σ -álgebra

Para obtener una estructura algebraica que admita una determinada firma given de operaciones, consulte Álgebra universal .

En el análisis matemático y en la teoría de la probabilidad , un σ-álgebra (también σ-campo ) en un conjunto X es una colección Σ de subconjuntos de X que incluye al propio X , está cerrado bajo complemento y está cerrado bajo uniones contables .

La definición implica que también incluye el subconjunto vacío y que está cerrado bajo intersecciones contables .

El par ( X , Σ) se llama espacio medible o espacio de Borel.

Un σ-álgebra es un tipo de álgebra de conjuntos . Un álgebra de conjuntos solo necesita cerrarse bajo la unión o intersección de un número finito de subconjuntos, que es una condición más débil. ^[1]

El uso principal de σ-álgebras está en la definición de medidas ; específicamente, la colección de aquellos subconjuntos para los que se define una medida dada es necesariamente un σ-álgebra. Este concepto es importante en el análisis matemático como base para la integración de Lebesgue , y en la teoría de la probabilidad , donde se interpreta como la colección de eventos a los que se les pueden asignar probabilidades. Además, en probabilidad, las σ-álgebras son fundamentales en la definición de expectativa condicional .

En estadística , las (sub) σ-álgebras son necesarias para la definición matemática formal de una estadística suficiente , ^[2] particularmente cuando la estadística es una función o un proceso aleatorio y la noción de densidad condicional no es aplicable.

Si X = { a , b , c , d }, una posible σ-álgebra en X es Σ = {∅, { a , b }, { c , d }, { a , b , c , d }}, donde ∅ es el conjunto vacío . En general, un álgebra finita es siempre un σ-álgebra.

Si { A ₁ , A ₂ , A ₃ ,…} es una partición contable de X, entonces la colección de todas las uniones de conjuntos en la partición (incluido el conjunto vacío) es un σ-álgebra.

Un ejemplo más útil es el conjunto de subconjuntos de la línea real formada comenzando con todos los intervalos abiertos y agregando todas las uniones contables, intersecciones contables y complementos relativos y continuando este proceso (por iteración transfinita a través de todos los ordinales contables ) hasta el cierre relevante. propiedades se logran - el σ-álgebra producida por este proceso se conoce como el álgebra de Borel en la línea real, y también se puede concebir como el σ-álgebra más pequeño (es decir, "más grueso") que contiene todos los conjuntos abiertos, o equivalentemente que contiene todos los conjuntos cerrados. Es fundamental medir la teoría y, por lo tanto, la teoría de la probabilidad moderna., y una construcción relacionada conocida como la jerarquía de Borel es relevante para la teoría descriptiva de conjuntos.

Motivación

Hay al menos tres motivadores clave para las σ-álgebras: definir medidas, manipular límites de conjuntos y gestionar información parcial caracterizada por conjuntos.

Medir

Una medida en X es una función que asigna un número real no negativo a subconjuntos de X ; se puede pensar que esto hace precisa una noción de "tamaño" o "volumen" para los conjuntos. Queremos que el tamaño de la unión de conjuntos disjuntos sea la suma de sus tamaños individuales, incluso para una secuencia infinita de conjuntos disjuntos .

A uno le gustaría asignar un tamaño a cada subconjunto de X , pero en muchos entornos naturales, esto no es posible. Por ejemplo, el axioma de elección implica que, cuando el tamaño en consideración es la noción ordinaria de longitud para subconjuntos de la línea real, existen conjuntos para los que no existe tamaño, por ejemplo, los conjuntos Vitali . Por esta razón, se considera en cambio una colección más pequeña de subconjuntos privilegiados de X. Estos subconjuntos se denominarán conjuntos medibles. Están cerrados bajo operaciones que uno esperaría para conjuntos medibles; es decir, el complemento de un conjunto mensurable es un conjunto mensurable y la unión contable de conjuntos mensurables es un conjunto mensurable. Las colecciones no vacías de conjuntos con estas propiedades se denominan σ-álgebras.

Límites de conjuntos

Muchos usos de la medida, como el concepto de probabilidad de convergencia casi segura , involucran límites de secuencias de conjuntos . Para ello, el cierre bajo uniones e intersecciones contables es primordial. Los límites establecidos se definen de la siguiente manera en σ-álgebras.

