En álgebra abstracta , los biquaternions son los números w + x i + y j + z k , donde w , x , y y z son números complejos , o variantes de los mismos, y los elementos de { 1 , i , j , k } multiplicar como en el grupo de cuaterniones y conmutar con sus coeficientes. Hay tres tipos de biquaternions correspondientes a números complejos y sus variaciones:
- Biquaternions cuando los coeficientes son números complejos .
- Bicuaterniones divididos cuando los coeficientes son números complejos divididos .
- Cuaterniones duales cuando los coeficientes son números duales .
Este artículo trata sobre los biquaternions ordinarios nombrados por William Rowan Hamilton en 1844 (ver Actas de la Royal Irish Academy 1844 y 1850, página 388 [1] ). Algunos de los defensores más destacados de estos biquaternions incluyen a Alexander Macfarlane , Arthur W. Conway , Ludwik Silberstein y Cornelius Lanczos . Tal como se desarrolló a continuación, la unidad de cuasi-esfera de los biquaternions proporciona una representación del grupo de Lorentz , que es el fundamento de la relatividad especial .
El álgebra de biquaternions se puede considerar como un producto tensorial (tomado el control de los reales) donde C oes el campo de números complejos y H oes el álgebra de división de cuaterniones (reales) . En otras palabras, los biquaternions son solo la complejación de los cuaterniones. Visto como un álgebra compleja, los biquaternions son isomorfos al álgebra de matrices complejas 2 × 2 M 2 ( C ) . También son isomorfos a varias álgebras de Clifford, incluyendo H ( C ) = Cℓ 0 3 ( C ) = Cℓ 2 ( C ) = Cℓ 1,2 ( R ) , [2] : 112,113 el álgebra de Pauli Cℓ 3,0 ( R ) , [2] : 112 [3] : 404 y la parte par Cℓ 0 1,3 ( R ) = Cℓ 0 3,1 ( R ) del álgebra del espacio-tiempo . [3] : 386
Definición
Sea { 1 , i , j , k } la base de los cuaterniones (reales) H , y sean u , v , w , x números complejos, entonces
es un biquaternion . [4] : 639 Para distinguir las raíces cuadradas de menos uno en los biquaternions, Hamilton [4] : 730 [5] y Arthur W. Conway usaron la convención de representar la raíz cuadrada de menos uno en el campo escalar C por h para evitar confusión con la i en el grupo de cuaterniones . Se supone la conmutatividad del campo escalar con el grupo de cuaterniones:
Hamilton introdujo los términos bivector , biconjugate, bitensor y biversor para ampliar las nociones utilizadas con los cuaterniones H reales .
La exposición principal de Hamilton sobre los biquaternions se produjo en 1853 en sus Lectures on Quaternions . Las ediciones de Elements of Quaternions , en 1866 de William Edwin Hamilton (hijo de Rowan), y en 1899, 1901 de Charles Jasper Joly , redujeron la cobertura del biquaternion a favor de los cuaterniones reales.
Considerado con las operaciones de suma componente a componente, y la multiplicación de acuerdo con el grupo de cuaterniones, esta colección forma una 4-dimensional álgebra sobre los números complejos C . El álgebra de los biquaternions es asociativa , pero no conmutativa . Un biquaternion es una unidad o un divisor de cero . El álgebra de bicuaterniones forma un álgebra de composición y se puede construir a partir de números bicomplejos . Ver § Como álgebra de composición a continuación.
Lugar en la teoría del anillo
Representación lineal
Tenga en cuenta el producto de la matriz
- .
Como h es la unidad imaginaria , cada una de estas tres matrices tiene un cuadrado igual al negativo de la matriz identidad . Cuando este producto matricial se interpreta como ij = k, entonces se obtiene un subgrupo de matrices que es isomorfo al grupo de cuaterniones . Como consecuencia,
representa biquaternion q = u 1 + v i + w j + x k. Dado cualquier matriz compleja 2 × 2, hay valores complejos u , v , w , y x para poner en esta forma de manera que el anillo de la matriz M (2, C) es isomorfo [6] a la biquaternion anillo .
Subálgebras
Considerando el álgebra de biquaternion sobre el campo escalar de números reales R , el conjunto
forma una base para que el álgebra tenga ocho dimensiones reales . Los cuadrados de los elementos h i , h j y h k son todos uno positivo, por ejemplo, ( h i ) 2 = h 2 i 2 = (- 1 ) (- 1 ) = + 1 .
La subálgebra dada por
es un anillo isomorfo al plano de los números complejos divididos , que tiene una estructura algebraica construida sobre la hipérbola unitaria . Los elementos h j y h k también determinan tales subálgebras.
