En matemáticas , la unimodalidad significa poseer un modo único . De manera más general, la unimodalidad significa que solo hay un valor más alto, definido de alguna manera, de algún objeto matemático. [1]
Distribución de probabilidad unimodal
En estadística , una distribución de probabilidad unimodal o distribución unimodal es una distribución de probabilidad que tiene un solo pico. El término "moda" en este contexto se refiere a cualquier pico de la distribución, no solo a la definición estricta de moda que es habitual en las estadísticas.
Si hay un solo modo, la función de distribución se llama "unimodal". Si tiene más modos es "bimodal" (2), "trimodal" (3), etc., o en general, "multimodal". [2] La Figura 1 ilustra distribuciones normales , que son unimodales. Otros ejemplos de distribuciones unimodales incluyen la distribución de Cauchy , la distribución t de Student , distribución chi-cuadrado y la distribución exponencial . Entre las distribuciones discretas, la distribución binomial y la distribución de Poisson pueden verse como unimodales, aunque para algunos parámetros pueden tener dos valores adyacentes con la misma probabilidad.
La Figura 2 y la Figura 3 ilustran distribuciones bimodales.
Otras definiciones
También existen otras definiciones de unimodalidad en las funciones de distribución.
En distribuciones continuas, la unimodalidad se puede definir a través del comportamiento de la función de distribución acumulativa (CDF). [3] Si la cdf es convexa para x < m y cóncava para x > m , entonces la distribución es unimodal, m es el modo. Tenga en cuenta que, según esta definición, la distribución uniforme es unimodal, [4] así como cualquier otra distribución en la que se logre la distribución máxima para un rango de valores, por ejemplo, distribución trapezoidal. Por lo general, esta definición permite una discontinuidad en el modo; por lo general, en una distribución continua, la probabilidad de cualquier valor único es cero, mientras que esta definición permite una probabilidad distinta de cero, o un "átomo de probabilidad", en la moda.
Los criterios de unimodalidad también se pueden definir mediante la función característica de la distribución [3] o mediante su transformada de Laplace-Stieltjes . [5]
Otra forma de definir una distribución discreta unimodal es mediante la aparición de cambios de signo en la secuencia de diferencias de probabilidades. [6] Una distribución discreta con una función de masa de probabilidad ,, se llama unimodal si la secuencia tiene exactamente un cambio de signo (cuando los ceros no cuentan).
Usos y resultados
Una razón de la importancia de la unimodalidad de distribución es que permite varios resultados importantes. A continuación se dan varias desigualdades que solo son válidas para distribuciones unimodales. Por lo tanto, es importante evaluar si un determinado conjunto de datos proviene o no de una distribución unimodal. En el artículo sobre distribución multimodal se dan varias pruebas de unimodalidad .
Desigualdades
La desigualdad de Gauss
Un primer resultado importante es la desigualdad de Gauss . [7] La desigualdad de Gauss da un límite superior a la probabilidad de que un valor se encuentre a una distancia mayor que cualquier distancia dada de su moda. Esta desigualdad depende de la unimodalidad.
Desigualdad de Vysochanskiï-Petunin
Un segundo es la desigualdad de Vysochanskiï-Petunin , [8] un refinamiento de la desigualdad de Chebyshev . La desigualdad de Chebyshev garantiza que en cualquier distribución de probabilidad, "casi todos" los valores están "cerca" del valor medio. La desigualdad de Vysochanskiï-Petunin refina esto a valores aún más cercanos, siempre que la función de distribución sea continua y unimodal. Sellke & Sellke mostró otros resultados. [9]
Moda, mediana y media
Gauss también demostró en 1823 que para una distribución unimodal [10]
y
donde la mediana es ν , la media es μ y ω es la desviación cuadrática media de la moda.
