Cambio de anillos

En álgebra, dado un homomorfismo de anillo , hay tres formas de cambiar el anillo de coeficiente de un módulo ; es decir, para un módulo R izquierdo M y un módulo S izquierdo N , ${\ Displaystyle f: R \ a S}$

A lo largo de esta sección, sean y sean dos anillos (pueden ser conmutativos o no , o contener una identidad ), y sea un homomorfismo. La restricción de escalares cambia los módulos S en módulos R. En geometría algebraica , el término "restricción de escalares" se usa a menudo como sinónimo de restricción de Weil . ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle f: R \ a S}$

Supongamos que se acabó un módulo . Entonces se puede considerar como un módulo sobre donde la acción de se da a través de ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R}$

donde denota la acción definida por la estructura -module en . ^[1] ${\ Displaystyle m \ cdot f (r)}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle M}$

La restricción de escalares puede verse como un functor de -modules a -modules. Un -homomorfismo se convierte automáticamente en un -homomorfismo entre las restricciones de y . De hecho, si y entonces ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle u: M \ a N}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle m \ in M}$ ${\ Displaystyle r \ in R}$

Si es el anillo de enteros, entonces este es solo el functor olvidadizo de módulos a grupos abelianos. ${\ Displaystyle R}$