Función cuasiconvexa

En matemáticas , una función quasiconvex es un verdadero -valued función definida en un intervalo o en un convexa subconjunto de un verdadero espacio vectorial de tal manera que la imagen inversa de cualquier conjunto de la forma es un conjunto convexo . Para una función de una sola variable, a lo largo de cualquier tramo de la curva, el punto más alto es uno de los extremos. Se dice que el negativo de una función cuasiconvexa es cuasicóncava .${\ Displaystyle (- \ infty, a)}$

Todas las funciones convexas también son cuasiconvexas, pero no todas las funciones cuasiconvexas son convexas, por lo que la cuasiconvexidad es una generalización de la convexidad. La cuasiconvexidad y la cuasiconcavidad extienden a las funciones con múltiples argumentos la noción de unimodalidad de funciones con un solo argumento real.

Una función definida en un subconjunto convexo de un espacio vectorial real es cuasiconvexa si para todos y tenemos${\ Displaystyle f: S \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x, y \ en S}$${\ Displaystyle \ lambda \ in [0,1]}$

En palabras, si es tal que siempre es cierto que un punto directamente entre otros dos puntos no da un valor más alto de la función que los otros dos puntos, entonces es cuasiconvexo. Tenga en cuenta que los puntos y , y el punto directamente entre ellos, pueden ser puntos en una línea o, más generalmente, puntos en un espacio n -dimensional.${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle f}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

Una forma alternativa (ver introducción) de definir una función cuasi-convexa es requerir que cada conjunto de subnivel sea ​​un conjunto convexo.${\ Displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle S _ {\ alpha} (f) = \ {x \ mid f (x) \ leq \ alpha \}}$

para todos y , luego, es estrictamente cuasiconvexo . Es decir, la cuasiconvexidad estricta requiere que un punto directamente entre otros dos puntos dé un valor más bajo de la función que uno de los otros puntos.${\ Displaystyle x \ neq y}$${\ Displaystyle \ lambda \ in (0,1)}$${\ Displaystyle f}$

Una función cuasiconvexa que no es convexa

Una función que no es cuasiconvexa: el conjunto de puntos en el dominio de la función para los cuales los valores de la función están por debajo de la línea roja discontinua es la unión de los dos intervalos rojos, que no es un conjunto convexo.

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal es cuasicóncava pero no cóncava.

La densidad articular normal bivariada es cuasicóncava.

Una función cuasilineal es cuasiconvexa y cuasicóncava.

La gráfica de una función que es cóncava y cuasi-convexa en los números reales no negativos.