Se puede demostrar para una distribución unimodal que la mediana ν y la media μ se encuentran dentro de (3/5) 1/2 ≈ 0,7746 desviaciones estándar entre sí. [11] En símbolos,
donde |. | es el valor absoluto.
En 2020, Bernard, Kazzi y Vanduffel generalizaron la desigualdad anterior al derivar la distancia máxima entre el promedio cuantílico simétrico y la media, [12]
Vale la pena señalar que la distancia máxima se minimiza en (es decir, cuando el promedio cuantílico simétrico es igual a ), lo que de hecho motiva la elección común de la mediana como estimador robusto de la media. Además, cuando, el límite es igual a , que es la distancia máxima entre la mediana y la media de una distribución unimodal.
Una relación similar se mantiene entre la mediana y la moda θ : se encuentran dentro de 3 1/2 ≈ 1.732 desviaciones estándar entre sí:
También se puede demostrar que la media y la moda se encuentran a 3 1/2 entre sí.
Asimetría y curtosis
Rohatgi y Szekely afirmaron que la asimetría y la curtosis de una distribución unimodal están relacionadas por la desigualdad: [13]
donde κ es la curtosis y γ es la asimetría. Klaassen, Mokveld y van Es demostraron que esto solo se aplica en ciertos entornos, como el conjunto de distribuciones unimodales donde coinciden la moda y la media. [14]
Derivaron una desigualdad más débil que se aplica a todas las distribuciones unimodales: [14]
Este límite es agudo, ya que se alcanza mediante la mezcla de pesos iguales de la distribución uniforme en [0,1] y la distribución discreta en {0}.
Función unimodal
Como el término "modal" se aplica a conjuntos de datos y distribución de probabilidad, y no en general a funciones, las definiciones anteriores no se aplican. La definición de "unimodal" también se amplió a funciones de números reales .
Una definición común es la siguiente: una función f ( x ) es una función unimodal si para algún valor m , aumenta monótonamente para x ≤ my disminuye monótonamente para x ≥ m . En ese caso, el valor máximo de f ( x ) es f ( m ) y no hay otros máximos locales.
A menudo es difícil demostrar la unimodalidad. Una forma consiste en utilizar la definición de esa propiedad, pero resulta adecuada solo para funciones simples. Existe un método general basado en derivadas, [15] pero no tiene éxito para todas las funciones a pesar de su simplicidad.
Los ejemplos de funciones unimodales incluyen funciones polinomiales cuadráticas con un coeficiente cuadrático negativo, funciones de mapa de tiendas y más.
Lo anterior a veces se relaciona con como fuerte unimodalidad , por el hecho de que la monotonicidad implicada es unafuerte monotonicidad. Una funciónf(x) es unafunción débilmente unimodalsi existe un valormpara el cual aumenta débilmente monótonamente parax≤mydisminuye débilmente monótonamente parax≥m. En ese caso, el valor máximof(m) se puede alcanzar para un rango continuo de valores dex. Un ejemplo de una función débilmente unimodal que no es fuertemente unimodal es cada dos filas en untriángulo de Pascal.
Dependiendo del contexto, la función unimodal también puede referirse a una función que tiene solo un mínimo local, en lugar de un máximo. [16] Por ejemplo, el muestreo unimodal local , un método para realizar optimización numérica, a menudo se demuestra con esta función. Se puede decir que una función unimodal bajo esta extensión es una función con un solo extremo local .
Una propiedad importante de las funciones unimodales es que el valor extremo se puede encontrar utilizando algoritmos de búsqueda tales como la búsqueda sección áurea , búsqueda ternario o interpolación parabólica sucesiva .
Otras extensiones
Una función f ( x ) es "S-unimodal" (a menudo denominada "mapa S-unimodal") si su derivada de Schwarzian es negativa para todos, dónde es el punto crítico. [17]
En geometría computacional si una función es unimodal permite el diseño de algoritmos eficientes para encontrar los extremos de la función. [18]
Una definición más general, aplicable a una función f (X) de una variable vectorial X es que f es unimodal si hay un mapeo diferenciable uno a uno X = G ( Z ) tal que f ( G ( Z )) es convexo. Por lo general, uno querría que G ( Z ) fuera continuamente diferenciable con una matriz jacobiana no singular.
