En física , la imagen de Schrödinger es una formulación de la mecánica cuántica en la que los vectores de estado evolucionan en el tiempo, pero los operadores (observables y otros) son constantes con respecto al tiempo. [1] [2] Esto difiere de la imagen de Heisenberg que mantiene los estados constantes mientras los observables evolucionan en el tiempo, y de la imagen de interacción en la que tanto los estados como los observables evolucionan en el tiempo. Las imágenes de Schrödinger y Heisenberg se relacionan como transformaciones activas y pasivas y relaciones de conmutación. entre operadores se conservan en el pasaje entre las dos imágenes.
En la imagen de Schrödinger , el estado de un sistema evoluciona con el tiempo. La evolución de un sistema cuántico cerrado es provocada por un operador unitario , el operador de evolución temporal . Para la evolución temporal de un vector de estadoen el tiempo t 0 a un vector de estadoen el tiempo t , el operador de evolución temporal se escribe comúnmentey uno tiene
En el caso de que el hamiltoniano del sistema no varíe con el tiempo, el operador de evolución temporal tiene la forma
donde el exponente se evalúa mediante su serie de Taylor .
La imagen de Schrödinger es útil cuando se trata de una H hamiltoniana independiente del tiempo ; es decir,.
Fondo
En mecánica cuántica elemental, el estado de un sistema mecánico cuántico está representado por una función de onda de valor complejo ψ ( x , t ) . De manera más abstracta, el estado puede representarse como un vector de estado, o ket ,. Este ket es un elemento de un espacio de Hilbert , un espacio vectorial que contiene todos los estados posibles del sistema. Un operador de mecánica cuántica es una función que toma un ket y devuelve algún otro ket .
Las diferencias entre las imágenes de la mecánica cuántica de Schrödinger y Heisenberg giran en torno a cómo lidiar con los sistemas que evolucionan en el tiempo: la naturaleza dependiente del tiempo del sistema debe ser transmitida por alguna combinación de los vectores de estado y los operadores. Por ejemplo, un oscilador armónico cuántico puede estar en un estadopara el cual el valor esperado del impulso,, oscila sinusoidalmente en el tiempo. Entonces uno puede preguntarse si esta oscilación sinusoidal debería reflejarse en el vector de estado, el operador de impulso , o ambos. Las tres opciones son válidas; el primero da la imagen de Schrödinger, el segundo la imagen de Heisenberg y el tercero la imagen de interacción.
El operador de evolución temporal
Definición
El operador de evolución temporal U ( t , t 0 ) se define como el operador que actúa sobre el ket en el tiempo t 0 para producir el ket en algún otro momento t :
Para sujetadores ,
Propiedades
- Unitaridad
El operador de evolución temporal debe ser unitario . Esta es la norma del estado que no debe cambiar con el tiempo. Es decir,
Por lo tanto,
- Identidad
Cuando t = t 0 , U es el operador de identidad , ya que
- Cierre
La evolución temporal de t 0 a t puede verse como una evolución temporal de dos pasos, primero desde t 0 a un tiempo intermedio t 1 , y luego desde t 1 hasta el tiempo final t . Por lo tanto,
Ecuación diferencial para el operador de evolución en el tiempo
Dejamos caer el índice t 0 en el operador de evolución temporal con la convención de que t 0 = 0 y lo escribimos como U ( t ). La ecuación de Schrödinger es
donde H es el hamiltoniano . Ahora usando el operador de evolución temporal U para escribir,
Desde es una cet constante (el estado cet en t = 0 ), y dado que la ecuación anterior es verdadera para cualquier cet constante en el espacio de Hilbert, el operador de evolución temporal debe obedecer la ecuación
Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, la solución a la ecuación anterior es [nota 1]
Dado que H es un operador, esta expresión exponencial se evaluará mediante su serie de Taylor :
Por lo tanto,
Tenga en cuenta que es un ket arbitrario. Sin embargo, si el ket inicial es un autoestado del hamiltoniano, con autovalor E :
Los estados propios del hamiltoniano son estados estacionarios : solo recogen un factor de fase general a medida que evolucionan con el tiempo.
Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos viajan en diferentes momentos, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como
Si el hamiltoniano depende del tiempo, pero los hamiltonianos en diferentes momentos no se desplazan, entonces el operador de evolución temporal se puede escribir como
donde T es el operador de ordenación temporal, que a veces se conoce como la serie Dyson , en honor a Freeman Dyson .
La alternativa a la imagen de Schrödinger es cambiar a un marco de referencia giratorio, que a su vez está siendo girado por el propagador. Dado que la rotación ondulatoria ahora está siendo asumida por el propio marco de referencia, una función de estado no perturbada parece ser verdaderamente estática. Esta es la imagen de Heisenberg .
Comparación resumida de la evolución en todas las imágenes
Para un hamiltoniano independiente del tiempo H S , donde H 0, S es el hamiltoniano libre,
Evolución | Imagen ( ) | ||
de: | Heisenberg | Interacción | Schrödinger |
Estado de Ket | constante | ||
Observable | constante | ||
Matriz de densidad | constante |
Ver también
Notas
- ^ En t = 0 , U ( t ) debe reducirse al operador de identidad.
- ^ Parker, CB (1994). Enciclopedia de Física de McGraw Hill (2ª ed.). McGraw Hill. págs. 786, 1261 . ISBN 0-07-051400-3.
- ^ Y. Peleg; R. Pnini; E. Zaarur; E. Hecht (2010). Mecánica cuántica . Serie de esquemas de Schuam (2ª ed.). McGraw Hill. pag. 70. ISBN 978-0-07-162358-2.
Referencias
- Cohen-Tannoudji, Claude ; Bernard Diu; Frank Laloe (1977). Mecánica cuántica (volumen uno) . París: Wiley. págs. 312–314. ISBN 0-471-16433-X.
- Albert Messiah , 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), traducción al inglés del francés por GM Temmer. Holanda Septentrional, John Wiley & Sons.
- Merzbacher E. , Mecánica cuántica (3ª ed., John Wiley 1998) p. 430–1 ISBN 0-471-88702-1
- LD Landau , EM Lifshitz (1977). Mecánica cuántica: teoría no relativista . Vol. 3 (3ª ed.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-020940-1.
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) Copia en línea - R. Shankar (1994); Principios de Mecánica Cuántica , Plenum Press, ISBN 978-0-306-44790-7 .
- JJ Sakurai (1993); Mecánica cuántica moderna (edición revisada), ISBN 978-0-201-53929-5 .