Función cuasiconvexa

En matemáticas , una función cuasiconvexa es una función de valor real definida en un intervalo o en un subconjunto convexo de un espacio vectorial real tal que la imagen inversa de cualquier conjunto de la forma es un conjunto convexo . Para una función de una sola variable, a lo largo de cualquier tramo de la curva, el punto más alto es uno de los puntos finales. Se dice que el negativo de una función cuasiconvexa es cuasiconcavo .${\displaystyle (-\infty,a)}$

Todas las funciones convexas también son cuasiconvexas, pero no todas las funciones cuasiconvexas son convexas, por lo que la cuasiconvexidad es una generalización de la convexidad. Quasiconvexity y quasiconcavity extienden a funciones con múltiples argumentos la noción de unimodalidad de funciones con un solo argumento real.

Una función definida sobre un subconjunto convexo de un espacio vectorial real es cuasiconvexa si para todo y tenemos${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$${\ estilo de visualización S}$${\ estilo de visualización x, y \ en S}$${\ estilo de visualización \ lambda \ en [0,1]}$

En palabras, si es tal que siempre es cierto que un punto directamente entre otros dos puntos no da un valor más alto de la función que los otros dos puntos, entonces es cuasiconvexo. Tenga en cuenta que los puntos y , y el punto directamente entre ellos, pueden ser puntos en una línea o, más generalmente, puntos en un espacio n -dimensional.${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización y}$

Una forma alternativa (ver introducción) de definir una función cuasi-convexa es requerir que cada conjunto de subniveles sea ​​un conjunto convexo.${\ estilo de visualización f (x)}$${\displaystyle S_{\alpha }(f)=\{x\mid f(x)\leq \alpha \}}$

para todo y , entonces es estrictamente cuasiconvexa . Es decir, la cuasiconvexidad estricta requiere que un punto directamente entre otros dos puntos deba dar un valor más bajo de la función que uno de los otros puntos.${\ estilo de visualización x \ neq y}$${\ estilo de visualización \ lambda \ en (0,1)}$${\ estilo de visualización f}$

Una función cuasiconvexa que no es convexa

Una función que no es cuasiconvexa: el conjunto de puntos en el dominio de la función para los cuales los valores de la función están por debajo de la línea roja discontinua es la unión de los dos intervalos rojos, que no es un conjunto convexo.

La función de densidad de probabilidad de la distribución normal es cuasicóncava pero no cóncava.

La densidad articular normal bivariada es cuasicóncava.

Una función cuasilineal es tanto cuasiconvexa como cuasicóncava.

La gráfica de una función que es cóncava y casi convexa en los números reales no negativos.