En topología , una rama de las matemáticas, una fibración es una generalización de la noción de haz de fibras . Un haz de fibras precisa la idea de que un espacio topológico (llamado fibra) está "parametrizado" por otro espacio topológico (llamado base). Una fibración es como un haz de fibras, excepto que las fibras no necesitan ser el mismo espacio, ni siquiera homeomórficas ; más bien, son solo equivalentes de homotopía . Las fibraciones débiles descartan incluso esta equivalencia por una propiedad más técnica.
Las fibras no tienen necesariamente la estructura del producto cartesiano local que define el caso del haz de fibras más restringido, sino algo más débil que aún permite el movimiento "lateral" de una fibra a otra. Los haces de fibras tienen una teoría de homotopía particularmente simple que permite inferir información topológica sobre el haz a partir de información sobre uno o ambos de estos espacios constituyentes. Una fibración satisface una condición adicional (la propiedad de elevación de la homotopía ) que garantiza que se comportará como un haz de fibras desde el punto de vista de la teoría de la homotopía.
Las fibraciones son duales a las cofibraciones , con una noción correspondientemente dual de la propiedad de extensión de la homotopía ; esto se conoce vagamente como dualidad Eckmann-Hilton .
Definicion formal
Una fibración (o fibración de Hurewicz o espacio de fibra de Hurewicz , llamado así por Witold Hurewicz ) es un mapeo continuo satisfaciendo la propiedad de elevación de homotopía con respecto a cualquier espacio. Los haces de fibras (sobre bases paracompactas ) constituyen ejemplos importantes. En la teoría de la homotopía , cualquier mapeo es "tan bueno como" una fibración, es decir, cualquier mapa puede descomponerse como una equivalencia de homotopía en un " espacio de ruta de mapeo " seguido de una fibración en fibras homotópicas .
Las fibras son, por definición, los subespacios de E que son las imágenes inversas de los puntos b de B . Si el espacio base B está conectado por una trayectoria, es una consecuencia de la definición de que las fibras de dos puntos diferentes y en B son homotopía equivalente . Por lo tanto, por lo general se habla de "la fibra" F .
Fibraciones serre
Un mapeo continuo con la propiedad de elevación de homotopía para complejos CW (o equivalentemente, solo cubos) se denomina fibración de Serre o fibración débil , en honor al papel desempeñado por el concepto en la tesis de Jean-Pierre Serre . Esta tesis estableció firmemente en la topología algebraica el uso de secuencias espectrales , y separó claramente las nociones de haces de fibras y fibraciones de la noción de gavilla (ambos conceptos juntos han estado implícitos en el tratamiento pionero de Jean Leray ). Debido a que una gavilla (pensada como un espacio étalé ) puede considerarse un homeomorfismo local , las nociones estaban estrechamente relacionadas en ese momento. Una de las principales propiedades deseables de la secuencia espectral Serre es dar cuenta de la acción del grupo fundamental de la base B en la homología de la "espacio total" E .
Tenga en cuenta que las fibraciones de Serre son estrictamente más débiles que las fibraciones en general: la propiedad de elevación de homotopía solo necesita mantenerse en cubos (o complejos CW), y no en todos los espacios en general. Como resultado, es posible que las fibras ni siquiera sean homotópicas equivalentes; se da un ejemplo explícito a continuación.
Ejemplos de
En los siguientes ejemplos, una fibración se denota
- F → E → B ,
donde el primer mapa es la inclusión de "la" fibra F en el espacio total E y el segundo mapa es el fibración sobre la base B . Esto también se conoce como secuencia de fibración.
- El mapa de proyección de un espacio de producto se ve fácilmente como una fibración.
- Los haces de fibras tienen trivializaciones locales, es decir , las estructuras de productos cartesianos existen localmente en B , y esto suele ser suficiente para demostrar que un haz de fibras es una fibración. Más precisamente, si hay trivializaciones locales sobre una cubierta abierta numerable de B , el paquete es una fibración. Cualquier cubierta abierta de un espacio paracompacto tiene un refinamiento numerable. Por ejemplo, cualquier cubierta abierta de un espacio métrico tiene un refinamiento localmente finito , por lo que cualquier paquete sobre dicho espacio es una fibración. La trivialidad local también implica la existencia de un bien definido fibra ( hasta homeomorfismo ), al menos en cada componente conectado de B .
- La fibración de Hopf S 1 → S 3 → S 2 fue históricamente uno de los primeros ejemplos no triviales de una fibración.
