la integral de Fourier no converja en absoluto en el eje real, tenga sin embargo una transformada de Fourier compleja definida en alguna región del plano complejo .
Por ejemplo, si f ( t ) es de crecimiento exponencial, es decir,
para algunas constantes C , a ≥ 0 , entonces [29]
convergente para todo 2π τ <- a , es la transformada de Laplace bilateral de f .
La versión más habitual ("unilateral") de la transformada de Laplace es
Si f también es causal, entonces
Por lo tanto, extender la transformada de Fourier al dominio complejo significa que incluye la transformada de Laplace como un caso especial, el caso de las funciones causales, pero con el cambio de la variable s = 2π iξ .
Inversión
Si f̂ es analítica compleja para a ≤ τ ≤ b , entonces
por el teorema de la integral de Cauchy . Por lo tanto, la fórmula de inversión de Fourier puede utilizar la integración a lo largo de diferentes líneas, paralelas al eje real. [30]
Teorema: Si f ( t ) = 0 para t <0 , y | f ( t ) | < Ce a | t | para algunas constantes C , a > 0 , entonces
para cualquier τ <- a/2π.
Este teorema implica la fórmula de inversión de Mellin para la transformación de Laplace, [29]
para cualquier b > a , donde F ( s ) es la transformada de Laplace de f ( t ) .
Las hipótesis pueden debilitarse, como en los resultados de Carleman y Hunt, af ( t ) e - al ser L 1 , siempre que f sea de variación acotada en una vecindad cerrada de t (véase el teorema de Dirichlet-Dini ), el El valor de f en t se toma como la media aritmética de los límites izquierdo y derecho, y siempre que las integrales se tomen en el sentido de los valores principales de Cauchy. [31]
También están disponibles versiones L 2 de estas fórmulas de inversión. [32]
Transformada de Fourier en el espacio euclidiano
La transformada de Fourier se puede definir en cualquier número arbitrario de dimensiones n . Al igual que en el caso unidimensional, existen muchas convenciones. Para una función integrable f ( x ) , este artículo toma la definición:
donde x y ξ son vectores n- dimensionales , y x · ξ es el producto escalar de los vectores. Alternativamente, ξ puede verse como perteneciente al espacio vectorial dual , En cuyo caso el producto escalar se convierte en la contracción de x y ξ , generalmente escrito como ⟨ x , ξ ⟩ .
Todas las propiedades básicas enumeradas anteriormente son válidas para la transformada de Fourier n- dimensional, al igual que el teorema de Plancherel y Parseval. Cuando la función es integrable, la transformada de Fourier sigue siendo uniformemente continua y se mantiene el lema de Riemann-Lebesgue . [dieciséis]
Principio de incertidumbre
En términos generales, cuanto más concentrada sea f ( x ) , más extendida debe estar su transformada de Fourier f̂ ( ξ ) . En particular, la propiedad de escalamiento de la transformada de Fourier puede verse como diciendo: si apretamos una función en x , su transformada de Fourier se estira en ξ . No es posible concentrar arbitrariamente tanto una función como su transformada de Fourier.
La compensación entre la compactación de una función y su transformada de Fourier se puede formalizar en la forma de un principio de incertidumbre al considerar una función y su transformada de Fourier como variables conjugadas con respecto a la forma simpléctica en el dominio tiempo-frecuencia : de Desde el punto de vista de la transformación canónica lineal , la transformada de Fourier es una rotación de 90 ° en el dominio tiempo-frecuencia y conserva la forma simpléctica .
Suponga que f ( x ) es una función integrable y cuadrada integrable . Sin pérdida de generalidad, suponga que f ( x ) está normalizada:
Del teorema de Plancherel se deduce que f̂ ( ξ ) también está normalizado.
La dispersión alrededor de x = 0 puede medirse mediante la dispersión alrededor de cero [33] definida por
En términos de probabilidad, este es el segundo momento de | f ( x ) | 2 aproximadamente cero.
El principio de incertidumbre establece que, si f ( x ) es absolutamente continua y las funciones x · f ( x ) y f ′ ( x ) son integrables al cuadrado, entonces [14]
- .
La igualdad se logra solo en el caso
donde σ > 0 es arbitrario y C 1 = 4 √ 2/√ σde modo que f es L 2 normalizado. [14] En otras palabras, donde f es una función gaussiana (normalizada) con varianza σ 2 , centrada en cero, y su transformada de Fourier es una función gaussiana con varianza σ −2 .
De hecho, esta desigualdad implica que:
para cualquier x 0 , xi 0 ∈ R . [13]
En mecánica cuántica , las funciones de onda de momento y posición son pares de transformadas de Fourier, dentro de un factor de la constante de Planck . Con esta constante debidamente tomada en cuenta, la desigualdad anterior se convierte en el enunciado del principio de incertidumbre de Heisenberg . [34]
Un principio de incertidumbre más fuerte es el principio de incertidumbre de Hirschman , que se expresa como:
donde H ( p ) es la entropía diferencial de la función de densidad de probabilidad p ( x ) :
donde los logaritmos pueden estar en cualquier base que sea consistente. La igualdad se logra para un gaussiano, como en el caso anterior.
Transformaciones de seno y coseno
La formulación original de Fourier de la transformada no usaba números complejos, sino más bien senos y cosenos. Los estadísticos y otros todavía utilizan este formulario. Una función f absolutamente integrable para la cual se cumple la inversión de Fourier se puede expandir en términos de frecuencias genuinas (evitando frecuencias negativas, que a veces se consideran difíciles de interpretar físicamente [35] ) λ por
Esto se llama expansión como integral trigonométrica o expansión integral de Fourier. Las funciones del coeficiente de una y b se puede encontrar mediante el uso de variantes de la Fourier transformada de coseno y el Fourier sinusoidal de transformación (las normalizaciones son, de nuevo, no estandarizada):
y
La literatura más antigua se refiere a las dos funciones transformadas, la transformada del coseno de Fourier, a , y la transformada del seno de Fourier, b .
La función f se puede recuperar de la transformada de seno y coseno usando
junto con identidades trigonométricas. Esto se conoce como fórmula integral de Fourier. [29] [36] [37] [38]
Armónicos esféricos
Deje que el conjunto de homogéneos armónicas polinomios de grado k en R n ser denotado por A k . El conjunto A k consta de los armónicos esféricos sólidos de grado k . Los armónicos esféricos sólidos juegan un papel similar en dimensiones superiores a los polinomios de Hermite en dimensión uno. Específicamente, si f ( x ) = e −π | x | 2 P ( x ) para algo de P ( x ) en A k , entonces f̂ ( ξ ) = i - k f ( ξ ) . Sea el conjunto H k el cierre en L 2 ( R n ) de combinaciones lineales de funciones de la forma f (| x |) P ( x ) donde P ( x ) está en A k . El espacio L 2 ( R n ) es entonces una suma directa de los espacios H k y la transformada de Fourier mapea cada espacio H k a sí misma y es posible caracterizar la acción de la transformada de Fourier en cada espacio H k . [dieciséis]
Sea f ( x ) = f 0 (| x |) P ( x ) (con P ( x ) en A k ), entonces
dónde
Aquí Jn + 2 k - 2/2denota la función de Bessel del primer tipo con ordenn + 2 k - 2/2. Cuando k = 0, esto da una fórmula útil para la transformada de Fourier de una función radial. [39] Esta es esencialmente la transformada de Hankel . Por otra parte, hay una recursión sencillo relacionar los casos n + 2 y n [40] que permite calcular, por ejemplo, el tridimensional transformada de Fourier de una función radial desde el unidimensional uno.