• El límite superior de una secuencia A ₁ , A ₂ , A ₃ ,…, cada una de las cuales es un subconjunto de X , es

  ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}.}$

• El límite mínimo de una secuencia A ₁ , A ₂ , A ₃ ,…, cada una de las cuales es un subconjunto de X , es

  ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}.}$

• Si, de hecho,

  ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }A_{n}=\limsup _{n\to \infty }A_{n},}$

  entonces existe como ese conjunto común.${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}}$

Sub σ-álgebras

En gran parte de la probabilidad, especialmente cuando está involucrada la expectativa condicional , uno se ocupa de conjuntos que representan solo una parte de toda la información posible que se puede observar. Esta información parcial se puede caracterizar con una σ-álgebra más pequeña que es un subconjunto de la σ-álgebra principal; Consiste en la colección de subconjuntos relevantes y determinados únicamente por la información parcial. Un simple ejemplo basta para ilustrar esta idea.

Imagínese que usted y otra persona están apostando en un juego que implica lanzar una moneda repetidamente y observar si sale Cara ( H ) o Cruz ( T ). Dado que tú y tu oponente sois infinitamente ricos, no hay límite para la duración del juego. Esto significa que el espacio muestral Ω debe constar de todas las posibles secuencias infinitas de H o T :

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\infty }=\{(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):x_{i}\in \{H,T\},i\geq 1\}.}$

Sin embargo, después de n lanzamientos de la moneda, es posible que desee determinar o revisar su estrategia de apuestas antes del próximo lanzamiento. La información observada en ese punto se puede describir en términos de las 2 ⁿ posibilidades para los primeros n giros. Formalmente, dado que necesita usar subconjuntos de Ω, esto se codifica como σ-álgebra

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\{A\times \{H,T\}^{\infty }:A\subset \{H,T\}^{n}\}.}$

Observa que entonces

${\displaystyle {\mathcal {G}}_{1}\subset {\mathcal {G}}_{2}\subset {\mathcal {G}}_{3}\subset \cdots \subset {\mathcal {G}}_{\infty },}$

donde es la σ-álgebra más pequeña que contiene todas las demás.${\displaystyle {\mathcal {G}}_{\infty }}$

Definición y propiedades

Definición

Sea X un conjunto y represente su conjunto de potencias . Entonces, un subconjunto se llama σ -álgebra si satisface las siguientes tres propiedades: ^[3]${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle \Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)}$

1. X está en Σ, y X se considera el conjunto universal en el siguiente contexto.
2. Σ se cierra bajo la complementación : Si A está en Σ, entonces también lo es su complemento , X \ A .
3. Σ está cerrado bajo uniones contables : Si A ₁ , A ₂ , A ₃ , ... están en Σ, entonces también lo es A = A ₁ ∪ A ₂ ∪ A ₃ ∪….

De estas propiedades, se deduce que el σ-álgebra también se cierra bajo intersecciones contables (aplicando las leyes de De Morgan ).

También se deduce que el conjunto vacío ∅ está en Σ, ya que por (1) X está en Σ y (2) afirma que su complemento, el conjunto vacío, también está en Σ. Además, puesto que { X , ∅ } satisface la condición (3) , así, se sigue que { X , ∅ } es la más pequeña posible σ-álgebra en X . La σ-álgebra más grande posible en X es 2 ^X : = .${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

Los elementos del álgebra σ se denominan conjuntos medibles . Un par ordenado ( X , Σ) , donde X es un conjunto y Σ es un σ -álgebra sobre X , se llama espacio medible . Una función entre dos espacios medibles se denomina función medible si la preimagen de cada conjunto medible es medible. La colección de espacios mensurables forma una categoría , con las funciones mensurables como morfismos . Las medidas se definen como ciertos tipos de funciones a partir de un σ-álgebra a [0, ∞].

Un σ-álgebra es tanto un sistema π como un sistema Dynkin ( sistema λ). Lo contrario también es cierto, según el teorema de Dynkin (abajo).

Teorema π-λ de Dynkin

Este teorema (o el teorema de clase monótono relacionado ) es una herramienta esencial para probar muchos resultados sobre propiedades de σ-álgebras específicas. Aprovecha la naturaleza de dos clases de conjuntos más simples, a saber, las siguientes.

