Ecuaciones de Rabinovich-Fabrikant

Las ecuaciones de Rabinovich-Fabrikant son un conjunto de tres ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas que exhiben un comportamiento caótico para ciertos valores de los parámetros . Llevan el nombre de Mikhail Rabinovich y Anatoly Fabrikant , quienes los describieron en 1979.

donde α , γ son constantes que controlan la evolución del sistema. Para algunos valores de α y γ , el sistema es caótico, pero para otros tiende a una órbita periódica estable.

Danca y Chen ^[2] señalan que el sistema de Rabinovich-Fabrikant es difícil de analizar (debido a la presencia de términos cuadráticos y cúbicos) y que se pueden obtener diferentes atractores para los mismos parámetros usando diferentes tamaños de paso en la integración, ver más adelante a la derecha, un ejemplo de una solución obtenida por dos solucionadores diferentes para los mismos valores de parámetro y condiciones iniciales. Además, recientemente, se descubrió un atractor oculto en el sistema Rabinovich-Fabrikant. ^[3]

El sistema de Rabinovich-Fabrikant tiene cinco puntos de equilibrio hiperbólico , uno en el origen y cuatro dependientes de los parámetros del sistema α y γ : ^[2]

Un ejemplo de comportamiento caótico se obtiene para γ = 0.87 y α = 1.1 con condiciones iniciales de (−1, 0, 0.5), ^[4] ver trayectoria a la derecha. Se encontró que la dimensión de correlación era 2,19 ± 0,01. ^[5] Los exponentes de Lyapunov, λ son aproximadamente 0,1981, 0, −0,6581 y la dimensión de Kaplan-Yorke , D _KY ≈ 2,3010 ^[4]

Danca y Romera ^[6] demostraron que para γ = 0.1, el sistema es caótico para α = 0.98, pero progresa en un ciclo límite estable para α = 0.14.

Trayectoria de una solución con valores de parámetros y condiciones iniciales , y , utilizando el solucionador ODE predeterminado en MATLAB. Los colores varían de azul a amarillo con el tiempo.${\ estilo de visualización \ alfa = 0,05}$${\ estilo de visualización \ gamma = 0,1}$${\ estilo de visualización x_ {0} = 0,1}$${\displaystyle y_{0}=-0.1}$${\ estilo de visualización z_ {0} = 0,1}$

Trayectoria de una solución con valores de parámetros y condiciones iniciales , y , utilizando el solucionador ODE predeterminado en Mathematica. Los colores varían de rojo anaranjado a rojo magenta con el tiempo. Nótese el cambio drástico en las soluciones con respecto a la solución obtenida con MATLAB.${\ estilo de visualización \ alfa = 0,05}$${\ estilo de visualización \ gamma = 0,1}$${\ estilo de visualización x_ {0} = 0,1}$${\displaystyle y_{0}=-0.1}$${\ estilo de visualización z_ {0} = 0,1}$

Un atractor caótico encontrado con valores de parámetros y condiciones iniciales , y , usando el solucionador ODE predeterminado en Mathematica. Los colores varían de rojo anaranjado a rojo magenta con el tiempo. Observe que los colores no siguen ningún orden, lo que refleja la dinámica caótica de la solución.${\ estilo de visualización \ alfa = 1.1}$${\ estilo de visualización \ gamma = 0,87}$${\ estilo de visualización x_ {0} = -1}$${\displaystyle y_{0}=-0}$${\ estilo de visualización z_ {0} = 0,5}$

Gráfico de las regiones para las que existen puntos de equilibrio.${\displaystyle {\tilde {\mathbf{x} }}_{1,2,3,4}}$

Gráfico paramétrico 3D de la solución de las ecuaciones de Rabinovich-Fabrikant para α =0,14 y γ =0,1 (el ciclo límite se muestra mediante la curva roja)