Las funciones cuasiconvexas y las funciones cuasicóncavas extienden el concepto de unimodalidad a funciones cuyos argumentos pertenecen a espacios euclidianos de dimensiones superiores .
Ver también
- Distribución bimodal
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Unimodal" . MathWorld .
- ^ Weisstein, Eric W. "Mode" . MathWorld .
- ^ a b A.Ya. Khinchin (1938). "Sobre distribuciones unimodales". Tranvías. Res. Inst. Matemáticas. Mech. (en ruso). Universidad de Tomsk. 2 (2): 1–7.
- ^ Ushakov, NG (2001) [1994], "Distribución unimodal" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- ^ Vladimirovich Gnedenko y Victor Yu Korolev (1996). Suma aleatoria: teoremas límite y aplicaciones . CRC-Press. ISBN 0-8493-2875-6.pag. 31
- ^ Medgyessy, P. (marzo de 1972). "Sobre la unimodalidad de distribuciones discretas" . Periodica Mathematica Hungarica . 2 (1–4): 245–257. doi : 10.1007 / bf02018665 .
- ^ Gauss, CF (1823). "Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae, Pars Prior". Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores . 5 .
- ^ DF Vysochanskij, YI Petunin (1980). "Justificación de la regla 3σ para distribuciones unimodales". Teoría de la probabilidad y estadística matemática . 21 : 25–36.
- ^ Sellke, TM; Sellke, SH (1997). "Desigualdades de Chebyshev para distribuciones unimodales". Estadístico estadounidense . Asociación Estadounidense de Estadística. 51 (1): 34–40. doi : 10.2307 / 2684690 . JSTOR 2684690 .
- ^ Gauss CF Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae. Pars Prior. Pars Posterior. Supplementum. Teoría de la combinación de observaciones menos sujeta a errores. Parte uno. La segunda parte. Suplemento. 1995. Traducido por GW Stewart. Serie de Clásicos en Matemáticas Aplicadas, Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, Filadelfia
- ^ Basu, Sanjib y Anirban DasGupta. "La media, mediana y modo de distribuciones unimodales: una caracterización". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones 41.2 (1997): 210-223.
- ^ "Límites de valor en riesgo de rango para distribuciones unimodales bajo información parcial". Seguro: Matemáticas y Economía 94 (2020): 9-24.
- ^ Rohatgi VK, Szekely GJ (1989) Grandes desigualdades entre asimetría y curtosis. Estadísticas y letras de probabilidad 8: 297-299
- ↑ a b Klaassen CAJ, Mokveld PJ, van Es B (2000) Asimetría al cuadrado menos curtosis limitada por 186/125 para distribuciones unimodales. Stat & Prob Lett 50 (2) 131-135
- ^ "Sobre la unimodalidad de Aproximación MÉTRICA sujeta a demandas normalmente distribuidas" (PDF) . Método del apéndice D, ejemplo del teorema 2, página 5 . Consultado el 28 de agosto de 2013 .
- ^ "Glosario de programación matemática" . Consultado el 29 de marzo de 2020 .
- ^ Ver p. Ej. John Guckenheimer y Stewart Johnson (julio de 1990). "Distorsión de mapas S-Unimodal". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 132 (1). págs. 71-130. doi : 10.2307 / 1971501 .Mantenimiento de CS1: utiliza el parámetro de autores ( enlace )
- ^ Godfried T. Toussaint (junio de 1984). "Complejidad, convexidad y unimodalidad". Revista Internacional de Ciencias de la Información y la Computación . 13 (3). págs. 197–217. doi : 10.1007 / bf00979872 .