- Las fibraciones de Hopf se generalizan a fibraciones sobre un espacio proyectivo complejo , con una fibración S 1 → S 2 n +1 → CP n . El ejemplo anterior es un caso especial, para n = 1, ya que CP 1 es homeomorfo a S 2 .
- Las fibraciones de Hopf se generalizan a fibraciones sobre el espacio proyectivo cuaterniónico , con una fibración Sp 1 → S 4 n +3 → HP n . La fibra aquí es el grupo de cuaterniones unitarios Sp 1 .
- La fibración de Serre SO (2) → SO (3) → S 2 proviene de la acción del grupo de rotación SO (3) sobre la 2-esfera S 2 . Tenga en cuenta que SO (3) es homeomorfo al espacio proyectivo real R P 3 , por lo que S 3 es una doble cobertura de SO (3) , por lo que la fibración de Hopf es la cobertura universal.
- El ejemplo anterior también se puede generalizar a una fibración SO ( n ) → SO ( n +1) → S n para cualquier número entero no negativo n (aunque solo tienen una fibra que no es solo un punto cuando n > 1 ) que proviene de la acción del grupo ortogonal especial SO ( n +1) sobre la n -esfera.
Convertir un mapa en una fibración
Cualquier mapa continuo se puede factorizar como un compuesto [1] donde es una fibración y es una equivalencia de homotopía . Denotandocomo el espacio de mapeo (usando la topología compacta-abierta ), el espacio de fibración se construye como
con mapa de estructura enviando .
La verificación de la propiedad de elevación de homotopía verifica que este mapa realmente forme una fibración.
El mapa de inyección es dado por dónde es el camino constante.
Hay una deformación retraída de las fibras homotópicas.
a esta inclusión, dando una equivalencia de homotopía .
Ejemplo de fibración débil
Todos los ejemplos anteriores tienen fibras que son homotopía equivalentes. Este debe ser el caso de las fibraciones en general, pero no necesariamente de las fibraciones débiles. La noción de una fibración débil es estrictamente más débil que una fibración, como ilustra el siguiente ejemplo: es posible que las fibras ni siquiera tengan el mismo tipo de homotopía .
Considere el subconjunto del plano real dada por
y el espacio base dado por el intervalo unitario , la proyección de . Se puede ver fácilmente que se trata de una fibración de Serre. Sin embargo, la fibra y la fibra en no son equivalentes de homotopía. El espacio tiene una inyección obvia en el espacio total y tiene una homotopía obvia (la función constante) en el espacio base ; sin embargo, no se puede levantar y, por tanto, el ejemplo no puede ser una fibración en general.
Secuencia larga exacta de grupos de homotopía.
Elija un punto base b 0 ∈ B . Sea F la fibra sobre b 0 , es decir, F = p −1 ({ b 0 }) ; y dejar que sea la inclusión F → E . Elija un punto base f 0 ∈ F y sea e 0 = i ( f 0 ) . En términos de estos puntos base, la secuencia Puppe se puede usar para mostrar que hay una secuencia larga exacta
Se construye a partir de los grupos de homotopía de la fibra F , espacio total E , y la base de espacio B . Los homomorfismos π n ( F ) → π n ( E ) y π n ( E ) → π n ( B ) son solo los homomorfismos inducidos de i y p , respectivamente. Los mapas que involucran π 0 no son homomorfismos de grupo porque los π 0 no son grupos, pero son exactos en el sentido de que la imagen es igual al núcleo (aquí el "elemento neutral" es el componente conectado que contiene el punto base).
Esta secuencia es válida para ambas fibraciones y para fibraciones débiles, aunque la prueba de los dos casos es ligeramente diferente.
Prueba
Una forma posible de demostrar que la secuencia anterior está bien definida y es exacta, evitando el contacto con la secuencia Puppe, es proceder directamente de la siguiente manera. El tercer conjunto de homomorfismos β n : π n ( B ) → π n −1 ( F ) (llamado "homomorfismos de conexión" (en referencia al lema de la serpiente ) o "mapas de límites") no es un mapa inducido y es definido directamente en los correspondientes grupos de homotopía con los siguientes pasos.
- Primero, un poco de terminología: sea δ n : S n → D n +1 la inclusión del límite n -esfera en la ( n +1) -ball . Sea γ n : D n → S n el mapa que colapsa la imagen de δ n −1 en D n a un punto.
- Sea φ : S n → B un mapa de representación de un elemento de π n ( B ) .
- Debido a que D n es homeomorfo al cubo n- dimensional, podemos aplicar la propiedad de elevación de homotopía para construir una elevación λ : D n → E de φ ∘ γ n (es decir, un mapa λ tal que p ∘ λ = φ ∘ γ n ) con condición inicial f 0 .