Además,
es una subálgebra isomorfa a los tessarinos .
Una tercera subálgebra llamada cocuaterniones es generada por h j y h k . Se ve que ( h j ) ( h k ) = (- 1 ) i , y que el cuadrado de este elemento es - 1 . Estos elementos generan el grupo diedro del cuadrado. El subespacio lineal con base { 1 , i , h j , h k }, por lo tanto, se cierra con la multiplicación y forma el álgebra del cuaternión.
En el contexto de la mecánica cuántica y spinor álgebra, el biquaternions h i , h j , y h k (o sus negativos), vistos en la M 2 ( C ) representación, se denominan matrices de Pauli .
Propiedades algebraicas
Los biquaternions tienen dos conjugaciones :
- el bivector biconjugado o biscalar menos es y
- la conjugación compleja de coeficientes biquaternion
dónde Cuándo
Tenga en cuenta que
Claramente, si entonces q es un divisor de cero. De lo contrariose define sobre los números complejos. Más,se verifica fácilmente. Esto permite definir un inverso por
- , Si
Relación con las transformaciones de Lorentz
Considere ahora el subespacio lineal [7]
M no es una subálgebra ya que no está cerrada bajo productos ; por ejemplo. De hecho, M no puede formar un álgebra si ni siquiera es un magma .
Proposición: si q está en M , entonces
Prueba: De las definiciones,
Definición: Deje que biquaternion g satisfagaEntonces la transformación de Lorentz asociada con g viene dada por
Proposición: Si q es en M , entonces T ( q ) también está en M .
Prueba:
Proposición:
Prueba: observe primero que gg * = 1 significa que la suma de los cuadrados de sus cuatro componentes complejos es uno. Entonces, la suma de los cuadrados de los conjugados complejos de estos componentes también es uno. Por lo tanto, Ahora
Terminología asociada
Como los biquaternions han sido un elemento fijo del álgebra lineal desde los inicios de la física matemática , existe una serie de conceptos que se ilustran o representan mediante el álgebra de biquaternion. El grupo de transformación tiene dos partes, y La primera parte se caracteriza por ; entonces la transformación de Lorentz correspondiente ag viene dada por desde Tal transformación es una rotación por multiplicación de cuaterniones , y la colección de ellos es O (3) Pero este subgrupo de G no es un subgrupo normal , por lo que no se puede formar ningún grupo cociente .
Para ver es necesario mostrar alguna estructura de subálgebra en los biquaternions. Sea r un elemento de la esfera de raíces cuadradas de menos uno en el cuaternión subálgebra H real . Entonces ( hr ) 2 = +1 y el plano de biquaternions dado pores una subálgebra conmutativa isomórfica al plano de números complejos divididos . Así como el plano complejo ordinario tiene un círculo unitario,tiene una hipérbola unitaria dada por
Así como el círculo unitario gira por multiplicación a través de uno de sus elementos, la hipérbola gira porque Por tanto, estos operadores algebraicos de la hipérbola se denominan versores hiperbólicos . El círculo unitario en C y la hipérbola unitaria en D r son ejemplos de grupos de un parámetro . Para cada raíz cuadrada r de menos uno en H , hay un grupo de un parámetro en los biquaternions dado por
El espacio de biquaternions tiene un natural de topología a través de la métrica euclidiana en 8 -espacio. Con respecto a esta topología, G es un grupo topológico . Además, tiene una estructura analítica que lo convierte en un grupo de Lie de seis parámetros . Considere el subespacio de bivectores . Entonces el mapa exponencial lleva los vectores reales a y los h -vectores paraCuando está equipado con el conmutador , A forma el álgebra de Lie de G . Así, este estudio de un espacio de seis dimensiones sirve para introducir los conceptos generales de la teoría de Lie . Cuando se ve en la representación matricial, G se denomina grupo lineal especial SL (2, C) en M 2 ( C ) .
Muchos de los conceptos de la relatividad especial se ilustran a través de las estructuras de biquaternion que se presentan. El subespacio M corresponde al espacio de Minkowski , con las cuatro coordenadas que dan las ubicaciones temporales y espaciales de los eventos en un marco de referencia en reposo . Cualquier versor hiperbólico exp ( ahr ) corresponde a una velocidad en la dirección r de velocidad c tanh a donde c es la velocidad de la luz . El marco de referencia inercial de esta velocidad se puede convertir en el marco de reposo aplicando el impulso de Lorentz T dado por g = exp (0.5 ahr ) desde entonces así que eso Naturalmente el hiperboloide que representa el rango de velocidades para el movimiento subluminal, es de interés físico. Ha habido un trabajo considerable que asocia este "espacio de velocidades" con el modelo de hiperboloide de la geometría hiperbólica . En relatividad especial, el parámetro del ángulo hiperbólico de un versor hiperbólico se llama rapidez . Por lo tanto, vemos que el grupo de biquaternion G proporciona una representación de grupo para el grupo de Lorentz .