Un sistema π P es una colección de subconjuntos de X que está cerrado bajo un número finito de intersecciones, y

un sistema Dynkin (o sistema λ) D es una colección de subconjuntos de X que contiene X y está cerrado bajo complemento y bajo uniones contables de subconjuntos disjuntos .

Teorema π-λ de Dynkin dice, si P es un sistema-π y D es un sistema Dynkin que contiene P , entonces el σ-álgebra σ ( P ) generado por P está contenido en D . Dado que ciertos sistemas π son clases relativamente simples, puede que no sea difícil verificar que todos los conjuntos en P disfruten de la propiedad bajo consideración mientras que, por otro lado, mostrar que la colección D de todos los subconjuntos con la propiedad es un sistema Dynkin puede también sea sencillo. El teorema π-λ de Dynkin implica entonces que todos los conjuntos en σ ( P ) disfrutan de la propiedad, evitando la tarea de verificarla para un conjunto arbitrario en σ ( P).

Uno de los usos más fundamentales del teorema π-λ es mostrar la equivalencia de medidas o integrales definidas por separado. Por ejemplo, se utiliza para equiparar una probabilidad para una variable aleatoria X con la integral de Lebesgue-Stieltjes típicamente asociada con el cálculo de la probabilidad:

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in A)=\int _{A}\,F(dx)}$para todo A en el σ-álgebra de Borel en R ,

donde F ( x ) es la función de distribución acumulativa para X , definida en R , mientras que es una medida de probabilidad , definida en un σ-álgebra Σ de subconjuntos de algún espacio muestral Ω.${\displaystyle \mathbb {P} }$

Combinando σ-álgebras

Supongamos que es una colección de sigma-álgebras en un espacio X .${\displaystyle \textstyle \{\Sigma _{\alpha }:\alpha \in {\mathcal {A}}\}}$

• La intersección de una colección de σ-álgebras es una σ-álgebra. Para enfatizar su carácter como σ-álgebra, a menudo se denota por:

${\displaystyle \bigwedge _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }.}$

Bosquejo de la prueba: Sea Σ ^∗ la intersección. Dado que X está en todo Σ _α , Σ ^∗ no está vacío. El cierre por complemento y uniones contables para cada Σ _α implica que lo mismo debe ser cierto para Σ ^∗ . Por lo tanto, Σ ^∗ es un σ-álgebra.

• La unión de una colección de σ-álgebras no es generalmente un σ-álgebra, ni siquiera un álgebra, pero genera una σ-álgebra conocida como la unión que normalmente se denota

${\displaystyle \bigvee _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }=\sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$

Un sistema π que genera la unión es

${\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}:A_{i}\in \Sigma _{\alpha _{i}},\alpha _{i}\in {\mathcal {A}},\ n\geq 1\right\}.}$

Bosquejo de la prueba: En el caso n = 1, se ve que cada uno , entonces${\displaystyle \Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}}}$

${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\subset {\mathcal {P}}.}$

Esto implica

${\displaystyle \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)\subset \sigma ({\mathcal {P}})}$

por la definición de un σ-álgebra generada por una colección de subconjuntos. Por otro lado,

${\displaystyle {\mathcal {P}}\subset \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right)}$

que, según el teorema π-λ de Dynkin, implica

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {P}})\subset \sigma \left(\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}\Sigma _{\alpha }\right).}$

σ-álgebras para subespacios

Suponga que Y es un subconjunto de X y sea ( X , Σ) un espacio medible.

• La colección { Y ∩ B : B ∈ Σ} es una σ-álgebra de subconjuntos de Y .
• Suponga que ( Y , Λ) es un espacio medible. La colección { A ⊂ X  : A ∩ Y ∈ Λ} es una σ-álgebra de subconjuntos de X .

Relación con σ-ring

Un σ -álgebra Σ es sólo una σ tórica que contiene el conjunto universal X . ^[4] Un anillo σ no necesita ser un álgebra σ , ya que, por ejemplo, los subconjuntos medibles de la medida de Lebesgue cero en la línea real son un anillo σ , pero no un álgebra σ, ya que la línea real tiene una medida infinita y, por lo tanto, no puede ser obtenido por su unión contable. Si, en lugar de la medida cero, se toman subconjuntos mensurables de la medida finita de Lebesgue, esos son un anillo pero no un anillo σ , ya que la línea real se puede obtener por su unión contable pero su medida no es finita.