Problemas de restricción
En dimensiones superiores resulta interesante estudiar los problemas de restricción de la transformada de Fourier. La transformada de Fourier de una función integrable es continua y la restricción de esta función a cualquier conjunto está definida. Pero para una función integrable al cuadrado, la transformada de Fourier podría ser una clase general de funciones integrables al cuadrado. Como tal, la restricción de la transformada de Fourier de una función L 2 ( R n ) no se puede definir en conjuntos de medida 0. Sigue siendo un área de estudio activa para comprender los problemas de restricción en L p para 1 < p <2 . Sorprendentemente, en algunos casos es posible definir la restricción de una transformada de Fourier a un conjunto S , siempre que S tenga una curvatura distinta de cero. El caso en el que S es la esfera unitaria en R n es de particular interés. En este caso, el teorema de restricción de Tomas- Stein establece que la restricción de la transformada de Fourier a la esfera unitaria en R n es un operador acotado en L p siempre que 1 ≤ p ≤ 2 n + 2/n + 3.
Una diferencia notable entre la transformada de Fourier en una dimensión frente a las dimensiones superiores se refiere al operador de suma parcial. Considere una creciente colección de conjuntos medibles E R indexado por R ∈ (0, ∞) : tales como bolas de radio R con centro en el origen, o cubos de lado 2 R . Para una función integrable dada f , considere la función f R definida por:
Supongamos además que f ∈ L p ( R n ) . Para n = 1 y 1 < p <∞ , si se toma E R = (- R , R ) , entonces f R converge af en L p cuando R tiende a infinito, por la acotación de la transformada de Hilbert . Ingenuamente, uno puede esperar que lo mismo sea cierto para n > 1 . En el caso de que se considere que E R es un cubo con una longitud de lado R , la convergencia aún se mantiene. Otro candidato natural es la bola euclidiana E R = { ξ : | ξ | < R } . Para que este operador de suma parcial converja, es necesario que el multiplicador de la bola unitaria esté acotado en L p ( R n ) . Para n ≥ 2 , es un célebre teorema de Charles Fefferman que el multiplicador de la bola unitaria nunca está acotado a menos que p = 2 . [19] De hecho, cuando p ≠ 2 , esto muestra que no solo f R puede fallar en converger af en L p , sino que para algunas funciones f ∈ L p ( R n ) , f R ni siquiera es un elemento de L p .
Transformada de Fourier en espacios funcionales
En espacios L p
En L 1
La definición de la transformada de Fourier por la fórmula integral
es válido para funciones integrables de Lebesgue f ; es decir, f ∈ L 1 ( R n ) .
La transformada de Fourier F : L 1 ( R n ) → L ∞ ( R n ) es un operador acotado . Esto se desprende de la observación de que
lo que muestra que su norma de operador está limitada por 1. De hecho, es igual a 1, lo que puede verse, por ejemplo, en la transformada de la función rect . La imagen de L 1 es un subconjunto del espacio C 0 ( R n ) de funciones continuas que tienden a cero en el infinito (el lema de Riemann-Lebesgue ), aunque no es el espacio completo. De hecho, no existe una caracterización simple de la imagen.
En L 2
Dado que las funciones suaves con soporte compacto son integrables y densas en L 2 ( R n ) , el teorema de Plancherel nos permite extender la definición de la transformada de Fourier a funciones generales en L 2 ( R n ) mediante argumentos de continuidad. La transformada de Fourier en L 2 ( R n ) ya no está dada por una integral de Lebesgue ordinaria, aunque puede calcularse mediante una integral impropia , lo que significa que para una función L 2 f ,
donde el límite se toma en el sentido L 2 . (De manera más general, puede tomar una secuencia de funciones que están en la intersección de L 1 y L 2 y que converge af en la norma L 2 , y definir la transformada de Fourier de f como el límite L 2 de la norma de Fourier transforma de estas funciones. [41] )
Muchas de las propiedades de la transformada de Fourier en L 1 se transfieren a L 2 , mediante un argumento limitante adecuado.
Además, F : L 2 ( R n ) → L 2 ( R n ) es un operador unitario . [42] Para que un operador sea unitario es suficiente mostrar que es biyectivo y conserva el producto interno, por lo que en este caso se siguen del teorema de inversión de Fourier combinado con el hecho de que para cualquier f , g ∈ L 2 ( R n ) tenemos
En particular, la imagen de L 2 ( R n ) está ella misma bajo la transformada de Fourier.
En otro L p
La definición de la transformada de Fourier puede extenderse a funciones en L p ( R n ) para 1 ≤ p ≤ 2 descomponiendo dichas funciones en una parte de la cola grasa en L 2 más una parte del cuerpo graso en L 1 . En cada uno de estos espacios, la transformada de Fourier de una función en L p ( R n ) está en L q ( R n ) , donde q = pag/p - 1es el conjugado de Hölder de p (por la desigualdad de Hausdorff-Young ). Sin embargo, a excepción de p = 2 , la imagen no se caracteriza fácilmente. Otras extensiones se vuelven más técnicas. La transformada de Fourier de funciones en L p para el rango 2 < p <∞ requiere el estudio de distribuciones. [15] De hecho, se puede demostrar que existen funciones en L p con p > 2 por lo que la transformada de Fourier no se define como una función. [dieciséis]
Distribuciones templadas
Se podría considerar ampliar el dominio de la transformada de Fourier de L 1 + L 2 considerando funciones generalizadas o distribuciones. Una distribución en R n es un funcional lineal continuo en el espacio C c ( R n ) de funciones suaves con soporte compacto, equipado con una topología adecuada. La estrategia es entonces considerar la acción de la transformada de Fourier sobre C c ( R n ) y pasar a distribuciones por dualidad. El obstáculo para hacer esto es que la transformada de Fourier no mapea C c ( R n ) a C c ( R n ) . De hecho, la transformada de Fourier de un elemento en C c ( R n ) no puede desaparecer en un conjunto abierto; ver la discusión anterior sobre el principio de incertidumbre. El espacio correcto aquí es el espacio un poco más grande de funciones de Schwartz . La transformada de Fourier es un automorfismo en el espacio de Schwartz, como un espacio vectorial topológico, y por lo tanto induce un automorfismo en su dual, el espacio de distribuciones templadas. [16] Las distribuciones templadas incluyen todas las funciones integrables mencionadas anteriormente, así como funciones de crecimiento polinómico y distribuciones de soporte compacto que se comportan bien.
Para la definición de la transformada de Fourier de una distribución templada, dejar que f y g son funciones integrables, y dejar que f y g son sus transformadas de Fourier, respectivamente. Entonces la transformada de Fourier obedece a la siguiente fórmula de multiplicación, [16]
Toda función integrable f define (induce) una distribución T f por la relación
para todas las funciones de Schwartz φ . Entonces tiene sentido definir la transformada de Fourier T̂ f de T f por
para todas las funciones de Schwartz φ . Al extender esto a todas las distribuciones templadas T, se obtiene la definición general de la transformada de Fourier.
Las distribuciones se pueden diferenciar y la compatibilidad mencionada anteriormente de la transformada de Fourier con la diferenciación y la convolución sigue siendo cierta para las distribuciones templadas.