Después de la introducción de la teoría del espinor , particularmente en manos de Wolfgang Pauli y Élie Cartan , la representación biquaternion del grupo de Lorentz fue reemplazada. Los nuevos métodos se basaron en vectores base en el conjunto
que se llama cono de luz complejo . La representación anterior del grupo de Lorentz coincide con lo que los físicos denominan cuatro vectores . Más allá de los cuatro vectores, el modelo estándar de física de partículas también incluye otras representaciones de Lorentz, conocidas como escalares , y la representación (1, 0) ⊕ (0, 1) asociada con, por ejemplo, el tensor de campo electromagnético . Además, la física de partículas hace uso de las representaciones SL (2, C ) (o representaciones proyectivas del grupo de Lorentz) conocidas como espinores de Weyl de mano izquierda y derecha , espinores de Majorana y espinores de Dirac . Se sabe que cada una de estas siete representaciones se puede construir como subespacios invariantes dentro de los biquaternions. [8]
Como álgebra de composición
Aunque WR Hamilton introdujo los biquaternions en el siglo XIX, su delineación de su estructura matemática como un tipo especial de álgebra sobre un campo se logró en el siglo XX: los biquaternions se pueden generar a partir de los números bicomplex de la misma manera que Adrian Albert generó los cuaterniones reales a partir de números complejos en la construcción llamada Cayley-Dickson . En esta construcción, un número bicomplejo ( w, z ) tiene conjugado ( w, z ) * = ( w , - z ).
El biquaternion es entonces un par de números bicomplejos ( a, b ), donde el producto con un segundo biquaternion ( c, d ) es
Si luego el biconjugado
Cuando ( a, b ) * se escribe como un 4-vector de números complejos ordinarios,
Los biquaternions forman un ejemplo de un álgebra de cuaterniones , y tiene norma
Dos biquaternions p y q Satisfacerlo que indica que N es una forma cuadrática que admite composición, de modo que los bicuaterniones forman un álgebra de composición .
Ver también
- Álgebra de Biquaternion
- Número de hipercomplejo
- El uso de MacFarlane
- Anillo de cociente
Notas
- ^ Actas de la Real Academia Irlandesa de noviembre de 1844 (NA) y 1850 página 388 de Google Books [1]
- ^ a b D. JH Garling (2011) Álgebras de Clifford: una introducción , Cambridge University Press.
- ^ a b Francis y Kosowsky (2005) La construcción de espinores en álgebra geométrica . Annals of Physics, 317, 384—409. Enlace del artículo
- ^ a b William Rowan Hamilton (1853) Conferencias sobre cuaterniones , artículo 669. Este texto matemático histórico está disponible en línea por cortesía de la Universidad de Cornell.
- ↑ Hamilton (1899) Elements of Quaternions , 2da edición, página 289
- ^ Leonard Dickson (1914) Álgebras lineales , §13 "Equivalencia del cuaternión complejo y álgebras matriciales" , página 13, a través de HathiTrust
- ↑ Lanczos, Cornelius (1949), The Variational Principles of Mechanics , University of Toronto Press , págs. 304-312 Ver ecuación 94.16, página 305. El siguiente álgebra se compara con Lanczos, excepto que usa ~ para significar la conjugación de cuaterniones y * para la conjugación compleja.
- ^ Furey 2012
Referencias
- Arthur Buchheim (1885) "A Memoir on biquaternions" , American Journal of Mathematics 7 (4): 293 a 326 del contenido inicial de Jstor .
- Conway, Arthur W. (1911), "Sobre la aplicación de los cuaterniones a algunos desarrollos recientes en la teoría eléctrica", Actas de la Royal Irish Academy , 29A : 1-9.
- Furey, C. (2012). "Teoría unificada de ideales". Phys. Rev. D . 86 (2): 025024. arXiv : 1002.1497 . Código bibliográfico : 2012PhRvD..86b5024F . doi : 10.1103 / PhysRevD.86.025024 . S2CID 118458623 .
- Hamilton (1866) Elementos de Quaternions University of Dublin Press. Editado por William Edwin Hamilton, hijo del autor fallecido.
- Hamilton (1899) Elements of Quaternions volumen I, (1901) volumen II. Editado por Charles Jasper Joly ; publicado por Longmans, Green & Co ..
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