Álgebra de cuaterniones

---

En matemáticas , un álgebra de cuaterniones sobre un campo F es una central simple álgebra A sobre F ^{[1] [2]} que tiene dimensión 4 sobre F . Cada álgebra de cuaterniones se convierte en un álgebra matricial extendiendo escalares (equivalentemente, tensorizando con una extensión de campo), es decir, para una extensión de campo adecuada K de F , es isomorfa al álgebra matricial 2×2 sobre K .${\displaystyle A\otimes_{F}K}$

La noción de un álgebra de cuaterniones puede verse como una generalización de los cuaterniones de Hamilton a un campo base arbitrario . Los cuaterniones de Hamilton son un álgebra de cuaterniones (en el sentido anterior) sobre (el campo de números reales ), y de hecho el único sobre , aparte del álgebra de matriz real 2×2 , hasta el isomorfismo . Cuando , entonces los bicuaterniones forman el álgebra de cuaterniones sobre F .${\displaystyle F=\mathbb{R} }$${\ estilo de visualización \ mathbb {R}}$${\displaystyle F=\mathbb {C} }$

El álgebra de cuaterniones aquí significa algo más general que el álgebra de los cuaterniones de Hamilton . Cuando el campo de coeficientes F no tiene la característica 2, cada álgebra de cuaterniones sobre F se puede describir como un espacio vectorial F de 4 dimensiones con base , con las siguientes reglas de multiplicación:${\displaystyle \{1,i,j,k\}}$

Las instancias clásicas donde están los cuaterniones de Hamilton ( a = b = −1) y los cuaterniones divididos ( a = −1, b = +1). En cuaterniones divididos, y , a diferencia de las ecuaciones de Hamilton.${\displaystyle F=\mathbb {R} }$${\displaystyle k^{2}=+1}$${\displaystyle jk=-i}$

El álgebra así definida se denota ( a , b ) _F o simplemente ( a , b ). ^[3] Cuando F tiene la característica 2, también es posible una descripción explícita diferente en términos de una base de 4 elementos, pero en cualquier caso, la definición de un álgebra de cuaterniones sobre F como un álgebra simple central de 4 dimensiones sobre F se aplica uniformemente en todas las caracteristicas

Un álgebra de cuaterniones ( a , b ) _F es un álgebra de división o isomorfa al álgebra matricial de matrices 2×2 sobre F ; el último caso se denomina división . ^[4] La forma normal

---