Generalizaciones
Transformada de Fourier-Stieltjes
La transformada de Fourier de una medida finita de Borel μ en R n viene dada por: [43]
Esta transformada continúa disfrutando de muchas de las propiedades de la transformada de Fourier de funciones integrables. Una diferencia notable es que el lema de Riemann-Lebesgue falla en las medidas. [15] En el caso de que dμ = f ( x ) dx , entonces la fórmula anterior se reduce a la definición habitual para la transformada de Fourier de f . En el caso de que μ sea la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria X , la transformada de Fourier-Stieltjes está estrechamente relacionada con la función característica , pero las convenciones típicas en la teoría de la probabilidad toman e ixξ en lugar de e −2π ixξ . [14] En el caso de que la distribución tenga una función de densidad de probabilidad, esta definición se reduce a la transformada de Fourier aplicada a la función de densidad de probabilidad, nuevamente con una elección diferente de constantes.
La transformada de Fourier se puede utilizar para dar una caracterización de medidas. El teorema de Bochner caracteriza qué funciones pueden surgir como la transformada de Fourier-Stieltjes de una medida positiva en el círculo. [15]
Además, la función delta de Dirac , aunque no es una función, es una medida de Borel finita . Su transformada de Fourier es una función constante (cuyo valor específico depende de la forma de la transformada de Fourier utilizada).
Grupos abelianos localmente compactos
La transformada de Fourier se puede generalizar a cualquier grupo abeliano localmente compacto. Un grupo abeliano localmente compacto es un grupo abeliano que es al mismo tiempo un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto , de modo que la operación del grupo es continua. Si G es un grupo abeliano localmente compacto, tiene una medida invariante de traducción μ , denominada medida de Haar . Para un grupo abeliano G localmente compacto , el conjunto de representaciones unitarias irreductibles, es decir, unidimensionales, se denominan caracteres . Con su estructura natural y la topología de la convergencia puntual, el conjunto de caracteres Ĝ es en sí misma un grupo abeliano localmente compacto, llamado el Pontryagin doble de G . Para una función f en L 1 ( G ) , su transformada de Fourier está definida por [15]
El lema de Riemann-Lebesgue es válido en este caso; f̂ ( ξ ) es una función que desaparece al infinito en Ĝ .
La transformada de Fourier en T = R / Z es un ejemplo; aquí T es un grupo abeliano localmente compacto, y la medida de Haar μ en T puede considerarse como la medida de Lebesgue en [0,1). Considere la representación de T en el plano complejo C que es un espacio vectorial complejo unidimensional. Hay un grupo de representaciones (que son irreductibles ya que C es 1-tenue) dónde por .
El carácter de tal representación, que es el rastro de para cada y , es sí mismo. En el caso de la representación de un grupo finito, la tabla de caracteres del grupo G son filas de vectores tales que cada fila es el carácter de una representación irreducible de G , y estos vectores forman una base ortonormal del espacio de funciones de clase que mapean desde G a C por el lema de Schur. Ahora el grupo T ya no es finito, sigue siendo compacto y conserva la ortonormalidad de la tabla de caracteres. Cada fila de la tabla es la función de y el producto interno entre dos funciones de clase (todas las funciones son funciones de clase ya que T es abeliano) Se define como con el factor normalizador . La secuencia es una base ortonormal del espacio de funciones de clase .
Para cualquier representación V de un grupo finito G , se puede expresar como el lapso (son los irreps de G ), de modo que. Similarmente para y , . El dual Pontriagin es y para , es su transformada de Fourier para .
Transformación de gelfand
La transformada de Fourier también es un caso especial de la transformada Gelfand . En este contexto particular, está estrechamente relacionado con el mapa de dualidad de Pontryagin definido anteriormente.
Dado un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto abeliano G , como antes, consideramos el espacio L 1 ( G ) , definido usando una medida de Haar. Con la convolución como multiplicación, L 1 ( G ) es un álgebra abeliana de Banach . También tiene una involución * dada por
Tomando la realización con respecto a la más grande, posiblemente, C * -norma da su envolvente C * -algebra, llamado el grupo C * -algebra C * ( G ) de G . (Cualquier norma C * en L 1 ( G ) está limitada por la norma L 1 , por lo tanto, existe su supremacía).
Dado cualquier abeliano C * -álgebra A , la transformada de Gelfand da un isomorfismo entre A y C 0 ( A ^) , donde A ^ son los funcionales lineales multiplicativos, es decir, representaciones unidimensionales, en A con la topología débil- *. El mapa viene dado simplemente por
Resulta que los funcionales lineales multiplicativos de C * ( G ) , después de una identificación adecuada, son exactamente los caracteres de G , y la transformada de Gelfand, cuando se restringe al subconjunto denso L 1 ( G ) es la transformada de Fourier-Pontryagin.
Grupos compactos no abelianos
La transformada de Fourier también se puede definir para funciones en un grupo no abeliano, siempre que el grupo sea compacto . Eliminando el supuesto de que el grupo subyacente es abeliano, las representaciones unitarias irreductibles no siempre tienen que ser unidimensionales. Esto significa que la transformada de Fourier en un grupo no abeliano toma valores como operadores espaciales de Hilbert. [44] La transformada de Fourier en grupos compactos es una herramienta importante en la teoría de la representación [45] y el análisis armónico no conmutativo .
Sea G un grupo topológico compacto de Hausdorff . Sea Σ la colección de todas las clases de isomorfismos de representaciones unitarias irreducibles de dimensión finita , junto con una elección definida de representación U ( σ ) en el espacio de Hilbert H σ de dimensión finita d σ para cada σ ∈ Σ . Si μ es una medida de Borel finita en G , entonces la transformada de Fourier-Stieltjes de μ es el operador en H σ definido por
donde U ( σ ) es la representación conjugada compleja de U ( σ ) que actúa sobre H σ . Si μ es absolutamente continuo con respecto a la medida de probabilidad invariante a la izquierda λ en G , representada como
para algunos f ∈ L 1 ( λ ) , se identifica la transformada de Fourier de f con la transformada de Fourier-Stieltjes de μ .
El mapeo
define un isomorfismo entre el espacio de Banach M ( G ) de medidas finitas de Borel (ver espacio rca ) y un subespacio cerrado del espacio de Banach C ∞ (Σ) que consta de todas las secuencias E = ( E σ ) indexadas por Σ de (acotado) operadores lineales E σ : H σ → H σ para los cuales la norma
es finito. El " teorema de la convolución " afirma que, además, este isomorfismo de los espacios de Banach es de hecho un isomorfismo isométrico de C * álgebras en un subespacio de C ∞ (Σ) . La multiplicación en M ( G ) está dada por la convolución de medidas y la involución * definida por
y C ∞ (Σ) tiene una estructura de álgebra C * natural como los operadores espaciales de Hilbert.
Se cumple el teorema de Peter-Weyl , y sigue una versión de la fórmula de inversión de Fourier ( teorema de Plancherel ): si f ∈ L 2 ( G ) , entonces
donde la sumatoria se entiende como convergente en el sentido L 2 .
La generalización de la transformada de Fourier a la situación no conmutativa también ha contribuido en parte al desarrollo de la geometría no conmutativa . [ cita requerida ] En este contexto, una generalización categórica de la transformada de Fourier a grupos no conmutativos es la dualidad Tannaka-Kerin , que reemplaza el grupo de personajes con la categoría de representaciones. Sin embargo, esto pierde la conexión con las funciones armónicas.
