En matemáticas , la conjetura de Quillen-Lichtenbaum es una conjetura que relaciona la cohomología étale con la teoría K algebraica introducida por Quillen (1975 , p. 175), quien se inspiró en conjeturas anteriores de Lichtenbaum (1973) . Kahn (1997) y Rognes & Weibel (2000) demostraron la conjetura de Quillen-Lichtenbaum en el primo 2 para algunos campos numéricos. Voevodsky , utilizando algunos resultados importantes de Markus Rost , ha probado la conjetura de Bloch-Kato , que implica la conjetura de Quillen-Lichtenbaum para todos los números primos.
Declaración
La conjetura en la forma original de Quillen establece que si A es un álgebra generada finitamente sobre los números enteros y l es primo, entonces hay una secuencia espectral análoga a la secuencia espectral Atiyah-Hirzebruch , comenzando en
- (que se entiende que es 0 si q es impar)
y lindando con
para - p - q > 1 + dim A .
K -teoría de los enteros
Suponiendo la conjetura de Quillen-Lichtenbaum y la conjetura de Vandiver , los grupos K de los números enteros, K n ( Z ), están dados por:
- 0 si n = 0 mod 8 y n > 0, Z si n = 0
- Z ⊕ Z / 2 si n = 1 mod 8 yn > 1, Z / 2 si n = 1.
- Z / c k ⊕ Z / 2 si n = 2 mod 8
- Z / 8 d k si n = 3 mod 8
- 0 si n = 4 mod 8
- Z si n = 5 mod 8
- Z / c k si n = 6 mod 8
- Z / 4 d k si n = 7 mod 8
donde c k / d k es el número de Bernoulli B 2 k / k en términos más bajos y n es 4 k - 1 o 4 k - 2 ( Weibel 2005 ).
Referencias
- Grayson, Daniel R. (1994), "Filtraciones de peso en la teoría K algebraica", en Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven; Serre, Jean-Pierre (eds.), Motives (Seattle, WA, 1991) , Proc. Simpos. Pure Math., 55 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 207-237, ISBN 978-0-8218-1636-3, MR 1265531
- Kahn, Bruno (1997), La conjetura de Quillen-Lichtenbaum en el primer 2 (PDF)
- Lichtenbaum, Stephen (1973), "Valores de funciones zeta, cohomología étale y teoría K algebraica", en Bass, H. (ed.), Teoría K algebraica, II: Teoría K algebraica clásica y conexiones con la aritmética (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Washington, 1972) , Lecture Notes in Mathematics, 342 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 489–501, doi : 10.1007 / BFb0073737 , ISBN 978-3-540-06435-0, MR 0406981
- Quillen, Daniel (1975), "Teoría K algebraica superior", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Vancouver, BC, 1974), vol. 1 , Canad. Matemáticas. Congreso, Montreal, Que., Págs. 171-176, MR 0422392
- Rognes, J .; Weibel, Charles (2000), "Teoría K algebraica de dos primarias de anillos de números enteros en campos numéricos" , Journal of the American Mathematical Society , 13 (1): 1-54, doi : 10.1090 / S0894-0347-99- 00317-3 , ISSN 0894-0347 , MR 1697095
- Weibel, Charles (2005), "Teoría K algebraica de anillos de números enteros en campos locales y globales", en Friedlander, Eric M .; Grayson, Daniel R. (eds.), Manual de teoría K. Vol. 1 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 139–190, doi : 10.1007 / 3-540-27855-9_5 , ISBN 978-3-540-23019-9, MR 2181823