Paquete tautológico

En matemáticas , el haz tautológica es un paquete del vector que ocurre durante un Grassmannian de una manera tautológica natural: por un Grassmannian de - dimensionales subespacios de , dado un punto en el Grassmannian correspondiente a un subespacio vectorial -dimensional , la fibra sobre es el subespacio propio . En el caso del espacio proyectivo, el paquete tautológico se conoce como paquete de líneas tautológicas.${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$${\displaystyle k}$${\displaystyle W\subseteq V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

El paquete tautológico también se denomina paquete universal, ya que cualquier paquete de vectores (sobre un espacio compacto ^[1] ) es un retroceso del paquete tautológico; es decir, Grassmannian es un espacio de clasificación para paquetes de vectores. Debido a esto, el paquete tautológico es importante en el estudio de clases características .

Los paquetes tautológicos se construyen tanto en topología algebraica como en geometría algebraica. En geometría algebraica, el haz de líneas tautológicas (como haz invertible ) es

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1),}$

el dual del paquete hiperplano o el haz giratorio de Serre . El paquete de hiperplano es el paquete de línea correspondiente al hiperplano ( divisor ) en El paquete de línea tautológica y el paquete de hiperplano son exactamente los dos generadores del grupo Picard del espacio proyectivo. ^[2]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

En la "teoría K" de Michael Atiyah , el conjunto de líneas tautológicas sobre un espacio proyectivo complejo se denomina conjunto de líneas estándar . El paquete de esferas del paquete estándar generalmente se llama paquete de Hopf . (cf. generador de Bott .)

De manera más general, también hay paquetes tautológicos en un paquete proyectivo de un paquete de vectores, así como en un paquete de Grassmann .

El término canónico más antiguo ha caído en desgracia, sobre la base de que canónico está muy sobrecargado en terminología matemática, y (peor) la confusión con la clase canónica en geometría algebraica difícilmente podría evitarse.

Definición intuitiva

Grassmannianos, por definición, son los espacios de parámetros para subespacios lineales , de una dimensión dada, en un espacio vectorial dado . Si es un Grassmanniano, y es el subespacio de correspondiente a in , esto ya es casi los datos requeridos para un paquete de vectores: es decir, un espacio vectorial para cada punto , que varía continuamente. Todo lo que puede detener la definición del paquete tautológico a partir de esta indicación, es la dificultad de que se van a cruzar. Arreglar esto es una aplicación rutinaria del dispositivo de unión disjunta , de modo que la proyección del haz es de un espacio total formado por copias idénticas del${\displaystyle W}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle g}$${\displaystyle G}$${\displaystyle g}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle V_{g}}$, que ahora no se cruzan. Con esto, tenemos el paquete.

Se incluye el caso del espacio proyectivo. Por convención, puede ser útil llevar el paquete tautológico en el sentido del espacio dual . Es decir, con el espacio dual, puntos de acarreo de los subespacios vectoriales de que son sus núcleos, cuando se considera como (rayos) lineales funcionales sobre . Si tiene dimensión , el paquete de líneas tautológicas es un paquete tautológico y el otro, que se acaba de describir, es de rango .${\displaystyle P(V)}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle P(V)}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle n}$

Definicion formal

Sea el Grassmanniano de los subespacios vectoriales n- dimensionales en un conjunto es el conjunto de todos los subespacios vectoriales n- dimensionales de Por ejemplo, si n = 1, es el k -espacio proyectivo real .${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k};}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+k}.}$

Definimos el paquete tautológico γ _{n , k} over de la siguiente manera. El espacio total del paquete es el conjunto de todos los pares ( V , v ) que consta de un punto V del Grassmanniano y un vector v en V ; se le da la topología de subespacio del producto cartesiano El mapa π proyección está dada por π ( V , v ) = V . Si F es la preimagen de V bajo π, se le da una estructura de un espacio vectorial por a ( V , v ) + b ( V${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times \mathbb {R} ^{n+k}.}$, w ) = ( V , av + bw ). Finalmente, para ver la trivialidad local, dado un punto X en el Grassmanniano, sea U el conjunto de todos los V tal que la proyección ortogonal p sobre X mapee V isomórficamente sobre X , ^[3] y luego defina

${\displaystyle {\begin{cases}\phi :\pi ^{-1}(U)\to G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\times X\\\phi (V,v)=(V,p(v))\end{cases}}}$

que es claramente un homeomorfismo. Por tanto, el resultado es un conjunto de vectores de rango n .