Nota tipográfica

Las σ -álgebras a veces se denotan usando letras mayúsculas caligráficas o el tipo de letra Fraktur . Por tanto, ( X , Σ) se puede denotar como o .${\displaystyle (X,\,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle (X,\,{\mathfrak {F}})}$

Casos y ejemplos particulares

Σ-álgebras separables

Un σ-álgebra separable (o un σ-campo separable ) es un σ-álgebra que es un espacio separable cuando se considera como un espacio métrico con métrica para y una medida dada (y siendo el operador de diferencia simétrica ). ^[5] Tenga en cuenta que cualquier σ-álgebra generada por una colección contable de conjuntos es separable, pero no es necesario que se mantenga lo contrario. Por ejemplo, el σ-álgebra de Lebesgue es separable (ya que cada conjunto medible de Lebesgue es equivalente a algún conjunto de Borel) pero no se genera de manera contable (ya que su cardinalidad es mayor que el continuo).${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A{\mathbin {\triangle }}B)}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \triangle }$

Un espacio de medida separable tiene una pseudométrica natural que lo hace separable como un espacio pseudométrico . La distancia entre dos conjuntos se define como la medida de la diferencia simétrica de los dos conjuntos. Tenga en cuenta que la diferencia simétrica de dos conjuntos distintos puede tener medida cero; por lo tanto, la pseudometría tal como se define arriba no necesita ser una métrica verdadera. Sin embargo, si los conjuntos cuya diferencia simétrica tiene medida cero se identifican en una única clase de equivalencia , el conjunto de cocientes resultante se puede medir correctamente mediante la métrica inducida. Si el espacio de medida es separable, se puede mostrar que el espacio métrico correspondiente también lo es.

Ejemplos simples basados ​​en conjuntos

Sea X cualquier conjunto.

• La familia que consiste solamente en el conjunto vacío y el conjunto X , llamado el mínimo o σ-álgebra trivial sobre X .
• El conjunto de potencias de X , llamado σ-álgebra discreta .
• La colección {∅, A , A ^c , X } es un simple σ-álgebra generada por el subconjunto A .
• La colección de subconjuntos de X que son contables o cuyos complementos son contables es una σ-álgebra (que es distinta del conjunto de potencias de X si y solo si X es incontable). Esta es la σ-álgebra generada por los singletons de X . Nota: "contable" incluye finito o vacío.
• La colección de todas las uniones de conjuntos en una partición contable de X es un σ-álgebra.

Detener el tiempo σ-álgebras

Artículo principal: Σ-Álgebra de τ-pasado

Un tiempo de parada puede definir un -álgebra , la llamada -Álgebra de τ-pasado, que en un espacio de probabilidad filtrado describe la información hasta el tiempo aleatorio en el sentido de que, si el espacio de probabilidad filtrado se interpreta como un experimento aleatorio , el máximo de información que se puede encontrar a cabo sobre el experimento de manera arbitraria a menudo repitiendo hasta que el tiempo es . ^[6]${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$

σ-álgebras generadas por familias de conjuntos

σ-álgebra generada por una familia arbitraria

Deje que F sea una familia arbitraria de subconjuntos de X . Entonces existe una σ-álgebra única más pequeña que contiene todos los conjuntos en F (aunque F puede ser o no una σ-álgebra). Es, de hecho, la intersección de todos sigma-álgebras que contienen F . (Ver intersecciones de sigma-álgebras anteriores.) Este σ-álgebra se denota σ ( F ) y se llama la σ-álgebra generada por F .

Entonces, σ ( F ) consta de todos los subconjuntos de X que pueden formarse a partir de elementos de F mediante un número contable de operaciones de complemento, unión e intersección. Si F está vacío, entonces σ ( F ) = { X , ∅ }, ya que una unión y una intersección vacías producen el conjunto vacío y el conjunto universal , respectivamente.

Para un ejemplo simple, considere el conjunto X = {1, 2, 3}. Entonces, el σ-álgebra generada por el subconjunto único {1} es σ ({{1}}) = {∅, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}} . Por abuso de notación , cuando una colección de subconjuntos contiene sólo un elemento, A , se puede escribir σ ( A ) en lugar de σ ({ A }) si está claro que A es un subconjunto de X ; en el ejemplo anterior σ ({1}) en lugar de σ ({{1}}). De hecho, usando σ ( A ₁ , A ₂ , ...) para significar σ ({ A ₁ , A ₂ , ...}) también es bastante común.