Alternativas
En términos de procesamiento de señales , una función (de tiempo) es una representación de una señal con una resolución de tiempo perfecta , pero sin información de frecuencia, mientras que la transformada de Fourier tiene una resolución de frecuencia perfecta , pero sin información de tiempo: la magnitud de la transformada de Fourier en un punto es cuánto contenido de frecuencia hay, pero la ubicación solo se da por fase (argumento de la transformada de Fourier en un punto), y las ondas estacionarias no se localizan en el tiempo: una onda sinusoidal continúa hasta el infinito, sin decaer. Esto limita la utilidad de la transformada de Fourier para analizar señales que están localizadas en el tiempo, en particular transitorios , o cualquier señal de extensión finita.
Como alternativas a la transformada de Fourier, en el análisis de tiempo-frecuencia , se usan transformadas de tiempo-frecuencia o distribuciones de tiempo-frecuencia para representar señales en una forma que tiene alguna información de tiempo y alguna información de frecuencia - por el principio de incertidumbre, hay un intercambio- entre estos. Estas pueden ser generalizaciones de la transformada de Fourier, como la transformada de Fourier de corta duración o la transformada de Fourier fraccional , u otras funciones para representar señales, como en las transformadas de ondícula y de chirplet , siendo el análogo de ondícula de la transformada de Fourier (continua) la transformada de ondícula continua . [20]
Aplicaciones
Análisis de ecuaciones diferenciales
Quizás el uso más importante de la transformación de Fourier es resolver ecuaciones diferenciales parciales . Muchas de las ecuaciones de la física matemática del siglo XIX pueden tratarse de esta manera. Fourier estudió la ecuación del calor, que en una dimensión y en unidades adimensionales es
El ejemplo que daremos, un poco más difícil, es la ecuación de onda en una dimensión,
Como es habitual, el problema no es encontrar una solución: hay infinitos. El problema es el del llamado "problema de frontera": encontrar una solución que satisfaga las "condiciones de frontera"
Aquí, f y g son funciones dadas. Para la ecuación de calor, solo se puede requerir una condición de contorno (generalmente la primera). Pero para la ecuación de onda, todavía hay infinitas soluciones y que satisfacen la primera condición de frontera. Pero cuando se imponen ambas condiciones, solo hay una solución posible.
Es más fácil encontrar la transformada de Fourier ŷ de la solución que encontrar la solución directamente. Esto se debe a que la transformación de Fourier toma la diferenciación en multiplicación por la variable dual de Fourier, por lo que una ecuación diferencial parcial aplicada a la función original se transforma en multiplicación por funciones polinómicas de las variables duales aplicadas a la función transformada. Una vez que se determina ŷ , podemos aplicar la transformación de Fourier inversa para encontrar y .
El método de Fourier es el siguiente. Primero, tenga en cuenta que cualquier función de las formas
satisface la ecuación de onda. Éstas se denominan soluciones elementales.
En segundo lugar, observe que, por lo tanto, cualquier integral
(para a + , a - , b + , b - arbitrarios ) satisface la ecuación de onda. (Esta integral es solo una especie de combinación lineal continua y la ecuación es lineal).
Ahora bien, esto se parece a la fórmula para la síntesis de Fourier de una función. De hecho, esta es la transformada de Fourier inversa real de a ± y b ± en la variable x .
El tercer paso es examinar cómo encontrar las funciones de coeficientes desconocidas específicas a ± y b ± que llevarán a y a satisfacer las condiciones de contorno. Estamos interesados en los valores de estas soluciones en t = 0 . Entonces estableceremos t = 0 . Suponiendo que se satisfacen las condiciones necesarias para la inversión de Fourier, podemos encontrar las transformadas de seno y coseno de Fourier (en la variable x ) de ambos lados y obtener
y
De manera similar, tomando la derivada de y con respecto a t y luego aplicando las transformaciones de seno y coseno de Fourier, se obtiene
y
Estas son cuatro ecuaciones lineales para las cuatro incógnitas a ± y b ± , en términos de las transformadas de seno y coseno de Fourier de las condiciones de contorno, que se resuelven fácilmente mediante álgebra elemental, siempre que se puedan encontrar estas transformadas.
En resumen, elegimos un conjunto de soluciones elementales, parametrizadas por ξ , cuya solución general sería una combinación lineal (continua) en forma de integral sobre el parámetro ξ . Pero esta integral tenía la forma de una integral de Fourier. El siguiente paso fue expresar las condiciones de contorno en términos de estas integrales y hacerlas iguales a las funciones f y g dadas . Pero estas expresiones también tomaron la forma de una integral de Fourier debido a las propiedades de la transformada de Fourier de una derivada. El último paso fue explotar la inversión de Fourier aplicando la transformación de Fourier a ambos lados, obteniendo así expresiones para las funciones de coeficientes a ± y b ± en términos de las condiciones de contorno dadas f y g .
Desde un punto de vista superior, el procedimiento de Fourier puede reformularse de manera más conceptual. Dado que hay dos variables, usaremos la transformación de Fourier tanto en x como en t en lugar de operar como lo hizo Fourier, que solo transformó en las variables espaciales. Tenga en cuenta que ŷ debe considerarse en el sentido de una distribución, ya que y ( x , t ) no va a ser L 1 : como onda, persistirá en el tiempo y, por lo tanto, no es un fenómeno transitorio. Pero estará acotado y, por lo tanto, su transformada de Fourier se puede definir como una distribución. Las propiedades operacionales de la transformación de Fourier que son relevantes para esta ecuación son que se necesita diferenciación en x para multiplicar por 2π iξ y diferenciación con respecto a t para multiplicar por 2π si donde f es la frecuencia. Entonces la ecuación de onda se convierte en una ecuación algebraica en ŷ :
Esto es equivalente a requerir ŷ ( ξ , f ) = 0 a menos que ξ = ± f . De inmediato, esto explica por qué la elección de las soluciones elementales que hicimos anteriormente funcionó tan bien: obviamente, f̂ = δ ( ξ ± f ) serán soluciones. Aplicando la inversión de Fourier a estas funciones delta, obtenemos las soluciones elementales que elegimos anteriormente. Pero desde el punto de vista superior, uno no elige soluciones elementales, sino que considera el espacio de todas las distribuciones que se apoyan en la cónica (degenerada) ξ 2 - f 2 = 0 .
También podemos considerar las distribuciones apoyadas en la cónica que están dadas por las distribuciones de una variable en la línea ξ = f más distribuciones en la línea ξ = - f de la siguiente manera: si ϕ es cualquier función de prueba,
donde s + y s - , son distribuciones de una variable.
Entonces la inversión de Fourier da, para las condiciones de contorno, algo muy similar a lo que teníamos más concretamente arriba (poner ϕ ( ξ , f ) = e 2π i ( xξ + tf ) , que es claramente de crecimiento polinomial):
y
Ahora, como antes, al aplicar la transformación de Fourier de una variable en la variable x a estas funciones de x se obtienen dos ecuaciones en las dos distribuciones desconocidas s ± (que pueden tomarse como funciones ordinarias si las condiciones de contorno son L 1 o L 2 ).
Desde el punto de vista del cálculo, el inconveniente, por supuesto, es que primero se deben calcular las transformadas de Fourier de las condiciones de contorno, luego ensamblar la solución a partir de éstas y luego calcular una transformada de Fourier inversa. Las fórmulas de forma cerrada son raras, excepto cuando hay alguna simetría geométrica que se puede explotar y los cálculos numéricos son difíciles debido a la naturaleza oscilatoria de las integrales, lo que hace que la convergencia sea lenta y difícil de estimar. Para cálculos prácticos, a menudo se utilizan otros métodos.