La definición anterior sigue teniendo sentido si la reemplazamos con el campo complejo${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Por definición, el Grassmanniano infinito es el límite directo de como Tomando el límite directo de los paquetes γ _{n , k} da el paquete tautológico γ _n de Es un paquete universal en el sentido: para cada espacio compacto X , hay una biyección natural${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$${\displaystyle k\to \infty .}$${\displaystyle G_{n}.}$

${\displaystyle {\begin{cases}[X,G_{n}]\to \operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)\\f\mapsto f^{*}(\gamma _{n})\end{cases}}}$

donde a la izquierda el corchete significa clase de homotopía y a la derecha está el conjunto de clases de isomorfismo de paquetes de vectores reales de rango n . El mapa inverso se da de la siguiente manera: dado que X es compacto, cualquier paquete de vectores E es un subconjunto de un paquete trivial: para algunos k y, por lo tanto, E determina un mapa ${\displaystyle E\hookrightarrow X\times \mathbb {R} ^{n+k}}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{E}:X\to G_{n}\\x\mapsto E_{x}\end{cases}}}$

único hasta la homotopía.

Observación : A su vez, se puede definir un paquete tautológico como un paquete universal; supongamos que hay una biyección natural

${\displaystyle [X,G_{n}]=\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {R} }(X)}$

para cualquier espacio paracompacto X . Dado que es el límite directo de los espacios compactos, es paracompacto y, por lo tanto, hay un paquete vectorial único sobre que corresponde al mapa de identidad en Es precisamente el paquete tautológico y, por restricción, se obtienen los paquetes tautológicos sobre todo.${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle G_{n}.}$${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k}).}$

Paquete Hyperplane

El paquete hiperplano H en un k -espacio proyectivo real se define de la siguiente manera. El espacio total de H es el conjunto de todos los pares ( L , f ) que consisten en una línea L a través del origen en y f un funcional lineal en L . El mapa de proyección π viene dado por π ( L , f ) = L (de modo que la fibra sobre L es el espacio vectorial dual de L ). El resto es exactamente como el haz de líneas tautológicas.${\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}}$

En otras palabras, H es el paquete dual del paquete de líneas tautológicas.

En geometría algebraica, el paquete de hiperplano es el paquete de líneas (como haz invertible ) correspondiente al divisor de hiperplano

${\displaystyle H=\mathbb {P} ^{n-1}\subset \mathbb {P} ^{n}}$

dado como, digamos, x ₀ = 0, cuando x _i son las coordenadas homogéneas . Esto se puede ver de la siguiente manera. Si D es un divisor (Weil) en uno, define el paquete de líneas correspondiente O ( D ) en X por ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n},}$

${\displaystyle \Gamma (U,O(D))=\{f\in K|(f)+D\geq 0{\text{ on }}U\}}$

donde K es el campo de funciones racionales sobre X . Tomando D por H , tenemos:

${\displaystyle {\begin{cases}O(H)\simeq O(1)\\f\mapsto fx_{0}\end{cases}}}$

donde x ₀ es, como de costumbre, visto como una sección global de la gavilla retorcida O (1). (De hecho, el isomorfismo anterior es parte de la correspondencia habitual entre los divisores de Weil y los divisores de Cartier). Finalmente, el dual de la gavilla retorcida corresponde al haz de líneas tautológicas (ver más abajo).

Paquete de líneas tautológicas en geometría algebraica

En geometría algebraica, esta noción existe sobre cualquier campo k . La definición concreta es la siguiente. Deja y . Tenga en cuenta que tenemos:${\displaystyle A=k[y_{0},\dots ,y_{n}]}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}=\operatorname {Proj} A}$

${\displaystyle \mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]\right)=\mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}=\mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}{\mathbb {P} ^{n}}}$

donde Spec es Spec relativa . Ahora, pon:

${\displaystyle L=\mathbf {Spec} \left({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\dots ,x_{n}]/I\right)}$

donde I es la gavilla ideal generada por secciones globales . Entonces L es un subesquema cerrado del mismo esquema base ; además, los puntos cerrados de L son exactamente aquellos ( x , y ) de tal manera que x es cero o la imagen de x en es y . Por lo tanto, L es el conjunto de líneas tautológicas como se definió anteriormente si k es el campo de números reales o complejos.${\displaystyle x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {P} ^{n}}^{n+1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\times _{k}\mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