- Debido a que γ n ∘ δ n −1 es un mapa de puntos (en lo sucesivo, " pt "), pt = φ ∘ γ n ∘ δ n −1 = p ∘ λ ∘ δ n −1 , lo que implica que la imagen de λ ∘ delta n -1 es en F . Por lo tanto, existe un mapa ψ : S n −1 → F tal que i ∘ ψ = λ ∘ δ n −1 .
- Definimos β n [ φ ] = [ ψ ] .
Lo anterior se resume en el siguiente diagrama conmutativo :
La aplicación repetida de la propiedad de elevación de homotopía se usa para demostrar que β n está bien definido (no depende de una elevación en particular), depende solo de la clase de homotopía de su argumento, es un homomorfismo y que la secuencia larga es exacta.
Alternativamente, se pueden utilizar grupos de homotopía relativa para obtener la secuencia larga exacta en la homotopía de una fibración a partir de la secuencia larga exacta en la homotopía relativa [2] del par. Uno usa que el n-ésimo grupo de homotopía de relativo a es isomorfo al n-ésimo grupo de homotopía de la base .
Ejemplo
También se puede proceder en sentido inverso. Cuando la fibración es la fibra cartográfica (dual con el cono cartográfico , una cofibración ), se obtiene la secuencia Puppe exacta . En esencia, la larga secuencia exacta de grupos de homotopía se deriva del hecho de que los grupos de homotopía se pueden obtener como suspensiones, o dualmente, espacios de bucle .
Característica de Euler
La característica de Euler χ es multiplicativa para fibraciones con ciertas condiciones.
Si p : E → B es una fibración con fibra F , con la base B conectada al camino , y la fibración es orientable sobre un campo K , entonces la característica de Euler con coeficientes en el campo K satisface la propiedad del producto: [3]
- χ ( E ) = χ ( F ) · χ ( B ) .
Esto incluye espacios de productos y espacios de cobertura como casos especiales, y puede probarse mediante la secuencia espectral de Serre sobre la homología de una fibración.
Para los haces de fibras, esto también se puede entender en términos de un mapa de transferencia τ : H ∗ ( B ) → H ∗ ( E ) —nótese que esto es un levantamiento y va "en el camino equivocado" —cuya composición con el mapa de proyección p ∗ : H ∗ ( E ) → H ∗ ( B ) es la multiplicación por la característica de Euler de la fibra: [4] p ∗ ∘ τ = χ ( F ) · 1 .
Fibraciones en categorías de modelos cerrados
Las fibraciones de los espacios topológicos encajan en un marco más general, las denominadas categorías de modelos cerrados , siguiendo el teorema de los modelos acíclicos . En tales categorías, se distinguen clases de morfismos, las llamadas fibraciones , cofibraciones y equivalencias débiles . Ciertos axiomas , como la estabilidad de las fibraciones bajo composición y los retrocesos , la factorización de cada morfismo en la composición de una cofibración acíclica seguida de una fibración o una cofibración seguida de una fibración acíclica, donde la palabra "acíclica" indica que la flecha correspondiente también es una equivalencia débil, y se establecen otros requisitos para permitir el tratamiento abstracto de la teoría de la homotopía. (En el tratamiento original, debido a Daniel Quillen , se usó la palabra "trivial" en lugar de "acíclico").
Se puede demostrar que la categoría de espacios topológicos es de hecho una categoría modelo, donde las fibraciones (abstractas) son solo las fibraciones de Serre introducidas anteriormente y las equivalencias débiles son equivalencias de homotopía débiles . [5]
Ver también
- Cofibración
- Colimit de homotopía
- Fibra de homotopía
- Cuasifibración
- Fibra de Hopf
- Cambio de fibra
- Fibra G
Referencias
- ^ Hatcher, Allen. Introducción a la topología algebraica . pag. 407.
- ^ Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica (PDF)
- ^ Spanier, Edwin Henry (1982), Topología algebraica , Springer, ISBN 978-0-387-94426-5, Aplicaciones de la secuencia espectral de homología, pág. 481
- ^ Gottlieb, Daniel Henry (1975), "Paquetes de fibras y la característica de Euler" (PDF) , Journal of Differential Geometry , 10 (1): 39–48, doi : 10.4310 / jdg / 1214432674
- ^ Dwyer, William G .; Spaliński, J. (1995), "Teorías de homotopía y categorías de modelos" , Handbook of algebraic topology , Amsterdam: North-Holland, págs. 73–126, doi : 10.1016 / B978-044481779-2 / 50003-1 , ISBN 9780444817792, MR 1361887