El siglo XX ha visto la extensión de estos métodos a todas las ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes polinomiales, y al extender la noción de transformación de Fourier para incluir operadores integrales de Fourier, también algunas ecuaciones no lineales.
Espectroscopia de transformada de Fourier
La transformada de Fourier también se utiliza en resonancia magnética nuclear (RMN) y en otros tipos de espectroscopía , por ejemplo, infrarroja ( FTIR ). En RMN, se adquiere una señal de desintegración por inducción libre (FID) de forma exponencial en el dominio del tiempo y se transforma de Fourier a una forma de línea de Lorentz en el dominio de frecuencia. La transformada de Fourier también se utiliza en imágenes por resonancia magnética (MRI) y espectrometría de masas .
Mecánica cuántica
La transformada de Fourier es útil en mecánica cuántica de dos formas diferentes. Para empezar, la estructura conceptual básica de la mecánica cuántica postula la existencia de pares de variables complementarias , conectadas por el principio de incertidumbre de Heisenberg . Por ejemplo, en una dimensión, la variable espacial q de, digamos, una partícula, sólo puede ser medida por el " operador de posición " de la mecánica cuántica a costa de perder información sobre el momento p de la partícula. Por lo tanto, el estado físico de la partícula puede ser descrito por una función, llamada "función de onda", de q o por una función de p pero no por una función de ambas variables. La variable p se llama variable conjugada a q . En la mecánica clásica, el estado físico de una partícula (existente en una dimensión, por simplicidad de la exposición) estaría dado por la asignación de valores definidos a ambos p y q al mismo tiempo. Por lo tanto, el conjunto de todos los estados físicos posibles es el espacio vectorial real bidimensional con un eje p y un eje q llamado espacio de fase .
Por el contrario, la mecánica cuántica elige una polarización de este espacio en el sentido de que elige un subespacio de la mitad de la dimensión, por ejemplo, el eje q solo, pero en lugar de considerar solo puntos, toma el conjunto de todos los valores complejos. "funciones de onda" en este eje. Sin embargo, elegir el eje p es una polarización igualmente válida, lo que produce una representación diferente del conjunto de posibles estados físicos de la partícula que se relaciona con la primera representación por la transformación de Fourier.
Los estados físicamente realizables son L 2 y, por lo tanto, según el teorema de Plancherel , sus transformadas de Fourier también son L 2 . (Tenga en cuenta que dado que q está en unidades de distancia yp está en unidades de momento, la presencia de la constante de Planck en el exponente hace que el exponente sea adimensional , como debería ser).
Por tanto, la transformada de Fourier se puede utilizar para pasar de una forma de representar el estado de la partícula, mediante una función de onda de posición, a otra forma de representar el estado de la partícula: mediante una función de onda de momento. Son posibles infinitas polarizaciones diferentes, y todas son igualmente válidas. A veces resulta conveniente poder transformar estados de una representación a otra.
El otro uso de la transformada de Fourier tanto en la mecánica cuántica como en la teoría cuántica de campos es resolver la ecuación de onda aplicable. En la mecánica cuántica no relativista, la ecuación de Schrödinger para una función de onda variable en el tiempo en una dimensión, no sujeta a fuerzas externas, es
Es lo mismo que la ecuación del calor excepto por la presencia de la unidad imaginaria i . Se pueden utilizar métodos de Fourier para resolver esta ecuación.
En presencia de un potencial, dado por la función de energía potencial V ( x ) , la ecuación se convierte en
Las "soluciones elementales", como las llamamos anteriormente, son los llamados "estados estacionarios" de la partícula, y el algoritmo de Fourier, como se describió anteriormente, aún se puede usar para resolver el problema del valor de frontera de la evolución futura de ψ dados sus valores para t = 0 . Ninguno de estos enfoques es de mucha utilidad práctica en mecánica cuántica. Los problemas de valores en la frontera y la evolución temporal de la función de onda no tienen mucho interés práctico: son los estados estacionarios los más importantes.
En la mecánica cuántica relativista, la ecuación de Schrödinger se convierte en una ecuación de onda como era habitual en la física clásica, excepto que se consideran ondas de valor complejo. Un ejemplo simple, en ausencia de interacciones con otras partículas o campos, es la ecuación unidimensional libre de Klein-Gordon-Schrödinger-Fock, esta vez en unidades adimensionales,
Esto es, desde el punto de vista matemático, lo mismo que la ecuación de onda de la física clásica resuelta anteriormente (pero con una onda de valor complejo, que no hace ninguna diferencia en los métodos). Esto es de gran utilidad en la teoría cuántica de campos: cada componente de Fourier separado de una onda puede tratarse como un oscilador armónico separado y luego cuantificarse, un procedimiento conocido como "segunda cuantificación". Los métodos de Fourier se han adaptado para tratar también con interacciones no triviales.
Procesamiento de la señal
La transformada de Fourier se utiliza para el análisis espectral de series de tiempo. Sin embargo, el tema del procesamiento estadístico de señales no suele aplicar la transformación de Fourier a la señal en sí. Incluso si una señal real es transitoria, en la práctica se ha encontrado aconsejable modelar una señal mediante una función (o, alternativamente, un proceso estocástico) que es estacionaria en el sentido de que sus propiedades características son constantes a lo largo del tiempo. La transformada de Fourier de dicha función no existe en el sentido habitual, y se ha encontrado más útil para el análisis de señales tomar en su lugar la transformada de Fourier de su función de autocorrelación.
La función de autocorrelación R de una función f está definida por
Esta función es una función del intervalo de tiempo τ que transcurre entre los valores de f a correlacionar.
Para la mayoría de las funciones f que ocurren en la práctica, R es una función par acotada del retardo de tiempo τ y para señales ruidosas típicas resulta ser uniformemente continua con un máximo en τ = 0 .
La función de autocorrelación, más propiamente llamada función de autocovarianza a menos que se normalice de alguna manera apropiada, mide la fuerza de la correlación entre los valores de f separados por un desfase de tiempo. Esta es una forma de buscar la correlación de f con su propio pasado. Es útil incluso para otras tareas estadísticas además del análisis de señales. Por ejemplo, si f ( t ) representa la temperatura en el tiempo t , se espera una fuerte correlación con la temperatura en un lapso de tiempo de 24 horas.
Posee una transformada de Fourier,
Esta transformada de Fourier se denomina función de densidad espectral de potencia de f . (A menos que todos los componentes periódicos se eliminen primero de f , esta integral divergerá, pero es fácil filtrar esas periodicidades).
El espectro de potencia, como lo indica esta función de densidad P , mide la cantidad de varianza contribuida a los datos por la frecuencia ξ . En las señales eléctricas, la varianza es proporcional a la potencia promedio (energía por unidad de tiempo), por lo que el espectro de potencia describe cuánto contribuyen las diferentes frecuencias a la potencia promedio de la señal. Este proceso se denomina análisis espectral de series de tiempo y es análogo al análisis habitual de varianza de datos que no es una serie de tiempo ( ANOVA ).
El conocimiento de qué frecuencias son "importantes" en este sentido es crucial para el correcto diseño de los filtros y para la correcta evaluación de los aparatos de medida. También puede ser útil para el análisis científico de los fenómenos responsables de producir los datos.
El espectro de potencia de una señal también se puede medir aproximadamente directamente midiendo la potencia media que permanece en una señal después de filtrar todas las frecuencias fuera de una banda estrecha.