En términos más concisos, L es la ampliación del origen del espacio afín , donde el locus x = 0 en L es el divisor excepcional . (cf. Hartshorne, cap. I, al final del § 4.)${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}}$

En general, ¿ corresponde el paquete de vectores algebraicos a un haz E localmente libre de rango finito? ^[4] Dado que tenemos la secuencia exacta:${\displaystyle \mathbf {Spec} (\operatorname {Sym} {\check {E}})}$

${\displaystyle 0\to I\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]{\overset {x_{i}\mapsto y_{i}}{\longrightarrow }}\operatorname {Sym} {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)\to 0,}$

el haz de la línea tautológica L , como se definió anteriormente, corresponde al dual de la gavilla retorcida de Serre . En la práctica, ambas nociones (haz de líneas tautológicas y el doble de la gavilla retorcida) se utilizan indistintamente.${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$

Sobre un campo, su paquete de línea dual es el paquete de línea asociado al divisor de hiperplano H , cuyas secciones globales son las formas lineales . Su clase de Chern es - H . Este es un ejemplo de un conjunto de líneas anti- amplio . Sobre esto equivale a decir que es un paquete de líneas negativas, lo que significa que menos su clase Chern es la clase de Rham de la forma estándar de Kähler.${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

Hechos

• El paquete de líneas tautológicas γ _{1, k} es localmente trivial pero no trivial , para k ≥ 1. Esto sigue siendo cierto en otros campos. ^{[ cita requerida ]}

De hecho, es sencillo demostrar que, para k = 1, el conjunto de líneas tautológicas reales no es otro que el conocido conjunto cuyo espacio total es la tira de Möbius . Para obtener una prueba completa del hecho anterior, consulte. ^[5]

• El grupo Picard de paquetes de líneas es cíclico infinito y el paquete de líneas tautológico es un generador.${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

• En el caso del espacio proyectivo, donde el haz tautológico es un haz de líneas , el haz de secciones invertible asociado es el tensor inverso ( es decir, el haz de vector dual) del haz de hiperplano o haz de torsión de Serre ; en otras palabras, el paquete hiperplano es el generador del grupo Picard que tiene un grado positivo (como divisor ) y el paquete tautológico es su opuesto: el generador de grado negativo.${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

Ver también

• Paquete Hopf
• Clase Stiefel-Whitney
• Secuencia de Euler
• Clase Chern (las clases Chern de paquetes tautológicos son los generadores algebraicamente independientes del anillo de cohomología del Grassmanniano infinito).
• Teorema de Borel
• El espacio de Thom (los espacios de Thom de los paquetes tautológicos γ _n cuando n → ∞ se denominan espectro de Thom ).
• Paquete de Grassmann

Referencias

1. Sobre una base no compacta pero paracompacta, esto sigue siendo cierto siempre que se utilice Grassmannian infinito.
2. En la literatura y los libros de texto, a menudo se les llama generadores canónicos.
3. U está abierto ya quese le da una topología tal que${\displaystyle G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})}$

   ${\displaystyle {\begin{cases}G_{n}(\mathbb {R} ^{n+k})\to \operatorname {End} (\mathbb {R} ^{n+k})\\V\mapsto p_{V}\end{cases}}}$

   donde está la proyección ortogonal sobre V , es un homeomorfismo sobre la imagen.${\displaystyle p_{V}}$
4. Nota editorial: esta definición difiere de Hartshorne en que no toma dual, pero es consistente con la práctica estándar y las otras partes de Wikipedia.
5. Milnor-Stasheff , §2. Teorema 2.1. harvnb error: no target: CITEREFMilnor−Stasheff (help)

Fuentes

• Atiyah, Michael Francis (1989), teoría K , Advanced Book Classics (2a ed.), Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-09394-0, MR  1043170
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157 , OCLC  13348052.
• [M + S] John Milnor y Jim Stasheff , Clases de características , Princeton, 1974.
• Rubei, Elena (2014), Geometría algebraica, un diccionario conciso , Berlín / Boston: Walter De Gruyter, ISBN 978-3-11-031622-3