En la teoría de la homotopía , una rama de las matemáticas , una adjunción de Quillen entre dos categorías de modelo cerrado C y D es un tipo especial de adjunción entre categorías que induce una adjunción entre las categorías de homotopía Ho ( C ) y Ho ( D ) a través del functor derivado total. construcción. Los adjuntos de Quillen se nombran en honor al matemático Daniel Quillen .
Definicion formal
Dadas dos categorías de modelos cerrados C y D , un complemento de Quillen es un par
- ( F , G ): CD
de functores adjuntos con F a la izquierda adjunta a G de tal manera que F preserva cofibraciones y cofibraciones triviales o, de manera equivalente por los axiomas del modelo cerrado, tal que G preserva fibraciones y fibraciones triviales. En tal adjunción, F se denomina funtor de Quillen izquierdo y G se denomina funtor de Quillen derecho .
Propiedades
Es una consecuencia de los axiomas que un funtor de Quillen izquierdo (derecho) conserva equivalencias débiles entre objetos cofibrantes (fibrantes). El teorema del functor derivado total de Quillen dice que el functor derivado total izquierdo
- L F : Ho ( C ) → Ho ( D )
es un adjunto a la izquierda del functor derivado total derecho
- R G : Ho ( D ) → Ho ( C ).
Esta adjunción ( L F , R G ) se denomina adjunción derivada .
Si ( F , G ) es un complemento de Quillen como el anterior, tal que
- F ( c ) → d
con c cofibrante yd fibrante es una equivalencia débil en D si y solo si
- c → G ( d )
es una equivalencia débil en C, entonces se llama una equivalencia de Quillen de las categorías C y D del modelo cerrado . En este caso, el adjunto derivado es una equivalencia adjunta de categorías de modo que
- L F ( c ) → d
es un isomorfismo en Ho ( D ) si y solo si
- c → R G ( d )
es un isomorfismo en Ho ( C ).
Referencias
- Goerss, PG; Jardine, JF (1999). Teoría de la homotopía simple . Progreso en Matemáticas. 174 . Basilea, Boston, Berlín: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-6064-1.
- [1] [2]
- Philip S. Hirschhorn, Categorías de modelos y sus localizaciones, American Mathematical Soc., 24 de agosto de 2009 - Matemáticas - 457 páginas