El análisis espectral también se lleva a cabo para señales visuales. El espectro de potencia ignora todas las relaciones de fase, lo cual es suficientemente bueno para muchos propósitos, pero para las señales de video también se deben emplear otros tipos de análisis espectral, aún usando la transformada de Fourier como herramienta.
Otras notaciones
Otras notaciones comunes para f̂ ( ξ ) incluyen:
Denotar la transformada de Fourier con una letra mayúscula correspondiente a la letra de la función que se está transformando (como f ( x ) y F ( ξ ) ) es especialmente común en las ciencias y la ingeniería. En electrónica, omega ( ω ) se usa a menudo en lugar de ξ debido a su interpretación como frecuencia angular, a veces se escribe como F ( jω ) , donde j es la unidad imaginaria , para indicar su relación con la transformada de Laplace , y a veces es se escribe informalmente como F (2π f ) para usar la frecuencia ordinaria. En algunos contextos, como la física de partículas, el mismo símbolose puede usar tanto para una función como para la transformada de Fourier, y los dos solo se distinguen por su argumento : se referiría a la transformada de Fourier debido al argumento del impulso, mientras que se referiría a la función original debido al argumento posicional. Aunque las tildes se pueden utilizar como enpara indicar transformadas de Fourier, las tildes también se pueden usar para indicar una modificación de una cantidad con una forma más invariante de Lorentz , como, por lo que se debe tener cuidado.
La interpretación de la función compleja f̂ ( ξ ) se puede ayudar expresándola en forma de coordenadas polares
en términos de las dos funciones reales A ( ξ ) y φ ( ξ ) donde:
es la amplitud y
es la fase (ver función arg ).
Entonces la transformación inversa se puede escribir:
que es una recombinación de todos los componentes de frecuencia de f ( x ) . Cada componente es una sinusoide compleja de la forma e 2π ixξ cuya amplitud es A ( ξ ) y cuyo ángulo de fase inicial (en x = 0 ) es φ ( ξ ) .
La transformada de Fourier se puede considerar como un mapeo de espacios funcionales. Este mapeo se denota aquí como F y F ( f ) se usa para denotar la transformada de Fourier de la función f . Este mapeo es lineal, lo que significa que F también puede verse como una transformación lineal en el espacio funcional e implica que la notación estándar en álgebra lineal de aplicar una transformación lineal a un vector (aquí la función f ) se puede usar para escribir F f en lugar de F ( f ) . Dado que el resultado de aplicar la transformada de Fourier es nuevamente una función, podemos estar interesados en el valor de esta función evaluada en el valor ξ para su variable, y esto se denota como F f ( ξ ) o como ( F f ) ( ξ ) . Observe que en el primer caso, se entiende implícitamente que F se aplica primero af y luego la función resultante se evalúa en ξ , no al revés.
En matemáticas y diversas ciencias aplicadas, a menudo es necesario distinguir entre una función f y el valor de f cuando su variable es igual a x , denotada f ( x ) . Esto significa que una notación como F ( f ( x )) formalmente se puede interpretar como la transformada de Fourier de los valores de f en x . A pesar de este defecto, la notación anterior aparece con frecuencia, a menudo cuando se va a transformar una función particular o una función de una variable particular. Por ejemplo,
a veces se usa para expresar que la transformada de Fourier de una función rectangular es una función sinc , o
se utiliza para expresar la propiedad de desplazamiento de la transformada de Fourier.
Observe que el último ejemplo solo es correcto si se asume que la función transformada es una función de x , no de x 0 .
Otras convenciones
La transformada de Fourier también se puede escribir en términos de frecuencia angular :
cuyas unidades son radianes por segundo.
La sustitución ξ = ω/2π en las fórmulas anteriores produce esta convención:
Bajo esta convención, la transformación inversa se convierte en:
A diferencia de la convención seguida en este artículo, cuando la transformada de Fourier se define de esta manera, ya no es una transformación unitaria en L 2 ( R n ) . También hay menos simetría entre las fórmulas de la transformada de Fourier y su inversa.
Otra convención es dividir el factor de (2π) n uniformemente entre la transformada de Fourier y su inversa, lo que conduce a definiciones:
Bajo esta convención, la transformada de Fourier es nuevamente una transformación unitaria en L 2 ( R n ) . También restaura la simetría entre la transformada de Fourier y su inversa.
Se pueden crear variaciones de las tres convenciones conjugando el núcleo exponencial complejo de las transformadas directa e inversa. Los signos deben ser opuestos. Aparte de eso, la elección es (nuevamente) una cuestión de convención.
frecuencia ordinaria ξ (Hz) | unitario | |
---|---|---|
frecuencia angular ω (rad / s) | unitario | |
no unitario |
frecuencia ordinaria ξ (Hz) | unitario | |
---|---|---|
frecuencia angular ω (rad / s) | unitario | |
no unitario |
Como se discutió anteriormente, la función característica de una variable aleatoria es la misma que la transformada de Fourier-Stieltjes de su medida de distribución, pero en este contexto es típico tomar una convención diferente para las constantes. Normalmente se define la función característica
Como en el caso de la convención de "frecuencia angular no unitaria" anterior, el factor de 2 π no aparece ni en la constante de normalización ni en el exponente. A diferencia de cualquiera de las convenciones que aparecen arriba, esta convención toma el signo opuesto en el exponente.
Métodos de computación
El método de cálculo apropiado depende en gran medida de cómo se representa la función matemática original y la forma deseada de la función de salida.
Dado que la definición fundamental de una transformada de Fourier es una integral, las funciones que se pueden expresar como expresiones de forma cerrada se calculan comúnmente trabajando la integral analíticamente para producir una expresión de forma cerrada en la variable conjugada de la transformada de Fourier como resultado. Este es el método utilizado para generar tablas de transformadas de Fourier, [46] incluidas las que se encuentran en la siguiente tabla ( Transformada de Fourier # Tablas de transformadas de Fourier importantes ).
Muchos sistemas de álgebra computarizada como Matlab y Mathematica que son capaces de integración simbólica son capaces de calcular transformadas de Fourier analíticamente. Por ejemplo, para calcular la transformada de Fourier de f ( t ) = cos (6π t ) e −π t 2, uno podría ingresar el comando integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to inf
en Wolfram Alpha . [comentario 6]
Integración numérica de funciones de forma cerrada
Si la función de entrada está en forma cerrada y la función de salida deseada es una serie de pares ordenados (por ejemplo, una tabla de valores a partir de la cual se puede generar un gráfico) sobre un dominio específico, entonces la transformada de Fourier se puede generar mediante integración numérica. en cada valor de la variable conjugada de Fourier (frecuencia, por ejemplo) para el que se desea un valor de la variable de salida. [47] Tenga en cuenta que este método requiere calcular una integración numérica separada para cada valor de frecuencia para el que se desea un valor de la transformada de Fourier. [48] [49] El enfoque de integración numérica funciona en una clase de funciones mucho más amplia que el enfoque analítico, porque produce resultados para funciones que no tienen integrales de transformada de Fourier de forma cerrada.
