En matemáticas , en particular en la teoría de la homotopía , un mapeo continuo
- ,
dónde y son espacios topológicos , es una cofibración si permite que las clases de homotopía de mapas extenderse a clases de mapas de homotopía siempre que un mapa se puede ampliar a un mapa dónde , por lo tanto, sus clases de homotopía asociadas son iguales .
Este tipo de estructura se puede codificar con la condición técnica de tener la propiedad de extensión de homotopía con respecto a todos los espacios.. Esta definición es dual a la de una fibración , que se requiere para satisfacer la propiedad de elevación de homotopía con respecto a todos los espacios. Esta dualidad se conoce informalmente como dualidad Eckmann-Hilton . Debido a la generalidad que se establece esta condición técnica, se puede utilizar en categorías de modelos .
Definición
Teoría de la homotopía
Un mapa de espacios topológicos se llama una cofibración [1] pág. 51 si para cualquier mapa tal que hay una extensión para , lo que significa que hay un mapa tal que , podemos extender una homotopia de mapas a una homotopia de mapas , dónde
Podemos codificar esta condición en el siguiente diagrama conmutativo
dónde es el espacio de camino de.
Objetos cofibrantes
Para una categoría de modelo , como para espacios topológicos puntiagudos, un objeto se llama cofibrante si el mapaes una cofibración. Nótese que en la categoría de espacios topológicos puntiagudos, la noción de cofibración coincide con la definición anterior asumiendo que los mapas son mapas puntiagudos de espacios topológicos.
Ejemplos de
En topología
Las cofibraciones son una clase incómoda de mapas desde una perspectiva computacional porque se ven más fácilmente como una herramienta técnica formal que permite "hacer" construcciones teóricas de homotopía con espacios topológicos. Afortunadamente, para cualquier mapa
de espacios topológicos, hay una cofibración asociada a un espacio llamado cilindro de mapeo (dondees una retracción de deformación de, por lo tanto, homotopía equivalente a ella) que tiene una cofibración inducida llamada reemplazo de un mapa con una cofibración
y un mapa a través del cual factores a través, lo que significa que hay un diagrama conmutativo
dónde es una equivalencia de homotopía.
Además de esta clase de ejemplos, hay
- Un hecho que se usa con frecuencia es que una inclusión celular es una cofibración (así, por ejemplo, si es un par CW , entonceses una cofibración). Esto se sigue del hecho anterior ya que es una cofibración para cada , y los pushouts son los mapas de pegado al esqueleto.
- Las cofibraciones se conservan bajo los empujes y la composición, que se indica con precisión a continuación.
En cadenas de complejos
Si dejamos ser la categoría de complejos de cadenas que son en grados , luego hay una estructura de categoría modelo [2] pg 1.2 donde las equivalencias débiles son cuasi-isomorfismos , por lo que los mapas de complejos de cadenas que son isomorfismos después de tomar la cohomología, las fibraciones son solo epimorfismos y las cofibraciones están dadas por mapas
que son inyectables y el complejo cokernel es un complejo de objetos proyectivos en. Además, los objetos cofibrantes son los complejos cuyos objetos son todos objetos proyectivos en.
Conjuntos semi-simpliciales
Para la categoria de conjuntos semi-simpliciales [2] pág. 1.3 (lo que significa que no hay mapas de co-degeneración subiendo en grado), hay una estructura de categoría modelo con fibraciones dadas por Kan-fibraciones, mapas inyectivos de cofibraciones y equivalencias débiles dadas por equivalencias débiles después de la realización geométrica.
Propiedades
- Para los espacios de Hausdorff , cada cofibración es una inclusión cerrada (inyectiva con imagen cerrada); el resultado también se generaliza a espacios débiles de Hausdorff .
- El empuje de una cofibración es una cofibración. Es decir, si es cualquier mapa (continuo) (entre espacios generados de forma compacta), y es una cofibración, entonces el mapa inducido es una cofibración.
- El cilindro de mapeo puede entenderse como el empuje de y la incrustación (en un extremo del intervalo unitario) . Es decir, el cilindro de mapeo se puede definir como. Por la propiedad universal de la expulsión,es un cofibration precisamente cuando un cilindro de mapeo puede ser construida para cada espacio X .
- Cada mapa puede ser reemplazado por una cofibración a través de la construcción del cilindro de mapeo . Es decir, dado un mapa arbitrario (continuo) (entre espacios generados de forma compacta), se define el cilindro de mapeo
- .
- Uno luego se descompone en la combinación de una cofibración y una equivalencia de homotopía . Es decir, se puede escribir como el mapa
- con , Cuándo es la inclusión, y en y en .
- Hay una cofibración ( A , X ), si y solo si hay una retracción de a , ya que esta es la expulsión y, por lo tanto, induce mapas a cada espacio sensible en el diagrama.
- Se pueden establecer equivalencias similares para pares deformación-retracción y para pares vecinos deformación-retracción.
Construcciones con cofibraciones
Reemplazo cofibrante
Tenga en cuenta que en una categoría de modelo Si no es una cofibración, entonces el cilindro de mapeo forma un sustituto cofibrante . De hecho, si trabajamos solo en la categoría de espacios topológicos, el reemplazo cofibrante de cualquier mapa desde un punto a un espacio forma un reemplazo cofibrante.
Cofibra
Para una cofibración definimos la cofibra como el espacio del cociente inducido. En general, para, la cofibra [1] pg 59 se define como el espacio del cociente
que es el cono de mapeo de . Homotópicamente, el cofiber actúa como un cokernel homotópico del mapa.. De hecho, para espacios topolgicos puntiagudos, el colimito de homotopia de
De hecho, la secuencia de mapas Viene equipado con la secuencia cofiber que actúa como un triángulo distinguido en categorías trianguladas.
Ver también
Referencias
- Peter May, "Un curso conciso en topología algebraica" : el capítulo 6 define y discute las cofibraciones, y se utilizan a lo largo de
- Ronald Brown, "Topología y grupos" ; El capítulo 7 se titula "Cofibraciones" y tiene muchos resultados que no se encuentran en ninguna otra parte.