Hay muchas familias de subconjuntos que generan σ-álgebras útiles. Algunos de estos se presentan aquí.

σ-álgebra generada por una función

Si f es una función de un conjunto X a un conjunto Y y B es un σ-álgebra de subconjuntos de Y , entonces el σ-álgebra generado por la función f , denotado por σ ( f ), es la colección de todas las imágenes inversas f ^-1 ( S ) de los conjuntos S en B . es decir

${\displaystyle \sigma (f)=\{f^{-1}(S)\,|\,S\in B\}.}$

Una función f de un conjunto X a un conjunto Y es medible con respecto a un σ-álgebra Σ de subconjuntos de X si y solo si σ ( f ) es un subconjunto de Σ.

Una situación común, y comprendido por defecto si B no se especifica explícitamente, es cuando Y es un métrica o espacio topológico y B es la colección de conjuntos de Borel en Y .

Si f es una función de X a R ^n, entonces σ ( f ) es generado por la familia de subconjuntos que son imágenes inversas de intervalos / rectángulos en R ⁿ :

${\displaystyle \sigma (f)=\sigma \left(\{f^{-1}((a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]):a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \}\right).}$

Una propiedad útil es la siguiente. Suponga que f es un mapa medible de ( X , Σ _X ) a ( S , Σ _S ) y g es un mapa medible de ( X , Σ _X ) a ( T , Σ _T ). Si existe un mapa medible h desde ( T , Σ _T ) a ( S , Σ _S ) tal que f ( x ) = h ( g ( x )) para todo x , entonces σ ( f ) ⊂ σ ( g). Si S es finito o infinito numerable o, más generalmente, ( S , Σ _S ) es un espacio Borel estándar (por ejemplo, un espacio métrico completo separable con sus conjuntos Borel asociados), entonces lo contrario también es cierto. ^[7] Ejemplos de espacios de Borel estándar incluyen R ⁿ con sus conjuntos de Borel y R ^∞ con el cilindro σ-álgebra que se describe a continuación.

Σ-álgebras de Borel y Lebesgue

Un ejemplo importante es el álgebra de Borel sobre cualquier espacio topológico : el σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, por los conjuntos cerrados ). Tenga en cuenta que esta σ-álgebra no es, en general, todo el conjunto de potencias. Para ver un ejemplo no trivial que no es un conjunto Borel, consulte el conjunto Vitali o conjuntos no Borel .

En el espacio euclidiano R ⁿ , es importante otra σ-álgebra: la de todos los conjuntos mensurables de Lebesgue . Esta σ-álgebra contiene más conjuntos que la σ-álgebra de Borel en R ⁿ y se prefiere en la teoría de la integración , ya que proporciona un espacio de medida completo .

Producto σ-álgebra

Sean y dos espacios medibles. El σ-álgebra para el espacio de producto correspondiente se llama producto σ-álgebra y se define por${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$ ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$

${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}=\sigma (\{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}).}$

Observe que es un sistema π.${\displaystyle \{B_{1}\times B_{2}:B_{1}\in \Sigma _{1},B_{2}\in \Sigma _{2}\}}$

La σ-álgebra de Borel para R ⁿ se genera por medio de rectángulos infinitos y por rectángulos finitos. Por ejemplo,

${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\sigma \left(\left\{(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}]:b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right)=\sigma \left(\left\{(a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}]:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} \right\}\right).}$

Para cada uno de estos dos ejemplos, la familia generadora es un sistema π .

