En la teoría del corte de pastel justo , el conjunto Radon-Nikodym (RNS) es un objeto geométrico que representa un pastel, basado en cómo diferentes personas evalúan las diferentes partes del pastel.
Ejemplo
Supongamos que tenemos un pastel de cuatro partes. Hay dos personas, Alice y George, con gustos diferentes: cada persona valora las diferentes partes del pastel de manera diferente. La siguiente tabla describe las piezas y sus valores; la última fila, "Punto RNS", se explica a continuación.
Chocolate | Limón | Vainilla | Cerezas | |
---|---|---|---|---|
El valor de Alice | 18 | 9 | 1 | 2 |
El valor de George | 18 | 0 | 4 | 8 |
Punto RNS | (0.5,0.5) | (1,0) | (0,2,0,8) | (0,2,0,8) |
El "punto RNS" de un pedazo de pastel describe los valores relativos de los socios a ese pedazo. Tiene dos coordenadas: una para Alice y otra para George. Por ejemplo:
- Los socios acuerdan los valores para la parte de chocolate, por lo que las coordenadas de su punto RNS también son iguales (están normalizadas de manera que su suma sea 1).
- La parte de limón solo es valiosa para Alice, por lo que en su punto RNS, solo la coordenada de Alice es 1 mientras que la coordenada de George es 0.
- Tanto en la parte de vainilla como en la de cerezas, la relación entre el valor de Alice y el de George es 1: 4. Por lo tanto, esta es también la relación entre las coordenadas de sus puntos RNS. Tenga en cuenta que tanto la vainilla como las cerezas se asignan al mismo punto RNS.
El RNS de un pastel es solo el conjunto de todos sus puntos RNS; en el pastel anterior, este conjunto contiene tres puntos: {(0.5,0.5), (1,0), (0.2,0.8)}. Puede ser representado por el segmento (1,0) - (0,1):
(1.0, .0) | (.9, .1) | (.8, .2) | (.7, .3) | (.6, .4) | (.5, .5) | (.4, .6) | (.3, .7) | (.2, .8) | (.1, .9) | (.0,1.0) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Limón | - | - | - | - | Chocolate | - | - | Vainilla, cerezas | - | - |
En efecto, la torta se descompone y se reconstruye en el segmento (1,0) - (0,1).
Definiciones
Hay un conjunto ("el pastel"), y un juego que es un sigma-álgebra de subconjuntos de.
Existen socios. Cada sociotiene una medida de valor personal . Esta medida determina cuánto cada subconjunto de vale la pena para ese socio.
Defina la siguiente medida:
Tenga en cuenta que cada es una medida absolutamente continua con respecto a. Por lo tanto, según el teorema Radon-Nikodym , tiene una derivada Radon-Nikodym, que es una función tal que para cada subconjunto medible :
La se denominan funciones de densidad de valor . Tienen las siguientes propiedades, para casi todos los puntos del pastel.: [1] : 222
Por cada punto , el punto RNS de es definido por:
Tenga en cuenta que es siempre un punto en el -unidad dimensional simplex en, denotado por (o solo Cuándo es claro por el contexto).
El RNS de un pastel es el conjunto de todos sus puntos RNS:
La torta se descompone y luego se reconstruye por dentro. . Cada vértice deestá asociado con uno de los n socios. Cada fracción de la torta se asigna a un punto ensegún las valoraciones: cuanto más valiosa es una pieza para un socio, más cerca está del vértice de ese socio. Esto se muestra en el ejemplo anterior para socios (donde es solo el segmento entre (1,0) y (0,1)). Akin [2] describe el significado del RNS para socios:
- Imaginamos una mesa con forma de triángulo equilátero con cada consumidor sentado en un vértice ... la conveniencia para el consumidor de un fragmento de tarta en un punto viene dada por la coordenada baricéntrica midiendo su cercanía al vértice . Por lo tanto, es 1 en el vértice y declina linealmente hasta el valor 0 en la cara opuesta.
Particiones de RNS eficientes
La unidad simplex se puede dividir entre los socios, dando a cada socio un subconjunto . Cada una de estas particiones induce una partición del pastel., en que socio recibe los bits de cuyos puntos RNS caen dentro .