Integración numérica de una serie de pares ordenados
Si la función de entrada es una serie de pares ordenados (por ejemplo, una serie de tiempo a partir de medir una variable de salida repetidamente durante un intervalo de tiempo), entonces la función de salida también debe ser una serie de pares ordenados (por ejemplo, un número complejo versus frecuencia sobre un dominio específico de frecuencias), a menos que se hagan ciertas suposiciones y aproximaciones que permitan aproximar la función de salida mediante una expresión de forma cerrada. En el caso general en el que se supone que las series de entrada disponibles de pares ordenados son muestras que representan una función continua en un intervalo (amplitud frente al tiempo, por ejemplo), la serie de pares ordenados que representan la función de salida deseada se puede obtener mediante la integración numérica de los datos de entrada sobre el intervalo disponible en cada valor de la variable conjugada de Fourier (frecuencia, por ejemplo) para el que se desea el valor de la transformada de Fourier. [50]
La integración numérica explícita sobre los pares ordenados puede producir el valor de salida de la transformada de Fourier para cualquier valor deseado de la variable de transformada de Fourier conjugada (frecuencia, por ejemplo), de modo que se pueda producir un espectro en cualquier tamaño de paso deseado y sobre cualquier rango de variable deseado determinación precisa de amplitudes, frecuencias y fases correspondientes a picos aislados. A diferencia de las limitaciones en los métodos DFT y FFT, la integración numérica explícita puede tener cualquier tamaño de paso deseado y calcular la transformada de Fourier sobre cualquier rango deseado de la variable de la transformada de Fourier conjugada (por ejemplo, frecuencia).
Transformadas discretas de Fourier y transformadas rápidas de Fourier
Si los pares ordenados que representan la función de entrada original están igualmente espaciados en su variable de entrada (por ejemplo, pasos de tiempo iguales), entonces la transformada de Fourier se conoce como transformada discreta de Fourier (DFT), que se puede calcular mediante integración numérica explícita, por evaluación explícita de la definición de DFT, o por métodos de transformada rápida de Fourier (FFT). En contraste con la integración explícita de datos de entrada, el uso de los métodos DFT y FFT produce transformadas de Fourier descritas por pares ordenados de tamaño de paso igual al recíproco del intervalo de muestreo original. Por ejemplo, si los datos de entrada se muestrean cada 10 segundos, la salida de los métodos DFT y FFT tendrá un espaciado de frecuencia de 0,1 Hz.
Tablas de transformadas de Fourier importantes
Las siguientes tablas registran algunas transformadas de Fourier de forma cerrada. Para las funciones f ( x ) , g ( x ) y h ( x ) denotan sus transformadas de Fourier por f̂ , ĝ y ĥ respectivamente. Solo se incluyen las tres convenciones más comunes. Puede ser útil notar que la entrada 105 da una relación entre la transformada de Fourier de una función y la función original, que puede verse como una relación entre la transformada de Fourier y su inversa.
Relaciones funcionales, unidimensionales
Las transformadas de Fourier en esta tabla se pueden encontrar en Erdélyi (1954) o Kammler (2000 , apéndice).
Función | Transformada de Fourier unitaria, frecuencia ordinaria | Transformada de Fourier unitaria, frecuencia angular | Transformada de Fourier , frecuencia angular no unitaria | Observaciones | |
---|---|---|---|---|---|
Definición | |||||
101 | Linealidad | ||||
102 | Cambio en el dominio del tiempo | ||||
103 | Cambio en el dominio de la frecuencia, dual de 102 | ||||
104 | Escala en el dominio del tiempo. Si | a | es grande, entonces f ( ax ) se concentra alrededor de 0 y se extiende y se aplana. | ||||
105 | Dualidad. Aquí f̂ debe calcularse utilizando el mismo método que la columna de transformada de Fourier. Es el resultado de intercambiar variables "ficticias" de x y ξ o ω o ν . | ||||
106 | |||||
107 | Este es el dual de 106 | ||||
108 | La notación f ∗ g denota la convolución de f y g ; esta regla es el teorema de convolución | ||||
109 | Este es el dual de 108 | ||||
110 | Para f ( x ) puramente real | Simetría hermitiana. z indica el conjugado complejo . | |||
111 | Para f ( x ) puramente real e incluso | f̂ ( ξ ) , f̂ ( ω ) y f̂ ( ν ) son funciones pares puramente reales. | |||
112 | Para f ( x ) puramente real e impar | f̂ ( ξ ) , f̂ ( ω ) y f̂ ( ν ) son funciones impares puramente imaginarias . | |||
113 | Para f ( x ) puramente imaginario | z indica elconjugado complejo. | |||
114 | Conjugación compleja , generalización de 110 y 113 | ||||
115 | Esto se sigue de las reglas 101 y 103 usando la fórmula de Euler : | ||||
116 | Esto se sigue de 101 y 103 usando la fórmula de Euler : |
Funciones cuadradas integrables, unidimensionales
Las transformadas de Fourier de esta tabla se pueden encontrar en Campbell y Foster (1948) , Erdélyi (1954) o Kammler (2000 , apéndice).
Función | Transformada de Fourier unitaria, frecuencia ordinaria | Transformada de Fourier unitaria, frecuencia angular | Transformada de Fourier , frecuencia angular no unitaria | Observaciones | |
---|---|---|---|---|---|
201 | El pulso rectangular y la función sinc normalizada , aquí definida como sinc ( x ) = pecado (π x )/π x | ||||
202 | Doble de la regla 201. La función rectangular es un filtro de paso bajo ideal , y la función sinc es la respuesta de impulso no causal de dicho filtro. La función sinc se define aquí como sinc ( x ) = pecado (π x )/π x | ||||
203 | La función tri ( x ) es la función triangular | ||||
204 | Dual de la regla 203. | ||||
205 | La función u ( x ) es la función escalón unitario de Heaviside y a > 0 . | ||||
206 | Esto muestra que, para las transformadas unitarias de Fourier, la función gaussiana e - αx 2 es su propia transformada de Fourier para alguna elección de α . Para que esto sea integrable debemos tener Re ( α )> 0 . | ||||
207 | Esto se conoce como sinusoide de fase cuadrática compleja, o función "chirp". [51] | ||||
208 | Para Re ( a )> 0 . Es decir, la transformada de Fourier de una función exponencial decreciente de dos lados es una función de Lorentz . | ||||
209 | La secante hiperbólica es su propia transformada de Fourier | ||||
210 | H n es el polinomio de Hermite de n -ésimo orden. Si a = 1, entonces las funciones de Gauss-Hermite son funciones propias del operador de transformada de Fourier. Para obtener una derivación, consulte el polinomio de Hermite . La fórmula se reduce a 206 para n = 0 . |
Distribuciones, unidimensionales
Las transformadas de Fourier en esta tabla se pueden encontrar en Erdélyi (1954) o Kammler (2000 , apéndice).