σ-álgebra generada por conjuntos de cilindros

Suponer

${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }=\{f:f{\text{ is a function from }}\mathbb {T} {\text{ to }}\mathbb {R} \}}$

es un conjunto de funciones de valor real en . Dejar que denotan los subconjuntos de Borel de R . Para cada uno y un subconjunto de cilindros de X es un conjunto finitamente restringido definido como${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \{t_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {T} }$${\displaystyle \{B_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n})=\{f\in X:f(t_{i})\in B_{i},1\leq i\leq n\}.}$

Para cada uno ,${\displaystyle \{t_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {T} }$

${\displaystyle \{C_{t_{1},\dots ,t_{n}}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\}}$

es un sistema π que genera un σ-álgebra . Entonces la familia de subconjuntos${\displaystyle \textstyle \Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{X}=\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{t_{i}\in \mathbb {T} ,i\leq n}\Sigma _{t_{1},\dots ,t_{n}}}$

es un álgebra que genera el cilindro σ-álgebra para X . Este σ-álgebra es una subálgebra de la Borel σ-álgebra determinada por la topología del producto de restringido a X .${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$

Un caso especial importante es cuando es el conjunto de números naturales y X es un conjunto de secuencias con valores reales. En este caso, basta con considerar los juegos de cilindros${\displaystyle \mathbb {T} }$

${\displaystyle C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n})=(B_{1}\times \cdots \times B_{n}\times \mathbb {R} ^{\infty })\cap X=\{(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},x_{n+1},\dots )\in X:x_{i}\in B_{i},1\leq i\leq n\},}$

para cual

${\displaystyle \Sigma _{n}=\sigma (\{C_{n}(B_{1},\dots ,B_{n}):B_{i}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),1\leq i\leq n\})}$

es una secuencia no decreciente de σ-álgebras.

σ-álgebra generada por variable aleatoria o vector

Supongamos que es un espacio de probabilidad . Si es medible con respecto al σ-álgebra de Borel en R ^n, entonces Y se llama variable aleatoria ( n = 1 ) o vector aleatorio ( n > 1). La σ-álgebra generada por Y es${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \sigma (Y)=\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})\}.}$

σ-álgebra generada por un proceso estocástico

Supongamos que es un espacio de probabilidad y es el conjunto de funciones con valores reales en . Si es medible con respecto al σ-álgebra del cilindro (ver arriba) para X , entonces Y se llama proceso estocástico o proceso aleatorio . La σ-álgebra generada por Y es${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mathbb {P} )}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle \textstyle Y:\Omega \to X\subset \mathbb {R} ^{\mathbb {T} }}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}_{X})}$

${\displaystyle \sigma (Y)=\left\{Y^{-1}(A):A\in \sigma ({\mathcal {F}}_{X})\right\}=\sigma (\{Y^{-1}(A):A\in {\mathcal {F}}_{X}\}),}$

la σ-álgebra generada por las imágenes inversas de conjuntos de cilindros.

Ver también

• Álgebra de conjuntos
• anillo δ
• Campo de conjuntos
• Unir (álgebra sigma)
• sistema λ (sistema Dynkin)
• Función medible
• sistema π
• Anillo de conjuntos
• Espacio muestral
• anillo σ
• Aditividad Sigma

Referencias

1. "Probabilidad, estadística matemática, procesos estocásticos" . Aleatorio . Universidad de Alabama en Huntsville, Departamento de Ciencias Matemáticas . Consultado el 30 de marzo de 2016 .
2. Billingsley, Patrick (2012). Probabilidad y medida (edición de aniversario). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2.
3. Rudin, Walter (1987). Análisis real y complejo . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-054234-1.
4. Vestrup, Eric M. (2009). La Teoría de Medidas e Integración . John Wiley e hijos. pag. 12. ISBN 978-0-470-31795-2.
5. Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "Propiedades de la clase de medida espacios compactos separables" (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. Si es una medida de Borel en , el álgebra de medidas de es el álgebra booleana de todos los conjuntos de Borel módulos- conjuntos nulos. Si es finito, entonces tal álgebra de medidas es también un espacio métrico, siendo la distancia entre los dos conjuntos la medida de su diferencia simétrica. Entonces, decimos que es separable si este espacio métrico es separable como espacio topológico. ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\mu )}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$
6. Fischer, Tom (2013). "Sobre representaciones simples de tiempos de parada y tiempos de parada sigma-álgebras". Estadísticas y letras de probabilidad . 83 (1): 345–349. arXiv : 1112.1603 . doi : 10.1016 / j.spl.2012.09.024 .
7. Kallenberg, Olav (2001). Fundamentos de la probabilidad moderna (2ª ed.). Springer . pag. 7 . ISBN 978-0-387-95313-7.

Enlaces externos

• "Álgebra de conjuntos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Sigma Algebra en PlanetMath .