Aquí hay dos particiones de ejemplo para el ejemplo de dos socios , donde es el segmento entre (1,0) y (0,1)
- Cortar en el punto (0.4,0.6). Dale el segmento (1,0) - (0.4,0.6) a Alice y el segmento (0.4,0.6) - (0,1) a George. Esto corresponde a darle el Limón y Chocolate a Alice (valor total 27) y el resto a George (valor total 12).
- Corte en el mismo punto (0.4,0.6), pero dé el segmento (1,0) - (0.4,0.6) a George (valor total 18) y el segmento (0.4,0.6) - (0,1) a Alice ( valor total 3).
La primera partición parece mucho más eficiente que la segunda: en la primera partición, a cada socio se le dan las piezas que son más valiosas para él / ella (más cerca de su vértice del simplex), mientras que en la segunda partición lo contrario es verdad. De hecho, la primera partición es Pareto eficiente mientras que la segunda no lo es. Por ejemplo, en la segunda partición, Alice puede darle las cerezas a George a cambio de 2/9 del chocolate; esto mejorará la utilidad de Alice en 2 y la utilidad de George en 4. Este ejemplo ilustra un hecho general que definimos a continuación.
Por cada punto :
- Di que una partición de pertenece a , Si:
- Para todos y para todos :
- Di que una partición de pertenece a , si es inducida por una partición de que pertenece a . Es decir:
- Para todos y para todos :
Es posible probar que: [1] : 241–244
- Una partición pertenece a un punto positivo ,
- si-y-solo-si maximiza la suma:
- Es decir, si es una división máxima utilitaria ponderada con vector de peso .
Dado que cada división Pareto-eficiente es ponderada-utilitaria-máxima para alguna selección de pesos, [3] el siguiente teorema también es cierto: [1] : 246
- Una partición positiva pertenece a algún punto positivo en ,
- si-y-solo-si es Pareto-eficiente .
Entonces hay un mapeo entre el conjunto de particiones Pareto-eficientes y los puntos en .
Volviendo al ejemplo anterior:
- La primera partición (darle el limón y el chocolate a Alice y el resto a George) pertenece al punto , así como a otros puntos como (algunas particiones pertenecen a más de un punto). De hecho, es un corte de pastel utilitario que maximiza la suma, y también es Pareto-eficiente.
- Por el contrario, la segunda partición no pertenece a ningún punto y, de hecho, no es Pareto-eficiente.
- Hay algunos puntos a los que pertenecen muchas particiones diferentes. Por ejemplo, el punto. Este es un punto del RNS y hay una masa positiva de torta asociada a él, por lo que cualquier partición de esa masa conduce a una partición que pertenece a. Por ejemplo, darle el limón y chocolate a Alice (valor 27) y el resto a George (valor 12) pertenece a; darle solo el Lemon a Alice (valor 9) y el resto a George (valor 30) también le pertenece; darle el Limón y la mitad del chocolate a Alice (valor 18) y el resto a George (valor 21) también le pertenece; etc. Todas estas particiones maximizan la suma; de hecho, esta suma es 78 en todas estas particiones. Todos son Pareto-eficientes.
Historia
El RNS se introdujo como parte de los teoremas de Dubins-Spanier y se utilizó en la demostración del teorema de Weller y los resultados posteriores de Ethan Akin . [2] El término "conjunto Radon-Nikodym" fue acuñado por Julius Barbanel . [1]
Ver también
Referencias
- ^ a b c d Barbanel, Julius B .; con una introducción de Alan D. Taylor (2005). La geometría de una división justa eficiente . Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017 / CBO9780511546679 . ISBN 0-521-84248-4. Señor 2132232 . El resumen breve está disponible en: Barbanel, J. (2010). "Un enfoque geométrico de la división justa". The College Mathematics Journal . 41 (4): 268. doi : 10.4169 / 074683410x510263 .
- ^ a b Akin, Ethan (1995). "Vilfredo Pareto corta la torta". Revista de Economía Matemática . 24 : 23. doi : 10.1016 / 0304-4068 (94) 00674-y .
- ^ Barbanel, Julius B .; Zwicker, William S. (1997). "Dos aplicaciones de un teorema de Dvoretsky, Wald y Wolfovitz a la división de pasteles". Teoría y Decisión . 43 (2): 203. doi : 10.1023 / a: 1004966624893 .