Función | Transformada de Fourier unitaria, frecuencia ordinaria | Transformada de Fourier unitaria, frecuencia angular | Transformada de Fourier , frecuencia angular no unitaria | Observaciones | |
---|---|---|---|---|---|
301 | La distribución δ ( ξ ) denota la función delta de Dirac . | ||||
302 | Dual de la regla 301. | ||||
303 | Esto se sigue de 103 y 301. | ||||
304 | Esto se sigue de las reglas 101 y 303 usando la fórmula de Euler : | ||||
305 | Esto se sigue de 101 y 303 usando | ||||
306 | Esto se sigue de 101 y 207 usando | ||||
307 | Esto se sigue de 101 y 207 usando | ||||
308 | Aquí, n es un número natural y δ ( n ) ( ξ ) es la n- ésima distribución derivada de la función delta de Dirac. Esta regla se sigue de las reglas 107 y 301. Combinando esta regla con 101, podemos transformar todos los polinomios . | ||||
Dual de la regla 308. δ ( n ) ( ξ ) es la n- ésima distribución derivada de la función delta de Dirac. Esta regla se sigue de 106 y 302. | |||||
309 | Aquí sgn ( ξ ) es la función de signo . Tenga en cuenta que1/Xno es una distribución. Es necesario utilizar el valor principal de Cauchy al realizar pruebas con funciones de Schwartz . Esta regla es útil para estudiar la transformada de Hilbert . | ||||
310 | 1/x nes la distribución homogénea definida por la derivada distributiva | ||||
311 | Esta fórmula es válida para 0> α > −1 . Para α > 0 surgen algunos términos singulares en el origen que se pueden encontrar al diferenciar 318. Si Re α > −1 , entonces | x | α es una función integrable localmente y, por tanto, una distribución templada. La función α ↦ | x | α es una función holomórfica desde el semiplano derecho al espacio de distribuciones templadas. Admite una extensión meromórfica única a una distribución templada, también denotada | x | α para α ≠ −2, −4,… (Ver distribución homogénea ). | ||||
Caso especial de 311. | |||||
312 | El dual de la regla 309. Esta vez, las transformadas de Fourier deben considerarse como un valor principal de Cauchy . | ||||
313 | La función u ( x ) es la función escalón unitario de Heaviside ; esto se sigue de las reglas 101, 301 y 312. | ||||
314 | Esta función se conoce como función de peine de Dirac . Este resultado se puede derivar de 302 y 102, junto con el hecho de que como distribuciones. | ||||
315 | La función J 0 ( x ) es la función de Bessel de primer tipo de orden cero . | ||||
316 | Ésta es una generalización de 315. La función J n ( x ) es la función de Bessel de n- ésimo orden de primer tipo. La función T n ( x ) es el polinomio de Chebyshev del primer tipo . | ||||
317 | γ es la constante de Euler-Mascheroni . Es necesario utilizar una integral de parte finita al probar1/| ξ |,1/| ω |,1/| ν |contra las funciones de Schwartz . Los detalles de esto podrían cambiar el coeficiente de la función delta. | ||||
318 | Esta fórmula es válida para 1> α > 0 . Utilice la diferenciación para derivar fórmulas para exponentes más altos. u es la función Heaviside. |
Funciones bidimensionales
Función | Transformada de Fourier unitaria, frecuencia ordinaria | Transformada de Fourier unitaria, frecuencia angular | Transformada de Fourier , frecuencia angular no unitaria | Observaciones | |
---|---|---|---|---|---|
400 | Las variables ξ x , ξ y , ω x , ω y , ν x , ν y son números reales. Las integrales se toman sobre todo el plano. | ||||
401 | Ambas funciones son gaussianas, que pueden no tener unidad de volumen. | ||||
402 | La función está definida por circ ( r ) = 1 para 0 ≤ r ≤ 1 , y es 0 en caso contrario. El resultado es la distribución de amplitud del disco de Airy , y se expresa utilizando J 1 (la función de Bessel de orden 1 del primer tipo). [52] | ||||
403 | Ésta es la transformada de Hankel de r −1 , una "auto-transformada" de Fourier 2-D. [51] | ||||
404 |
Fórmulas para funciones n- dimensionales generales
Función | Transformada de Fourier unitaria, frecuencia ordinaria | Transformada de Fourier unitaria, frecuencia angular | Transformada de Fourier , frecuencia angular no unitaria | Observaciones | |
---|---|---|---|---|---|
500 | |||||
501 | La función χ [0, 1] es la función indicadora del intervalo [0, 1] . La función Γ ( x ) es la función gamma. La función Jnorte/2+ δ es una función de Bessel del primer tipo, con ordennorte/2+ δ . Tomando n = 2 y δ = 0 se obtiene 402. [53] | ||||
502 | Ver potencial de Riesz donde la constante está dada por La fórmula también es válida para todo α ≠ - n , - n - 1,… por continuación analítica, pero luego la función y sus transformadas de Fourier deben entenderse como distribuciones templadas adecuadamente regularizadas. Ver distribución homogénea . [comentario 7] | ||||
503 | Ésta es la fórmula para una distribución normal multivariante normalizada a 1 con una media de 0. Las variables en negrita son vectores o matrices. Siguiendo la notación de la página mencionada, Σ = σ σ T y Σ −1 = σ −T σ −1 | ||||
504 | Aquí [54] Re ( α )> 0 |
Ver también
- Procesamiento de señales analógicas
- Tira de Beevers-Lipson
- Transformada discreta de Fourier
- Matriz DFT
- Transformada rápida de Fourier
- Operador integral de Fourier
- Teorema de la inversión de Fourier
- Multiplicador de Fourier
- series de Fourier
- Transformada sinusoidal de Fourier
- Transformada de Fourier-Deligne
- Transformada de Fourier-Mukai
- Transformada fraccional de Fourier
- Transformada indirecta de Fourier
- Transformada integral
- Transformada de Hankel
- Transformada de Hartley
- Transformada de Laplace
- Análisis espectral de mínimos cuadrados
- Transformada canónica lineal
- Transformada de Mellin
- Transformación multidimensional
- NGC 4622 , especialmente la imagen NGC 4622 Transformada de Fourier m = 2 .
- Operador no local
- Transformada cuántica de Fourier
- Transformada de Fourier de corta duración
- Densidad espectral
- Estimación de densidad espectral
- Integración simbólica
- Transformada de Fourier dispersiva de extensión de tiempo
- Transformar (matemáticas)
Observaciones
- ^ Hasta un factor constante imaginario cuya magnitud depende de la convención de la transformada de Fourier que se utilice.
- ^ Dependiendo de la aplicación, unenfoque integral , distributivo u otro de Lebesgue puede ser más apropiado.
- ↑ Vretblad (2000) proporciona una sólida justificación para estos procedimientos formales sin profundizar demasiado en el análisis funcional o la teoría de distribuciones .
- ^ En la mecánica cuántica relativista uno encuentra transformadas de Fourier con valores vectoriales de funciones de onda multicomponente. En la teoría cuántica de campos , las transformadas de Fourier valoradas por el operador de las funciones del espacio-tiempo valoradas por el operador son de uso frecuente, véase, por ejemplo, Greiner y Reinhardt (1996) .
- ^ La función es también una señal con frecuencia , pero la integral obviamente produce respuestas idénticas en ambos y , que también es consistente con la fórmula de Euler :
- ^ El comando directo
fourier transform of cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2)
también funcionaría para Wolfram Alpha. - ^ En Gelfand y Shilov 1964 , p. 363, con las convenciones no unitarias de esta tabla, la transformación de se da a ser
de donde esto se sigue, con .
Notas
- ^ Kaiser 1994 , p. 29.
- ↑ Rahman , 2011 , p. 11.
- ^ "Firmar convenciones en ondas electromagnéticas (EM)" (PDF) .
- ^ Fourier 1822 , pág. 525.
- ^ Fourier 1878 , pág. 408.
- ↑ ( Jordan 1883 ) demuestra en las págs. 216-226 el teorema de la integral de Fourier antes de estudiar las series de Fourier.
- ^ Titchmarsh 1986 , p. 1.
- ↑ Rahman , 2011 , p. 10.
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enlaces externos
- Medios relacionados con la transformación de Fourier en Wikimedia Commons
- Enciclopedia de Matemáticas
- Weisstein, Eric W. "Transformada de Fourier" . MathWorld .