En matemáticas, una variedad algebraica V en el espacio proyectivo es una intersección completa si el ideal de V es generado por exactamente codim V elementos. Es decir, si V tiene dimensión my se encuentra en el espacio proyectivo P n , deberían existir n - m polinomios homogéneos
- F yo ( X 0 , ..., X norte ), 1 ≤ yo ≤ norte - m ,
en el coordenadas homogéneas X j , que generan todas las demás polinomios homogéneos que se desvanecen en V .
Geométricamente, cada F i define una hipersuperficie ; la intersección de estas hipersuperficies debe ser V . La intersección de n - m hipersuperficies siempre tendrá una dimensión de al menos m , asumiendo que el campo de escalares es un campo algebraicamente cerrado como los números complejos . La pregunta es, esencialmente, podemos obtener la dimensión hasta m , sin puntos adicionales en la intersección? Esta condición es bastante difícil de comprobar tan pronto como la codimensión n - m ≥ 2 . Cuando n - m = 1 entonces V es automáticamente una hipersuperficie y no hay nada que probar.
Ejemplos de
Las hipersuperficies definidas por el lugar de fuga de un solo polinomio dan ejemplos sencillos de intersecciones completas. Por ejemplo,
da un ejemplo de una quíntica triple. Puede ser difícil encontrar ejemplos explícitos de intersecciones completas de variedades de dimensiones superiores utilizando dos o más ejemplos explícitos (bestiario), pero hay un ejemplo explícito de un tipo triple dada por
No ejemplos
Cúbico retorcido
Un método para construir intersecciones locales completas es tomar una variedad de intersección completa proyectiva e incrustarla en un espacio proyectivo de mayor dimensión. Un ejemplo clásico de esto es el cúbico retorcido en: es una intersección completa local suave que significa que en cualquier gráfico se puede expresar como el lugar geométrico de fuga de dos polinomios, pero globalmente se expresa mediante el lugar geométrico de fuga de más de dos polinomios. Podemos construirlo usando el paquete de líneas muy amplio encima dando la incrustación
- por
Tenga en cuenta que . Si dejamos la incrustación da las siguientes relaciones:
Por lo tanto, el cúbico retorcido es el esquema proyectivo.
Unión de variedades que difieren en dimensión
Otra forma conveniente de construir una intersección incompleta, que nunca puede ser una intersección local completa, es tomando la unión de dos variedades diferentes donde sus dimensiones no coinciden. Por ejemplo, la unión de una línea y un plano que se cruzan en un punto es un ejemplo clásico de este fenómeno. Está dado por el esquema
Multigrado
Una intersección completa tiene un grado múltiple , escrito como la tupla (propiamente, aunque un conjunto múltiple ) de los grados de definición de hiperesuperficies. Por ejemplo, volviendo a tomar cuadrículas en P 3 , (2,2) es el multigrado de la intersección completa de dos de ellas, que cuando están en posición general es una curva elíptica . Los números de Hodge de intersecciones complejas y complejas fueron elaborados por Kunihiko Kodaira .
Posición general
Para preguntas más refinadas, la naturaleza de la intersección debe abordarse más de cerca. Las hipersuperficies pueden ser necesarias para satisfacer una condición de transversalidad (como que sus espacios tangentes estén en posición general en los puntos de intersección). La intersección puede ser un esquema teórico , en otras palabras, aquí se puede requerir que el ideal homogéneo generado por F i ( X 0 , ..., X n ) sea el ideal definitorio de V , y no solo el radical correcto . En álgebra conmutativa , la condición de intersección completa se traduce en términos de secuencia regular , lo que permite la definición de intersección local completa , o después de alguna localización, un ideal tiene secuencias regulares definitorias.
Topología
Homologia
Desde intersecciones completas de dimensión en son la intersección de las secciones del hiperplano, podemos usar el teorema del hiperplano de Lefschetz para deducir que
por . Además, se puede comprobar que los grupos de homología están siempre libres de torsión utilizando el teorema del coeficiente universal. Esto implica que el grupo de homología medio está determinado por la característica de euler del espacio.
Característica de Euler
Hirzebruch dio una función generadora que calcula la dimensión de todas las intersecciones completas de múltiples grados. . Se lee
Referencias
- Looijenga, EJN (1984), Puntos singulares aislados en intersecciones completas , London Mathematical Society Lecture Note Series, 77 , Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511662720 , ISBN 0-521-28674-3, MR 0747303
- Meyer, Christian (2005), Modular Calabi-Yau Threefolds , 22 , Fields Institute Monographs, pág. 194, ISBN 978-0-8218-3908-9
- Hübsch, Tristan, Calabi-Yau Manifolds, A Bestiario para físicos , World Scientific, p. 380, ISBN 978-981-02-0662-8
- Características de Euler de las intersecciones completas (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 2017-08-15
enlaces externos
- Intersecciones completas en Manifold Atlas